Принцип максимума оптимизация

При решении задач оптимизации нестационарного состояния катализатора принцип максимума лишь в редких случаях допускает аналитическое решение. Иногда удается показать, что х, являющийся решением задачи (7.1)—(7.4), не удовлетворяет необходимым условиям оптимальности, что означает [61]. Чаще всего необходимые условия оптимальности позволяют лишь качественно характеризовать оптимальное решение и (или) построить численные алгоритмы оптимизации. Для этого используют методы. [c.289]

В простейших случаях, когда целевая функция задана аналитически, используют классические методы нахождения экстремума методами дифференциального исчисления. При наличии ограничений типа равенств, наложенных на независимые переменные, используют метод множителей Лагранжа. В более сложных случаях, когда критерий оптимальности представлен в виде функционалов, используют методы вариационного исчисления-, при оптимизации процессов, описываемых системами дифференциальных уравнений, применяют принцип максимума Понтрягина. Используют также динамическое, линейное программирование и другие методы оптимизации. [c.38]

Для оптимизации процессов с распределенными параметрами предпочтительнее все же оказывается принцип максимума, которому посвящена следующая глава. Однако всегда нужно учитывать воз-мо кность аппроксимации непрерывного процесса дискретным многостадийным процессом и пользоваться указанной возмо кностью для решения оптимальных задач невысокой размерности. Это обусловлено 1см, что метод динамического программирования представляет в распоряжение исследователя весьма удобную процедуру оптимизации многостадийных процессов, которая сравнительно легко программируется на вычислительных ма1[шнах. [c.319]

От недостатков общей схемы метода динамического программирования можно, однако, в значительной мере избавиться, используя аналитический метод поиска оптимума на каждой стадии. Именно этот способ будет применен к решению задач оптимизации цепочек реакторов, рассматриваемых ниже. Отметим, что основные расчетные формулы, которые получим, могут быть выведены не только с помощью метода динамического программирования, но и на основе дискретного варианта принципа максимума Понтрягина [18] или классических вариационных методов. [c.384]

Существуют различные методы, в том числе и аналитические, позволяющие иногда при рассмотрении конкретных задач ответить на вопрос об эффективности нестационарного режима. Рассмотрим кратко эти методы. По аналогии с задачами оптимального управления решение задачи оптимизации циклического режима должно удовлетворять необходимым условиям оптимальности. Применительно к поставленной задаче был сформулирован принцип максимума Понтрягина [59, 60]. [c.289]

Второй — новые, в смысле применения для оптимизации химических процессов, математические методы, учитывающие ранее недоступные или весьма ограниченно доступные для оптимизации области протекания процессов. Например, принцип максимума Л. С. Понтрягина [33] дает возможность определить оптимальный температурный профиль по длине реактора для любой сложной [c.10]

Важной характеристикой любой оптимальной задачи является ее размерность п, равная числу переменных, задание значений которых необходимо для однозначного определения состояния оптимизируемого объекта. Как правило, решение задач высокой размерности связано с необходимостью выполнения большого объема вычислений. Ряд методов (например, динамическое программирование и дискретный принцип максимума) специально предназначен для решения задач оптимизации процессов высокой размерности, которые могут быть представлены как многостадийные процессы с относительно невысокой размерностью каждой стадии. [c.34]

Принцип максимума распространяется и на процессы с распределенными параметрами, которые описываются уравнениями в частных производных . Кроме того,с некоторыми оговорками принцип максимума может использоваться для оптимизации дискретных процессов. [c.320]

Для решения задач оптимизации химико-технологических процессов обычно используют методы нелинейного программирования (поисковые методы) [1, 3] и методы теории оптимального управления вариационного исчисления [4], динамического программирования 15], принципа максимума Понтрягина [6], дискретного принципа максимума 17]. Наибольшее распространение получили поисковые методы как наиболее гибкие и универсальные. Эти методы находят также широкое применение при решении задач идентификации (определение некоторых коэффициентов уравнений, представляющих собой математическую модель исследуемого процесса). Кроме того, поисковые методы могут быть эффективно использованы при синтезе оптимальной структуры химико-технологических систем, который в общем случае представляет собой задачу дискретно-непрерывного программирования в частности, они могут быть использованы при получении нижних оценок в методе ветвей и границ (см. гл. VI). [c.14]

Наряду с многоуровневыми методами для решения задачи оптимизации сложных ХТС можно также использовать методы дискретного динамического программирования и дискретного принципа максимума с применением двух рассмотренных алгоритмов координации, [c.235]

Когда технологическая топология ХТС характеризуется совокупностью последовательных, параллельных или обводных технологических связей, эффективными методами второго пути оптимизации являются динамическое программирование, принцип максимума Понтрягина и принцип декомпозиции Данцига — Вольфа. [c.295]

