Симметрия шаровых упаковок

НО изобразить в виде плотнейшей упаковки шаров. На рис. 2 показаны две возможности такой плотнейшей упаковки шаров с разной симметрией. Шары в нижнем слое (незаштрихованные шары) обозначены А. Ближайший слой расположенных выше шаров (заштрихованные шары В) помещен над пустотами между шарами. Прн наложении третьего слоя шаров возникает необходимость выбора между двумя типами углублений слоя В, отличающимися своим расположением относительно слоя А — либо над [c.16]

Заметим, однако, что существование ковалентной составляющей связи проявляется при образовании ионных и металлических структур в том, что упаковка структурных элементов менее плотная и координационное число сравнительно меньшее. Ковалентная составляющая металлической связи, придающая ей некоторую направленность, не позволяет атомам подходить друг к другу под любым углом. Их упаковка поэтому часто не может быть такой же плотной, как упаковка шаров, между которыми действуют силы, обладающие сферической симметрией. [c.6]

Симметрия кристаллической структуры является прямым следствием плотной упаковки. Плотнейшая упаковка-такая упаковка, при которой каждая единица образует в структуре максимальное число контактов. Сначала рассмотрим упаковку одинаковых шаров в атомарных и ионных системах. Затем обсудим молекулярную упаковку. Мы остановимся только на характерных особенностях и примерах, так как для справок можно воспользоваться систематическими курсами по симметрии кристаллов, упомянутыми в начале главы [1-3]. [c.441]

Во введении к первому изданию книги (1945 г.) мною было высказано убеждение в том, что структурная сторона неорганической химии до тех пор не будет иметь под собой твердой почвы, пока сведения, получаемые при исследовании твердых тел, не будут включаться в химию как ее неотъемлемая составная часть. Другими словами, далеко не достаточно просто добавлять сведения о строении твердых тел к описанию свойств элементов и их соединений, как это обычно делают при систематическом изложении неорганической химии. Поскольку результаты структурных исследований первоначально описываются на языке кристаллографии, очень важно сделать их доступными для широкого круга химиков. Именно эту задачу автор ставил перед собой в первую очередь, и он надеется, что настоящее издание книги даст возможность преподавателям химии познакомиться с рядом идей и с фактическим материалом, которые могут быть использованы в процессе обучения. Однако несмотря на то, что введение даже ограниченной по объему информации о строении твердых тел в курсы химии является весьма желательным, настоящего понимания структур кристаллов и взаимосвязи между различными структурами нельзя достичь без освоения некоторых важных геометрических и топологических представлений и концепций. Сюда относятся сведения о многогранниках, свойствах и симметрии периодических узоров, способах упаковки шаров одинакового или различного размера. В связи с тем что для многих студентов составляет определенную трудность представить трехмерные структуры по их двумерным изображениям (и даже по стереоскопическим фотографиям), существенной частью обучения должно стать изучение (а еще лучше изготовление) моделей. [c.8]

Рис. 4.3. Упаковка шаров с осью симметрии 5-го порядка.

Гексагональная и кубическая плотнейшие упаковки равновеликих шаров. Теперь рассмотрим шаровые упаковки, в которых плотноупакованные слои накладываются друг на друга наиболее плотным образом. Если обозначить положения шаров в слое буквой А (рис. 4.12), то над этим слоем можно расположить точно такой же слой, так что центры шаров будут находиться над позициями, обозначенными как В. Очевидно, что несущественно, какую из позиций выбрать — В или эквивалентную ей С (это видно из симметрии рис. 4.12). При наложении треть- [c.188]

До сих пор рассматривались элементы симметрии, перпендикулярные к плоскости исходного слоя шаров. В действительности же, кроме этих элементов симметрии, разные плотнейшие упаковки будут иметь [c.152]

Так, через центры шаров каждого слоя, обозначенного буквой г и разбивающего всю упаковку на две симметричные части, проходит плоскость симметрии, перпендикулярная к главной оси. Если буква к разбивает всю формулу упаковки на две симметричные части, то в центрах шаров этого слоя будут располагаться центры симметрии. Центры симметрии будут находиться также и между слоями в тех случаях, когда пара одинаковых букв кк или гг делит формулу упаковки на две зеркально равные части. В качестве примера приведем одну из 9-слойных и одну из 12-слойных упаковок [c.154]

Если взять в слое трансляцию, равную 4 , то отношение в трехслойной упаковке приведет нас к объемноцентрированной кубической решетке и к новой пространственной группе для плотнейших упаковок. Полная диагональ куба будет равна шести слоям. Для этого случая мы будем иметь четыре упаковки двойную кубическую, тройную гексагональную и две шестислойных. Симметрия последних трех упаковок, конечно, останется гексагональной, хотя элементарный ромбоэдр у них будет иметь форму куба. Однако двойная кубическая упаковка шарами двух цветов может сохранить [c.155]

При плотнейшей укладке шаров в пространстве получается упаковка с координационным числом (КЧ), равным 12. Такую упаковку можно ожидать при наличии между всеми шарами ненаправленных сил притяжения. Если эту идею (сферические атомы с одинаково прочными связями в любом направлении) применить теперь к металлам, то можно легко понять наибольшую распространенность этих двух типов упаковок и объяснить пластичность металлов если силовое поле ненаправленно, скольжение атомов относительно друг друга может происходить параллельно плоскостям атомов. Поскольку в г. ц. к.-структуре имеется двенадцать различных плоскостей скольжения, а в г.п.у. (с более низкой симметрией) только три, можно ожидать, что кристаллы с г.ц.к.-решеткой будут более пластичными. Это подтверждается на опыте. На рис. 33.1 изображены структуры г.ц.к. п г.п.у., а на рис. 33.2 показаны некоторые плоскости скольжения в этих структурах. [c.99]

Элементарная ячейка гексагональной упаковки базисной плоскостью совпадает с плоскостью плотнейшей упаковки, которая перпендикулярна оси симметрии шестого порядка. Постоянная решетки в базисной плоскости а = 2г (г — радиус шара). Высота элементарной ячейки с равна удвоенной высоте тетраэдра, образованного четырьмя шарами (рис. 1.2). Используя рис. 1.2, постоянную с можно найти по формуле с = 4гТ/ . [c.8]

До сих пор рассматривались элементы симметрии, перпендикулярные к плоскости исходного слоя шаров. В действительности же, хроме этих элементов симметрии, разные плотнейшие упаковки будут иметь и другие элементы симметрии. Выше, говоря о типах пустот в плотнейших [c.179]

Если взять в слое трансляцию, равную Ы, то отношение в трехслойной упаковке приведет нас к объемноцентрированной кубической решетке и к новой пространственной группе для плотнейших упаковок. Полная диагональ куба будет равна шести слоям. Для этого случая мы будем иметь четыре упаковки двойную кубическую, тройную гексагональную и две шестислойных. Симметрия последних трех упаковок, конечно, останется гексагональной, хотя элементарный ромбоэдр у них будет иметь форму куба. Однако двойная кубическая упаковка с шарами двух цветов может сохранить кубическую симметрию при объемноцентрированной ячейке, т. е. будет принадлежать к еще одной новой пространственной группе. Процесс усложнения можно, очевидно, продолжить до бесконечности. [c.182]

Упаковки с высокими значениями п, как было показано выше, обязательно построены из разноцветных шаров. С этой точки зрения новые кубические упаковки, имеющие две федоровские группы, не являющиеся ни одной из восьми указанных выше групп симметрии, равноценны другим упаковкам с /г 4. [c.182]

Структуры, построенные из малых симметричных молекул, близких пб форме к сферическим. Эти структуры характеризуются высокой симметрией, а молекулы очень часто образуют плотнейшую кубическую или гексагональную упаковку шаров. [c.363]

Когда накладывается второй слой, меняется симметрия упаковки исчезают оси 6, через шары и через пустоты проходят только оси 3 и три плоскости т. [c.150]

Для определения симметрии упаковок удобен другой способ обозначений. Любой шар (буква), располагающийся между повторяющими друг друга слоями, как в гексагональной упаковке, обозначаем г , а между не повторяющими друг друга, как в кубической — к . Сопоставим оба способа обозначений для первых шести упаковок [c.151]

Теоретические расчеты показывают, что наиболее плотная упаковка отдельных частиц одинакового размера, обладающих шаровой симметрией, может быть выполнена двумя способами. Первый из них отвечает расположению частиц в плотнейшей кубической решетке (гранецентрированной), второй же — в плотнейшей гексагональной решетке. Эти два способа укладки шаров дают одинаковую степень заполнения объема (74%), все другие структуры уступают им в этом. отношении. Так, например, отношение объема, занимаемого атомами, ко всему объему решетки будет для простого куба составлять 52%. Этим следует объяснить, что ни один из металлов не кристаллизуется в простой кубической решетке. В табл. 1 приведены кристаллические структуры, свойственные некоторым металлам. [c.7]

В упаковках двух- и трехслойных все шары располагаются по точкам одной федоровской правильной системы, т. е. они кристаллохимически тождественны. Однако для упаковок высоких порядков слойности эта особенность может не соблюдаться. Этот факт легко показать на примере пятислойной упаковки, имеющей федоровскую группу Р3тга1. В примитивном параллелепипеде решетки этой упаковки содержатся 5 атомов, а кратность 5 невозможна ни в одной федоровской группе. В группе Р%т имеются кратности 1, 2, 3, б и 12, Следовательно, шары плотнейшей пятислойной упаковки кристаллохими-чески не могут быть тождественными, они различаются физически, в частности своей симметрией. Такие упаковки следует считать упаковками из двух (или более) типов шаров одного размера. Условно станем считать такие шары окрашенными в разные цвета, а всю упаковку — упаковкой разноцветных шаров. Разноцветные шары не могут быть совмещены друг с другом никакими симметрическими преобразованиями, мыслимыми в данной пространственной группе. Так как шары в п-слош-ных упаковках обязательно нескольких типов цветов , то их, очевидно, можно распределить по местам упаковки разными способами и, в частности, так, что симметрия ее станет [c.154]

В пространственной группе Рсап общая позиция является восьмикратной, частные — в центрах инверсии и на двойных поворотных осях —четырехкратными. Анализ расположения шаров упаковки относительно элементов симметрии показывает, что в обеих возмоисных [c.201]

Чтобы описать статич. модель К.с., необходимо указать ее симметрию, выражаемую одной из пространственных (федоровских) групп, параметры решетки и координаты атомных ядер в ячейке эти данные позволяют вычислить межатомные расстояния и валентные углы. Первичная трактовка такой модели при наличии между атомами ковалентных связей состоит в том, что атомы соединяют валентными штрихами в соответствии с классич. теорией хим. строения. Межатомные расстояния указывают правильный способ проведения валентных штрихов обычно расстояние А—В, соответствующее ковалентной связи, су-1цествеиио короче, чем кратчайшее расстояние между валентно не связанными атомами А и В. Если ковалентные связи отсутствуют (превалируют ионные, металлич. или ван-дер-ваальсовы межатомные взаимод.), модель К.с. представляют в внде плотной упаковки, образованной шарами одинакового размера (простые в-ва) или шарами неск. [c.531]

Поскольку к кубической сингонии принадлежит только одна упаковка — трехслойная. ..АВСАВС... или. ..кккк..., имеюпцая пространственную группу РтЗт, то не представляет труда разобраться в том, где и какие элементы симметрии будут проходить в пространстве, заполненном шарами по этому закону. Переходя же к гексагональным упаковкам, мы встречаемся с тем обстоятельством, что в каждую группу попадает бесконечное множество упаковок с различными периодами идентичности. Вопрос, следовательно,сводится к тому, чтобы найти, в каких слоях или между какими слоями располагаются дополнительные (к основному комплексу РЗ) элементы симметрии плоскости, перпендикулярные к главной оси, и центры симметрии. Производные двойные оси, конечно, легко могут быть найдены в результате сложения плоскостей симметрии. Обозначение плотнейших упаковок при помощи букв г я к позволяет без чертежа и модели находить эти дополнительные элементы симметрии. [c.154]

Строение кристаллической решетки. Бериллий и магний в элементарном состоянии кристаллизуются по типу гексагональной решетки, приведенной на рис. 57. Элементарная ячейка этой структуры обозначена черными кружками, соединенными на рисунке жирными линиями кроме того, на рисунке для наглядного представления гексагональной симметрии добавлены еще некоторые атомы, лежащие вне элементарной ячейки (они заполнены точками и соединены светлыми линиями). Представленную на рис. 57 элементарную ячейку можно разделить на две трнгональные призмы. Кроме восьми угловых точек элементарной ячейки, атом бериллия занимает и центр одной из этих двух призм. В общем элементарная ячейка содержит 2 атома Ве, так как каждый угловой атом принадлежит одновременно 8 ячейкам. Эта решетка представляет собой тип гексагональной плотнейшей упаковки. Если представить себе, что атомы — твердые шары и что очень большое их количество размещено один над другим таким образом, чтобы возможно полнее использовать имеющееся пространство (т. е. чтобы между атомами оказался возможно меньший свободный объем), то получим расположение, приведенное на рис. 57. Плотность заполнения при этом достигает 74,05%. Однако существует и другая возможность размещения шаров, при которой пространство окажется также заполненным на 74,05%. [c.279]

Самая важная особенность, которую можно заметить на рис. 4.5, а, это то, что шары слоя / закрывают только половину углублений между шарами слоя 2. Поэтому наложение третьего слоя 3 можно произвести двумя способами. Шары слоя 3 можно поместить прямо над шарами слоя 1. При таком расположении слои 1 я 3 станут эквивалентными, и упаковку можно обозначить ABA. Если продолжить наложение слоев тем же способом, то получим последовательность АВАВАВ,.., которую называют гексагональной плотнейшей упаковкой (гпу), так как гексагональная симметрия, свойственная каждому слою, сохраняется и во всей последовательности слоев. [c.127]

Но третий слой можно наложить и другим способом, который показан на рис. 4.5, б, т. е. поместить его шары над теми углублениями слоя 1, которые не закрыты шарами слоя 2. Это расположение можно обозначить как АВС, а при его бесконечном повторении АВСАВСАВСА... получим кубическую плотнейшую упаковку (кпу), называемую так не потому, что нарушается гексагональная симметрия каждого слоя, а потому, что в последовательности возникает более высокая кубическая симметрия. Она легко распознается, если установить куб на одну вершину с вертикальной диагональю. Если теперь поместить один шар в каждую вершину и один в центр каждой грани, то образуется конфигурация слоев плотнейшей упаковки, которая лежит в горизонтальных плоскостях, как показано на рис.- 4.6. Конечно, возможны и смешанные [c.127]

В слое плотно упакованных шаров (рис. 197) через центр каждого шара перпендикулярно к слою проходит ось шестого порядка и шесть плоскостей симметрии. Через каждую пустоту проходят оси третьего порядка и по три плоскости симметрии. Если перейти ко второму, третьему и т. д. слоям и помещать над пустотами шары новых слоев, то легко видеть, что ось шестого порядка, присутствующая в изолированном (первом) слое, превратится в ось третьего порядка в любой трехмерной плотнейшей упаковке. При этом исчезнут три плоскости симметрии из шести. Оси третьего порядка и плоскости симметрии, проходившие через пустоты в первом слое, никаких изменений не претерпят. Таким образом, в любой миогослойно й упаковке мы будем иметь три системы осей третьего порядка (проходящие через центры шаров и центры пустот обоих типов) с пр о ходящими через них плоскостями симметрии. Каждая из плоскостей симметрии является общей для всех трех осей. Эти оси симметрии в частных случаях могут быть шестерными зеркально-поворотными, инверсионными или шестерными винтовыми осями, но при всех обстоятельствах они будут включать в себя поворотную ось третьего порядка и три плоскости симметрии, проходящие через нее. [c.179]

В трехслойной, или кубической плотнейшей упаковке. ..АВСАВС... перпендикулярно слоям плотнейшей упаковки располагается ось симметрии 3. Над пустотой О размещается пустота Т и наоборот сплошных колонок из пустот нет. Четвертый слой повторяет расположение первого. В результате шары размещаются по узлам гранецентрированной кубической решетки (ГЦК). Плотно упакованные слои перпенди>- [c.150]

При изучении возможных типов пространственных симметричных упаковок исходят из рассмотрения расположения па плоскости равновеликих сфер (шаров). Как известно, существуют два типа такой симметрии — квадратная (кубическая) и шестиугольная (гексагональная) (рис. 3.1) [16]. Для того чтобы наложить плотнейшим образом на первый слой второй, надо канодый шар второго слоя поместить между тремя шарами первого слоя. В обоих вариантах укладки первые два слоя имеют одинаковое взаимное расположение. Различие в упаковке выявляется только в третьем слое. В варианте а (см. рис. 3.1) каждый шар третьего слоя лежит на трех шарах второго таким образом, что под шаром третьего слоя нет шара в нервом слое. В варианте б каждый шар третьего слоя лежит на трех шарах второго слоя, но под каждым шаром третьего слоя оказывается шар в первом слое. Плотность заполнения пространства шарами в обоих случаях, конечно, одинакова, но симметрия в расположении шаров различна кубическая в первом случае (а) и гексагональная — во втором б). Процент занятого шарами пространства, при ус.ловии их касания, соответственно также одинаков и равен д.ля обоих вариантов 74,05% (табл. 3.1). [c.171]

Если все эквивалентные точки находятся в однопараметрической зависимости, то мы говорим, что они образуют гомогенную шаровую упаковку. Действительно, если представим себе, что каждая точка стала центром шара со все возрастающим радаусом, то все шары будут соприкасаться между- собой, когда радиус достигнет половины кратчайшего расстояния. Число точек соприкосновения какого-либо шара с соседними равно координационному числу. Гомогенные шаровые упаковки в точечных группах симметрии (на- [c.103]

Пространственные шаровые упаковки в последнее время тщательно исследованы Синоговичем. Уже А1инковский показал, что имеется две, отличающиеся по максимальной симметрии, плотнейшие пространственные шаровые упаковки с равной плотностью (КЧ = 12 или 12 ) в обЬих слз аях коэфициент заполнения пространства = 0,741 (<р —отношение объема шаров к общему объему). Одна из таких упаковок обладает гексагональной симметрией, другая — кубической. Обе построены из слоев, показанных на рис. 98 (см. также рис. 78а). Слои лежат друг на друге таким образом, что шары в каждом верхнем слое опущены в пустоты нижележащего слоя как при гексагональной, так и при кубической упаковке занята только половина пустот. Различие между обеими формами заключается в периодичностй шаров, расположенных вертикально друг над другом. При кубическом [c.116]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология