Чувствительность решений системы дифференциальных уравнений

Здесь будут кратко изложены некоторые часто употребляемые численныс методы решения краевых задач для линейных систем дифференциальных уравнений 131. Однако, прежде чем переходить к изложению этих методов, нам хотелось бы, не претендуя на строгость изложения, остановиться иа одном вопросе, играющем большую роль при численном решении краевых задач, а именно на вопросе о чувствительности решений системы дифференциальных уравнений (к погрешностям в начальных условиях, в коэффициентах, к погрешностям в счете и др.). Этот вопрос важен потому, что прп численном решении нужно знать влияние погрешностей на окончательный результат. [c.307]

Система уравнений (VII.35), (VII.36) не решается аналитически даже для процессов с простейшей кинетикой. Тем пе менее, ее анализ позволяет установить некоторые особенности решения. При расчете экзотермического процесса наиболее интересной величиной является максимальный разогрев, достигаемый в горячей точке реактора. Если в реактор поступает исходная смесь с температурой, близкой к температуре теплоносителя Г,,, то в сечениях, близких к входному, теплоотвод окажется незначительным и процесс будет проходить в почти адиабатических условиях. В дальнейшем, по мере повышения температуры реагирующей смеси скорость теплообмена возрастает и в некотором сечении сравняется со скоростью тепловыделения. После этого температура реакции, пройдя через максимум, начнет убывать. Верхнюю оценку для достигаемой максимальной температуры можно найти, считая, что процесс протекает адиабатически вплоть до самой горячей точки . Тогда верхняя оценка температуры, при которой скорости тепловыделения и теплоотвода сравняются, может быть найдена по точке пересечения прямой теплоотвода q = а (Т — Т .) и кривой тепловыделения ф (Т) = hr (Т). Последнюю строят с учетом соотношения между концентрацией и температурой (VII.28), которое выполняется в адиабатическом процессе. Кривая тепловыделения и прямая теплоотвода изображены на рис. III.3 они пересекаются в нескольких точках, и верхнюю оценку максимальной температуры дает точка пересечения, соответствующая наименьшей температуре. По мере увеличения температуры теплоносителя прямая теплоотвода сдвигается вправо, и при некотором критическом значении низкотемпературная точка пересечения исчезает. При этом верхняя оценка температуры в горячей точке резко повышается. Формально значение максимальной температуры, конечно, не может измениться скачком. Из теории обыкновенных дифференциальных уравнений следует, что решение системы уравнений (VII.35), (VII.36) непрерывно изменяется с изменением всех параметров, в том числе и (см. также раздел VII.2). Однако в области значений параметров, близкой к той, где кривая тепловыделения касается прямой теплоотвода (рис. III.3, прямая 4), следует ожидать сильной чувствительности температуры в горячей точке к изменению параметров процесса. [c.288]

Необходимо обратить внимание на следующее. Можно составить величину общей ошибки ёд, показанную на фиг. 7.17, другими способами. Некоторые из них могут привести к ошибочным выводам. Так, например, можно величину ёс считать переходной ошибкой (разница в момент времени t + h между точными решениями системы дифференциальных уравнений при наличии ошибки аЬ в момент времени О, а f — ошибкой усечения. Ошибочность заключается в том, что в этом случае ошибка усечения очень чувствительна к остаточной ошибке, что ведет к выводу о сходимости уравнений в конечных разностях в тех случаях, когда имеется сходимость для системы дифференциальных уравнений (см. [25, стр. 219— 231]). [c.230]

В большинстве случаев практического применения анализа чувствительности аналитическое решение системы дифференциальных уравнений (аналогичной (7.5)) и последующее вычисление частных производных от аналитического решения, разумеется, невозможны. Однако в этом случае анализ чувствительности вьшолняется численно путем построения системы дифференциальных уравнений для коэф- [c.115]

Выше показано, что математические описания химико-технологических процессов представляют собой системы алгебраических или дифференциальных уравнений. Здесь приведем описание некоторых численных методов, позволяющих выполнять расчеты таких систем. Далее рассмотрим существенные для математического моделирования методы исследования таких систем определение чувствительности решения к величинам параметров и, если число возможных решений больше одного, — определение устойчивого решения и па его основе — устойчивого режима работы химико-технологического процесса. [c.141]

Тем самым первоначальная оптимальная задача оказывается сведенной к краевой задаче специального вида для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. К сожалению, при одновременном интегрировании систем (VII,1) и (VII,6) часто наблюдается высокая чувствительность по отношению к начальным условиям, что затрудняет решение краевой задачи. Причина этого становится очевидной, если система (VII,1) является относительно х системой линейных уравнений с постоянными коэффициентами. [c.187]

Рассмотрим сначала методы локального анализа чувствительности. Простейшим методом вычисления частных производных компонент решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений по параметрам является поочередное изменение каждого из параметров на некоторую величину и численное интегрирование системы ОДУ. Таким образом, для расчета разностной аппроксимации матрицы частных производных =Э/,7 требуется численно проинтегрировать систему ОДУ 7 + 1 раз. Другой путь состоит в представлении в качестве динамических коэффициентов и составлении для них задачи Коши [420] [c.156]

Анализ системы уравнений (3.1) — (3.3) показывает, что в общем случае кинетические закономерности двухкомпонентной хемосорбции определяются величиной безразмерных параметров Ма, Мс, вв = Вв/Г>А, с = Ов/Ос, Яа и Яс. в гл. 2 показано применительно к хемосорбции одного компонента, что расчет скорости поглощения может быть сведен к раздельному определению Рж и у, причем значения у не слишком чувствительны к виду модели, особенно при 0вл 1. Это позволяет искать у на основе упрощенных, но доступных для решения моделей. Ввиду сложности получения даже приближенного решения системы дифференциальных уравнений (3.1) — (3.3) коэффициенты ускорения уа и ус целесообразно искать без учета конвективного переноса вещества. [c.77]

Таким образом, ошибка машинного решения во много раз превышает точное значение искомого решения. В действительности, же ошибка будет еще больше, поскольку в процессе интегрирования накапливаются различные погрешности счета. Практическп на машине невозможно получить решение задачи Коши системы (1). Этот пример показывает, насколько важно обращать внимание на чувствительность системы, а также ее связь с устойчивостью решений по Ляпунову системы дифференциальных уравнений. Действительно, харак-терисгпческое уравнение дифференциального уравнения (1) имеет один положительный корень - -к. Его наличие как раз и обусловливает высокою чувствительность уравнения (1), что свидетельствует о неустойчивости решений системы (1). [c.308]

В случае системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами высокая чувствительность также связана с наличием положительных корней и, следовательно, с неустойчивостью решений системы. Из физических соображений ясно, что и для нелинейных систем высокая чувствительность решений должна быть обусловлена нел сто11чивостью решений этих систем. [c.308]

Минимизация S современными градиентными методами [28] осуществляется с помощью итеграционного процесса, на каждом шаге которого необходимо выполнить численное интегрирование системы (6) — (7), а также численное интегрирование расширенной системы дифференциальных уравнений (так называемых уравнений чувствительности), решение которой необходи- [c.82]

С вычислительной точки зрения решение рассматриваемой прямой кинетической задачи отличалось рядом особенностей. Во-первых, при расчете зависимости концентраций от времени в силу сильной зависимости особенностей протекания процесса от удельного энерговклада очень трудно выделить кваэистационарную подсистему, поэтому в данном случае необходимо решать полную систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Во-вторых, уравнения для колебательной и поступательной температур имеют достаточно сложный вид, поэтому не удается вычислить аналитически якобиан системы. В связи с этим приходится отказаться от тех численных методов интегрирования жестких систем, которые сильно чувствительны к точности вычисления якобиана (методы Розенброка, методы локальной линеаризации). Так как якобиан системы в рассматриваемом случае не имеет больших по модулю положительных [c.151]

Мы рассмотрели метод решения системы линейных разностных уравнений. Однако на практике часто встречаются задачи, сводящиеся к системам нелинейных дифференциальных уравнений. Во многих случаях показано, что реп1ение линеаризованной формы уравнений методом последовательных приближений (или итерациями) дает правильный ответ. Иначе говоря, если линеаризовать уравнения вблизи некоторого пробного решения, то в результате решения линеаризованных уравнений мы приближаемся к решению нелинейной задачи. Найденное решение можно рассматривать как пробное для получения второго приближения, и дальше весь процесс повторяется, пока не будет достигнута нужная точность. Как показывает опыт, сходимость метода не очень чувствительна к выбору первого пробного решения. [c.451]

Во-вторых, удар по традиционным представлениям относительно свойств макроскопического мира был нанесен той легкостью, с которой сценарии эволюции детерминированных макроскопических систем (например, систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями) порождают нерегулярные апериодические решения, называемые хаотическими или турбулентными. Такие решения, полученные одновременно с развитием неравновесной теории устойчивости, вызвали потрясение в физических и биологических науках новые режимы разительно отличались от сценария, предложенного Л. Д. Ландау для объяснения гидродинамической турбулентности, а именно возбуждения бесконечного числа частотных мод в непрерывной системе. В первом альтернативном сценарии, предложенном Рюэлем и Такенсом [1.17], использованы только три частоты. Шумное поведение в этом сценарии было связано со странным аттрактором, возникавшим после трех последовательных бифуркаций рождения цикла. Характерной особенностью странного аттрактора является чувствительная зависимость от начальных условий соседние траектории разбегаются экспоненциально со временем [1.18—21]. Нельзя не удивляться тому, что странный аттрактор, порождаюш ий турбулентный режим, может суш ество-вать уже в системах столь малой размерности, а именно в системах, описываемых тремя обыкновенными дифференциальными уравнениями первого порядка. [c.17]

X /О был разбит на 20 частей, интехтрирова-ние проводилось по схеме Ромберга. Дяя интегрировали по оси времени применялась модификация неявной схемы.Некото-рые результаты расчета приведены на рисунке 1, Качественный анализ полученных зависимостей позволяет судить о достаточной П1Н1Г0ДН0СТИ описания кинетики модельной реакции крекинга системой уравнений (17). При прочих равных условиях решение оказалось чувствительным к типу начального распределения состава - сказалось наложение особен-ностзй (функций/r iii/ и Специфической особенностью данной модели является необходимость одновременной аппроксимации интегрального и дифференциального операторов. [c.14]