В данном разделе предлагается простой способ вывода необходимых условий оптимальности первого и второго порядков для общих дискретных задач управления циклическими адсорбционными процессами. Он основан на известных результатах нелинейного программирования и в отличие от традиционных подходов [62] предъявляет минимальные требования гладкости к данным задачи оптимизации. Доказательство принципа максимума, как и необходимых условий оптимальности второго порядка, проводится по одной схеме [63, 72] по части ограничений задачи строится варьированное семейство, содержащее исследуемый допустимый процесс по остальным ограничениям формируется вспомогательная задача нелинейного программирования с известным решением для данного решения записываются и потом расшифровываются локальные условия экстремума первого или второго порядка и затем устанавливается существование универсальных множителей Лагранжа, не зависящих от способа построения варьированного семейства. [c.185]

Разработана теория оптимального управления каталитическими процессами на основе принципа максимума Понтрягина и прямых вариационных методов. Для каталитических реакций с падающей активностью катализатора проведено качественное исследование оптимальных управлений, разработаны эффективные численные алгоритмы оптимизации и решен ряд промышленно важных задач. [c.4]

Пусть начальные условия имеют вид (11,92). Эта задача решалась в работе [И, с. 171—173] с использованием уравнений принципа максимума методом квазилинеаризации. В соответствии со сказанным выше, приближенное решение задачи определения ОТК сведется к оптимизации системы реакторов, описываемых уравнениями (11,90)—(11,91), т. е. к уже рассмотренной задаче. В качестве начального приближения для Т в данном случае был выбран дискретный аналог функции, взятой пз монографии [И, с. 173] [c.54]

Применение классических методов математического анализа и вариационного исчисления для оптимизации химических реакторов наталкивалось на значительные затруднения, связанные с наличием в реальных задачах ограничений на фазовые и управляющие переменные. Аналогичные трудности возникали при постановке оптимальных задач в других областях науки и техники. Это способствовало развитию таких мощных методов, как метод динамического программирования принцип максимума методы нелинейного программирования 2о-22 [c.10]

Следующий важный этап оптимизации химических реакторов — выбор метода расчета оптимальных режимов. Широкое распространение получили как классические методы математического анализа и вариационного исчисления, так и новые методы — принцип максимума динамическое и нелинейное программирование. В системе автоматической оптимизации время расчета оптимальных режимов Тр должно быть существенно меньше среднего времени между двумя последовательными возмущениями, т. е. [c.21]

Понятие сопряженного процесса является обобщением понятия сопряженной системы, применяемой в вариационном исчислении для формулировки необходимых условий оптимальности [37] (в принципе максимума Понтрягина сопряженную систему использовали применительно к задаче оптимального управления [19]). С появлением вычислительной техники и началом бурного развития методов численного решения задач оптимизации было обращено внимание на другой аспект возможного использования сопряженной системы, а именно, на удобство получения с ее помощью градиента оптимизируемой величины. [c.139]

Основные математические методы оптимизации (классический математический анализ, вариационное исчисление, линейное и динамическое программирование, принцип максимума и др.) описываются в специальной литературе . [c.20]

Известен ряд работ, где для управления процессом ферментации используют оптимальные подпитки субстратом в ходе периодического процесса ферментации [3, 28], оптимальный температурный профиль [23, 27], изменения рОг среды в течение режима ферментации [25]. При рещении указанных задач применяют такие методы оптимизации, как принцип максимума Понтрягина, динамическое, нелинейное программирование. [c.33]

Задача оптимизации решается с использованием дискретного принципа максимума. Соотношения принципа максимума записываются в следующем виде. Определяется функция Я [c.37]

Для задач, возникающих прп оптимизации нестационарного состояния катализатора, принцип максимума лишь в редких случаях допускает аналитическое решение. Иногда удается показать, что х, являющийся решением задачи (2.15) — (2.18), не удовлетворяет необходимым условиям оптимальности, что означает / >/ [43]. Чаще всего необходимые условия оптимальности позволяют лишь качественно характеризовать оптимальное решение и (или) построить численные алгоритмы оптимизации. В связи с этпм целесообразно использовать методы, основанные на анализе предельных случаев, и сформулировать достаточные условпя эффективности периодических режимов. Так, чтобы показать эффективность циклического процесса, часто достаточно проанализировать поведение системы при очень больших и очень малых по сравнению с характерным временем системы значениях периода, которым соответствуют, как уже обсуждалось, квазистационарный и скользящий режимы. При квазистационарном ре киме в силу большой продолжительности цикла система будет удовлетворять уравнению (2.15) нри всех 0стационарных состояний, значение управления и t) однозначно определяет состояние [c.50]

В книге в доступной форме изложены основы методом оптимизации (классический анализ, вариационное исчисление, принцип максимума, динамическое, линейное и нелинейное программирование) с иллюстрацией их на объектах химической технологии. Сформулированы общие положения, касающиеся выбора критериев о[1ти-мальности химико-технологических процессов, и приведены их математические модели. Рассмотрены задачи, связанные с оптимизацией конкретных процессов. [c.4]

Принцип максимума (см. главу УП) применяют для решения задач оптимизации процессов, описываемых спстемами дифференциальных уравнений. Достоинством математического аппарата принципа максимума является то, что решение может определяться в виде разрывных функций это свойственно многим задачам оптимального управления, если, например, объект описывается ли-иейиымп дифференциальными уравнениями. [c.32]

Кроме того, на примере оптимизации реактора изложен подход к решению реальной вариационной задачи с ограничениями типа неравенств. Решение этих задач представляет собой, вообще говоря, весьма сложную проблему. Однако задачу оптимизации реактора идеального вытеснения все же можно решить, если принять во внимание некоторые свойства оптимизируемого процесса. К сожалению, и общем случае не представляется возможным указать достаточно удобные методы решения вариационных задач с ограничениями тйпа неравенств. Поэтому для каждого конкретного процесса приходится искать са.мый удобный прием или же решать задачу с помощью других методов, например динамического программирования или принципа максимума, более приспособленных для решения таких адач. [c.222]

Метод принципа максимума для сложвцх процессов значительно экономнее метода динамического программирования. На основе данного метода удается создать общий подход к решет нию задач оптимизации стационарных и нестационарных каталитических процессов. Этот метод заключается в решении краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений и определении оптимального управления на каждом шаге интегрирования исходя из условия максимума некоторой функции Решение состоит в выборе некоторых начальных условий и их дальнейшего уточнения для нахождения оптимального режима. Указанная процедура позволяет разработать эффективный численный метод решения краевых задач. [c.495]

В настоящее время принцип максимума нашел широкое п )пмеие-ппс в практике решения оптимальных задач оптимизации, отиося-ишхся области химической технологии . [c.320]

Прп оптимизации дискретных многостадийных процессов использование математического аппарата принципа максимума зачастую оказывается более эффективным, чем нримепенне метода динамического программирования. В особенности это относится к ранению оптимальных задач, где размерность отдельных стадий затрудняет использование вычислительной процедуры метода динамического программирования [c.393]

Вместе с тем, владение методами нелинейного программировании нужно не только как самоцель, но также и в связи с использованием таких методов оптимизации, как динамическое программирование или принцип максимума, в которых на различных этапах приходится решать задачи нелинейного программирован1 я. [c.481]

В настоящее время нет общего метода решения задач циклической оптимизации. Все используемые алгоритмы основаны на классических понятиях вариации функционала и модифицированного принципа максимума. Наиболее общим и обоснованным является градиентный метод, основанный на вариационном исчислении. Суть этого метода была изложена еще в работе [7]. Задается фиксированная продолжательность периода с и определяется (численно) соответствующее ему оптимальное управление, затем задается другое значение периода и определяется соответствующее ему другое оптимальное управление. После этого сравнивают значения целевых функционалов и с помощью направленного поиска определяются значение оптимального периода. Конечно, такой подход требует больших затрат машинного времени. В работе [72] разработан другой численный алгоритм. Здесь не использовались условия цикличности. Оптимальное управление определялось на достаточно большом отрезке времени с произвольными начальными условиями. [c.292]

Книга посвящена актуальному в настоящее время вопросу применения математических методов для расчета оптимальных (наилучших) режимов технологических процессов. Дана характеристика основных этапов работ по статической, квазистатической и динамической оптимиаации как действующих химических реакторов, так и при их проектировании. Сопоставлены два важнейших метода оптимизации — метод поиска на объекте и метод оптимизации с помощью математической модели. Большое внимание уделено математическим способам оптимизации — нелинейному программированию и Принципу максимума. [c.4]

Разберем теперь непрямые методы. Каждый такой метод включает применение уравнений, выражающих необходимые условия опти-мальност и, и численный способ их решения. Было показано, что задача оптимизации схемы произвольной структуры сводится к решению краевой задачи для некоторой сложной системы уравнений [3, с. 224—227]. В главе VI обсуждены некоторые употребительные методы решения краевых задач для уравнений принципа максимума, записанных для одного блока с распределенными параметрами. В главе IX рассмотрены методы решения системы уравнений, выражающих необходимые условия оптимальности уже для с. х.-т. с. произвольной структуры. Наконец, в главе X описаны методы оптимизации с. х.-т. с., включающих реакторы, работающие в квазистатическом реншме [8, с. 44—45]. [c.14]

Как уже отмечалось, непрямые методы оптимизации строятся на основе необходимых условий оптимальности. В общем случае такие условия для схем произвольной структуры выражаются в форме уравнений принципа максимума [3, с. 219]. Однако для простоты изложения и для того, чтобы сосредоточиться в основном на особенностях применения непрямых методов, определяемых сложностью структуры схем, будем предполагать, что от ограничений (VIII,3) мы избавились, преобразовав соответствующим образом критерий оптимизации с помощью штрафных добавок. [c.199]

Винаров А. Ю. Оптимизация каскада биохимических реакторов с использованием принципа максимума.— В кн. Автоматизация управления промышленным биосинтезом. Труды/ВНИИбиотехника. М., 1972, с. 95—101. [c.273]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология