Математические модели роста численности популяции

В настоящее время известно большое число математических моделей кинетики роста микробных популяций, рассмотренных в обзорных работах [1, 4, 23, 37, 39]. В связи с этим при описании конкретного микробиологического процесса важное значение приобретает задача идентификации различных моделей и постановка специальных дискриминирующих экспериментов [17]. Кинетическая модель представляет соотношение скорости развития общей численности популяций и влияние на нее комплекса факторов окружающей среды, в которой популяция развивается. При [c.54]

Математические модели роста численности популяции [c.167]

Математические модели кинетики роста микроорганизмов, образования продуктов биосинтеза и утилизации субстратов отличаются от известных моделей химической кинетики. В основу большинства используемых моделей роста микроорганизмов положены уравнения ферментативной кинетики микробиологических процессов [1—4, 23, 27]. Однако, учитывая значительное число протекающих в клетках стадий биохимических ферментативных реакций, применение законов ферментативной кинетики носит в большинстве случаев формальный характер. Отличительной особенностью большинства моделей является использование в качестве основного параметра модели численности или концентрации микробной популяции. Именно большая численность микробных популяций позволяет широко применять при моделировании кинетики роста детерминистический подход, опирающийся на хорошо развитый аппарат дифференциальных уравнений. В то же время известны работы, в которых используются стохастические модели кинетики [25]. Среди них распространены работы, основанные на простой концепции рождения и гибели , что в математическом аспекте позволяет применять аппарат марковских процессов. В более сложных моделях микробная популяция представляется Б виде конечного числа классов, каждый из которых ха- [c.53]

Мы ограничились рассмотрением основных уравнений роста, однако в литературе по проблемам экспериментальной и технической микробиологии представлено довольно большое количество математических моделей, предложенных для количественного описания процесса роста популяций микроорганизмов, в основу которых положено допущение увеличения численности популяции по экспоненциальному закону, на которое накладываются различные тормозящие и лимитирующие воздействия. В результате раздельного или совокупного влияния этих факторов на размножение или гибель микробных клеток (все зависит от точки зрения автора модели) кинетическая кривая преобразуется из ожидаемой экспоненты в 5-образную (сигмоидную) кривую насыщения. [c.87]

Полученные выражения (2.20) и (2.21), описывающие закон роста численности популяции микроорганизмов во времени, по форме практически совпадают с некоторыми из уже рассматривавшихся математических моделей роста популяции (см. главу I уравнение логистической кривой Пирля, уравнение Ферхюльста, учитывающее внутривидовую борьбу, частный случай уравнения Вольтерра для одной популяции, уравнение полученное Хиншельвудом при учете токсического влияния продуктов метаболизма и др.). [c.113]

Так, например, Н. Бейли [23], считая, что стохастическая модель более полно может учесть особенности поведения биологического объекта (в первую очередь его изменчивость) пытался описать рост популяции микроорганизмов как изменение распределения вероятностей численности особей в каждый данный момент времени. Оценивая факт деления клетки как случайное событие, характеризуемое определенной вероятностью, автор выразил изменение численности популяции через величину математического ожидания. Для случая большого числа особей выраже- [c.21]

Рассматриваемая ниже группа математических моделей,, предложенная для описания процесса роста популяции, объединяется общим принципом поиска связи между скоростью увеличения численности микроорганизмов и запасом субстрата в питательной среде, что, по мнению авторов, развивающих эти представления, является определяющим. При этом предполагается, что в основе увеличения численности популяции должен лежать экспоненциальный закон, а те отклонения, которые наблюдаются в реальных условиях осуществления культивирования периодическим способом связываются с уменьшением количества субстрата, приходящегося на одну микробную клетку. Изменение скорости роста популяции в этом случае рассматривается как общий результат снижения скорости роста клеток, испытывающих недостаток субстрата. [c.71]

При оценке результатов экспериментальной проверки математической модели обратимого автокаталитического роста популяции, основные положения которой изложены в предыдущих разделах, целесообразно рассмотреть следующие зависимости относительной скорости роста популяции от ее численности относительной скорости образования микроорганизмов (синтеза биомассы) от численности популяции равновесной концентрации микроорганизмов от запаса субстрата в питательной среде максимальной относительной скорости роста от запаса субстрата в питательной среде. [c.135]

Математическая обработка взаимодействий между сосуществующими видами животных позволила Вольтерре [2207] создать модель взаимодействий в системе хозяин—паразит, почти идентичную модели Лотки (см. рис, 3). И в этом случае основанные на вычислениях основные предпосылки экспоненциального роста численности и модификация коэффициента плотности популяций сосуществующих видов приводят к циклическим и постоянно повторяющимся колебаниям численности как хозяина, так и паразита. Кроме того, Вольтерра учитывал влияние общих для хозяина и паразита факторов смертности, или удаление из системы хозяин — паразит равной доли каждого из двух взаимодействующих видов. Исходя из этих соображений Вольтерра, рассматривая биологические системы, в которых один вид животного кормится на другом, сформулировал три закона [318]. [c.52]

Однако раньше чем было проведено глубокое теоретическое обоснование идеи лимитирующего звена, в математических моделях скорость роста биомассы (или численности популяции) задавалась [c.61]

Стохастические модели популяций. Рассмотренные нами выше модели популяций были детерминистическими. Однако в реальной жизни система может подвергаться случайным воздействиям, что связано с флуктуациями численности видов или значений параметров системы. Кроме того, сами процессы размножения и гибели, по сути, носят вероятностный характер. При большом числе особей детерминистическое описание совпадает со стохастическим, т. е. данные о численности видов, полученные при решении дифференциальных уравнений, совпадают с соответствующими математическими ожиданиями. Однако учет стохастического характера экологических процессов становится особенно важным при небольших размерах популяций. В этом случае среднее квадратичное отклонение численности отдельно взятой популяции от математического ожидания может быть довольно значительным. Это приводит к тому, что при рассмотрении какой-либо определенной популяции график роста обнаружит значительные колебания, характеризуя тем самым флуктуационную изменчивость данного процесса и его отклонение от теоретических кривых (фазовых траекторий), задаваемых детерминистической моделью. Пусть, например, в некоторой точке фазовой траектории модели хищник-жертва какая-либо переменная (хг) не очень велика, тогда случайные флуктуации могут привести к тому, что изображающая точка уйдет с фазовой траектории на одну из осей (ось Хг), т.е. численность одного из видов (вид хг) обратится в нуль, а вид (хг) вымрет. Таким образом, стохастическая модель предскажет в конечном счете вымирание одного из видов. Подчеркнем еще раз, что эти эффекты проявляются при небольших численностях популяций. [c.63]

Уравнения (XXXI) и (XXXII) математической модели роста популяции, выведенные на основании совместного рассмотрения уравнения ассимиляции и уравнения сорбции (десорбции) газообразных компонентов, дают возможность оценить требуемую величину объемного коэффициента массопередачи в зависимости от планируемой предельной численности популяции Хоа, физиологической характеристики микроорганизма а, константы его скорости роста и заданного уровня содержания компонентов питательной среды или продуктов метаболизма. [c.329]

Примером временной структурной организации в биологии может служить периодически колеблющееся соотношение между популяциями хищников и их жертв. Представление о взаимозависимом изменении их численности во времени впервые было получено благодаря систематическому учету на протяжении 90 лет количества ежегодно заготовляемых шкурок зайцев-беляков и рысей фирмой "Хадсон Бей" (Канада). Учет преследовал сугубо коммерческие цели, однако оказался полезным и для науки. Рыси, как известно, питаются травоядными зайцами. Чем больше зайцев и. следовательно, пищи, тем рыси интенсивнее размножаются. Со временем рост популяции рысей начинает сдерживаться из-за уменьшения зайцев вследствие их быстрого уничтожения. Уменьшение численности рысей ведет к росту числа зайцев. Рыси снова начинают быстро размножаться и т.д. Это типичный процесс, известный под названием процесса "хищник-жертва", математически описываемой моделью Лотки-Вольтерра. Состояние термодинамической системы, отвечающее такой модели, является промежуточным между устойчивым стационарным состоянием с минимальным производством энтропии и периодическим процессом с предельным циклом (брюс-селятором). Для процесса Лотки-Вольтерра характерно состояние нейтральной устойчивости. Здесь отсутствует линейная связь потоков и сил, но, с другой стороны, нет механизма, обеспечивающего распад флуктуаций, поэтому и нет избранной траектории, к которой стремилась бы вся система. Реальная жизнь, конечно, сложнее, чем рассмотренная модель Лотки-Вольтерра, однако, как видно из рис. 111.33, модель воспроизводит основные черты природных процессов - имеют место колебания численности популяций, численность рысей всегда отстает по фазе от численности зайцев, а амплитуды колебаний взаимосвязаны. [c.452]

Основоположником математических популяционных моделей принято считать Т.Мальтуса, работавшего в конце 18-го века. Закон Мальтуса, определяюш ий экспоненциальный рост популяции, имеет смысл лишь на ограниченных временных интервалах. Модели, предложенные в дальнейшем, стали описывать часто наблюдаемую в природе стабилизацию численности популяции, например, за счет внутривидововй конкуренции (модель Ферхюльста). Следуюш им крупным шагом считается моделирование взаимодействия двух и более видов, начатое в 20-х годах нашего столетия работами А. Лоттки и В.Вольтерра. [c.167]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология