Системы линейных уравнений и методы их решения

Программы решения системы линейных уравнений методом Гаусса [c.347]

Общие замечания. Порядок решения системы линейных уравнений методом итераций включает последовательность следуюш,их этапов. [c.262]

Метод Ньютона — Рафсона хорошо сходится во многих случаях, легко программируется он часто входит в стандартное математическое обеспечение современных ЭВМ. Но объем вычислений при использовании этого метода большой приходится вычислять в нескольких точках функции (для расчета каждой из них в исходной точке и численного расчета производных), а кроме этого требуется решение системы линейных уравнений. [c.107]

Метод построения интерполяционного полинома х), изложенный выше, не является единственным. При наличии вычислительных машин он весьма удобен, поскольку сводится к системам линейных уравнений, программы решения которых, как правило, имеются для каждой машины. Однако при ручных расчетах или с помощью клавишных машин его использование сопряжено со значительными трудностями, особенно при высоких степенях полинома. [c.301]

Параболическая регрессия. Если уравнение регрессии представляет собой полином некоторой степени, то при ирименении метода наименьших квадратов коэффициенты этого полинома находят решением системы линейных уравнений. Например, требуется определить ио методу наименьших квадратов коэффициенты квадратичной функции — параболы второго порядка [c.138]

В этом разделе будет рассмотрено решение системы линейных уравнений методом Гаусса — Жордана. Для лучшего понимания метода решим сначала систему линейных уравнений вручную. Пусть даны три уравнения с тремя неизвестными [c.178]

Пример такого расчета дан в главе I. Укажем, что по известной теореме Крамера, система (У-2) является определенной, если А =5 = 0. Другой метод точного решения системы линейных уравнений (Гаусса) приведен ниже (стр. 201). [c.142]

Таким образом, в основе метода решения системы нелинейных уравнений лежит многократное решение системы линейных уравнений. [c.271]

Таким образом, чтобы найти решение системы линейных уравнений, нужно вычислить для матрицы А обратную матрицу А и умножить вектор-столбец правых частей на эту матрицу слева. Этот метод решения систем уравнений удобно применять в тех [c.252]

Итерационные методы решения системы линейных уравнений относятся к приближенным методам. В противоположность точным методам итерационные используют относительно простые алгоритмы для нахождения решения и обычно требуют меньших затрат машинного времени при решении системы высокого порядка. Для заданного начального приближения в этих методах вычисляется последовательность векторов-столбцов, сходящаяся к решению системы. [c.256]

Применяя процесс, аналогичный методу решения системы линейных уравнений по методу Гаусса, можно привести уравнение (3.6) к виду [c.195]

Метод проектирования вектора-градиента сложнее для реализации, поскольку он требует на каждой итерации формирования коэффициентов d.j и 5,. и решения системы линейных уравнений. [c.78]

Используя известные значения и решаем систему уравнений (IX,7) — (IX,9). Легко видеть, что упомянутая система есть система уравнений сопряженного процесса (см. главу VII) и одновременно является системой линейных уравнений относительно неизвестных и ly . Методы решения системы уравнений сопряженного процесса изложены в главе XII. [c.201]

Легко показать, что метод Ньютона позволяет находить решение системы линейных уравнений за один шаг. Действительно, пусть выражение (Н, 8) является системой линейных уравнений, т. е. [c.30]

Приводимые ниже примеры не претендуют на исчерпывающее освещение вопроса применения матричного метода, а ставят своей целью демонстрацию основных приемов матричной алгебры, необходимых для решения системы линейных уравнений. Более подробно этот вопрос описан в литературе [c.78]

Основной идеей квазиньютоновских методов является объединение этапов сбора информации и поиска. Причем информация, которую получают во время поиска, используется для построения аппроксимации В] матрицы Якоби Jj либо аппроксимации Н] матрицы, обратной к матрице Якоби. По аналогии с соотношениями (I, 15), (II, 16) направление поиска определяется либо решением системы линейных уравнений [c.31]

Заметим, что поскольку существует равенство (И, 86), то любая формула из семейства (И, 90), (II, 91) может быть использована для определения обратной матрицы, а также для решения систем линейных уравнений. Эти формулы особенно полезны в том случае, когда явный вид матрицы А и вектора Ь в системе линейных уравнений (II, 20) нам неизвестен, и мы можем найти f (х) = Ах + Ь только при заданном х. Такая ситуация может иметь место, когда модели блоков ХТС линейны и используется последовательный метод расчета ХТС. Действительно, в этом случае система уравнений относительно итерируемых переменных (И, 5) будет иметь вид (II, 20), в котором явный вид (пХп)-матрицы А и вектора Ь нам неизвестен, и мы можем найти f (х) = Ах - - Ь только по заданному х, зная модели блоков и последовательность их расчета. Используя любую из формул семейства (И, 90), (II, 91) совместное уравнениями (И, 14), (И, 23), мы на п-м шаге получим матрицу А и решение системы (И, 20) (см. с. 41). [c.43]

Система линейных уравнений (II,-191), (II, 192), как правило, имеет разреженную матрицу коэффициентов, поэтому длящее решения могут быть использованы также специальные методы [36]. [c.68]

Итак, для определения производных критерия оптимизации замкнутой схемы необходимо рассчитать частные производные ряда величин разомкнутой схемы. Определение этих величин не требует проведения итерационных процедур. В этом состоит основное преимущество данного подхода. Кроме того, при вычислении производных в разомкнутой схеме можно воспользоваться зонами влияния [3, с. 136], что может также существенно сократить число вычислений. Правда, использование этого подхода требует решения системы линейных уравнений. Покажем, что используя информацию, полученную на первом уровне (см. рис. 20), можно еще более повысить эффективность этого метода. Будем исходить из предположения, что для решения системы (И, 6) на первом уровне (см. рис. 20) используется квазиньютоновский метод QNM. Обозначим через Н предельное значение матрицы Я [см. соотношение (II, 101)]. Матрица Я аппроксимирует обратную матрицу Якоби системы (II, 6), в пределе можно ожидать, что матрица Я стремится к обратной матрице Якоби этой системы, т. е. что будет выполняться равенство [c.133]

Программа решения системы линейных уравнений методом простой итерации нредставлена ниже. Алгоритм вычисления по формулам (10—43) оформлен в виде процедуры ITER. Ее формальными параметрами являются п — порядок системы, А — расширенная матрица коэффициентов, X — вектор решения, eps — точность. [c.259]

Программа МАТ10 предназначена для решения системы линейных уравнений методом Гаусса. [c.218]

Для случая, когда аналитический вид соотношений (IX, 1) и (IX,2) известен и не слишком сложен и если, в особенности, число независимых переменных п невелико, всегда можно с большим или меньшим успехом использовать для решения оптимальной задачи аналитические методы, ио крайней мере, для того, чтобы свести ее решение к решению системы конечных уравнении. Примеры решения подобных задач уже приводились (см. главы III и IV). Кроме того, вьиие также был описан весьма важный класс задач, когда соотношения (IX, 1) и (IX,2) являются линейными, для решения которых применяется математический аппарат линейного программирования (см. главу VIII). [c.480]

В предлагаемом алгоритме, Д1Я решения системы линейных уравнений покомпонентного материального 6aiaH a используется комбинация методов прогонки и 1 аусса [46]. В случае, когда в колонне нет рециклов и байпасов, то есть матрица системь грех диагональная, метод прогонки действует в п раз бысфее. [c.58]

В последние десять лет широкое распространение получил алгоритм численного интегрирования жестких систем ОДУ, предложенный Гиром [263, 264]. Алгоритм Основан на использовании линейных многошаговых методов, удовлетворяющих требованиям жесткой устойчивости [263]. При вычислении предиктора применяется алгоритм Корсика [352], использующий интерполяционный полином для вычисленных в предыдущих точках значений вектора решения. За счет этого легко осуществляется переход к новому шагу интегрирования, что обычно представляет определенные трудности при традиционной реализации многошаговых методов. Вычисление корректора, как правило, осуществляется методом Ньютона, причем для матрицы [Е—(ЗоЛА] (Е — единичная матрица, Л — текущее значение шага, /Зо — параметр метода, А — якобиан системы) используется LU-раз-ложение, что, как известно [183], позволя т наиболее эффективно решать возникающие линейные системы алгебраических уравнений. При решении задачи Коши методом Г ира в каждой точке выбирается оптимальный порядок метода, обеспечивающий наибольший возможный шаг интегрирования. [c.136]

Разрабо тан принципиально новый одноконтурный метод расчета сложных ректификационных систем с закрепленными отборами продуктов раздел( ния. Разлагая в ряд Тейлора значения энтальпий //у и /Гу в окрестности 1] и офаничиваясь при этом линейными членами, осуществляется переход от 2п независимых переменных (7), ) к п независимым переменным TJ ) к линеаризация системы уравнений общего материального и теплового балансов. Температуры на тарелках 7 определяются по уравнениям изотерм паровой или жидкой фаз, соотно шени 1 гготоков и сами потоки определяются решением системы линейных уравнений общего материального и теплового балансов. [c.98]

Для решения линейной системы разностных уравнений первого порядка можно воспользоваться формулами (7.29), т. е. искать его как комбинацию частного и однородных решений. При этом константы I определяются в результате решения системы линейных уравнений, образованной граничными условиями (7.33)—(7.36). Хотя количество дистиллята — переменная величина, определяемая в процессе расчета, для каждой последующей итерации эта величина является константой, вычисленной по результатам предыдущей итерации. Для этого необходимо решать на каждой итерации уравнение с одной неизвестной, например, методом Вегстейна. Этим самьт удается свести задачу поиска коэффициентов а,- к решению системы линейных алгебраических уравнений. Заметим, что в формулах (7.29) конечное значение индексов суммирования равно количеству недостающих начальных условий. [c.279]

Рассмотрим следующий пример. При расчете многостадийных процессов (папример, абсорбция, ректификация, экстракция), а также решении дифференциальных уравнений в частных производных разностными методами матрица коэффициентов системы уравнений имеет специальный вид с большим числом нулевых элементов. Для решения таких систем линейных уравнений обьга-но используются методы, позволяющие хранить в памяти только ненулевые элементы матрицы, благодаря чему существенно сокращается объем занимаемой памяти. Запишем подпрограмму решения системы линейных уравнений с трехдиагональной матрицей коэффициентов, алгоритм решения которой приведен в гл. 6. [c.290]

Программа решения системы линейных уравнений этим методом приведена на стр. 253. При обращении к процедуре GORDAN число столбцов матрицы А задается на единицу больше числа строк, т. е. формируется расширенная матрица. Матрица системы коэффициентов после выполнения процедуры не сохраняется. Выходным параметром является вектор X. [c.252]

Преимущество метода Бройдена состоит в том, что он не требует вычисления производных и решения системы линейных уравнений на каждой итерации. Этот метод использует приближенное значение матрицы, обратной матрице Якоби системы, и корректирует эту матрицу после каждой оценки функции. Кроме того, в этом методе предусмотрено выполнение неравенства (П1.11). [c.69]

Методы решения систем нелинейных уравнений можно р азбить на три группы. К первой относятся метод простой итерации и его модификации, а также методы, ускоряющие сходимость простой итерации (методы DEM [22], GDEM [23]) ко второй — метод Вольфа и его модификации [3, с. 35 1, с. 84] к третьей — квази-ньютоновские методы. Здесь мы рассмотрим только метод Ньютона и квазиньютоновские методы решения систем нелинейных уравнений, идейно очень близкие к методу Ньютона и квазиньютоновским методам оптимизации. В дальнейшем будем говорить, что метод обладает р-шаговым свойством линейного окончания, если он обеспечивает решение системы линейных уравнений при числе шагов, не превышающем р. [c.29]

Система (II, 6) должна быть близка к линейной это условие будет выполняться, если начальное приближение находится достаточно близко от решения системы (И, 6). Действительно, при этих условиях шаг в соответствии с (II, 14), (II, 23) будет почти ньютоновским, примененным к системе, близкой к линейной, а, как мы видим, метод Ньютона дает решение системы линейных уравнений за один шаг. При невыполнении этих условий трудно ожидать хорошей сходимости метода. А поскольку при плохом начальном приближении второе условие часто не вьшолняется, то и метод в этих случаях сходится не очень быстро. И, действительно, типичная картина зависимости нормы правых частей системы от номера итерации проиллюстрирована на рис. 9. Вначале достаточно долго наблюдается очень медленная сходимость, и только в конце итерационного процесса норма начинает очень быстро уменьшаться, т. е. сверхлинейная сходимость появляется только в конце итерационного процесса, когда выполняются оба условия, матрица Я становится близкой обратной матрице Якоби, а система (II, 6) вследствие близости итерационной точки к точке решения становится близкой к линейной. [c.71]

У рассмотренных подходов имеется один недостаток — на каждом шаге приходится решать систему линейных уравнений (IV, 135), поэтому может оказаться целесообразным использовать их только в случае, когда число активных ограничений в каждой точке будет мало, а следовательно, будет мала размерность системы линейных уравнений (IV,135). Правда, указанный недостаток имеет и положительную сторону. Действительно, решение системы (IV, 135) на каждом шаге гарантирует ортогональность векторов рх нормалям к гиперплоскостям, входящим в базис, что не дает возможности накапливаться ошибкам округления и приводить к нарушению этой ортогональности, как это может происходить при применении методов Гольдфарба и Муртага — Саджента. [c.156]

II W VW 4ij обозначен элемент матрицы W EW, стоящей на пересечении i-той строки и /-Г0 столбца. К сожалению, в данном случае условие (V,25) не удается так же просто учесть, как условие (V, 16) в предыдущем случае, поэтому каждое соотношение должно быть учтено в функции Лагранжа с помощью соответствующего множителя Лагранжа. В этом случае задача определения множителей Лагранжа становится трудоемкой, поскольку требует решения системы линейных уравнений большой размерности. Причем чем сильнее будет разреженность гессиана, тем больше будет условий типа (V, 25) и Teivi сложнее будет определение множителей Лагранжа. В связи с этим был предложен следующий подход [114]. Пусть, как и прежде, Mi характеризует множество нулевых элементов, а Aij — пустое множество. Вначале найдем обычным путем матрицу В, которая обеспечивает хорошую работу квазиньютоновского метода пусть, например, это будет матрица (III, 80). Для простоты обозначим ее через В. Естественно, что структура матрицы G в ней не будет отражена, и, вообще говоря, она не будет содержать нулевых элементов. Поставим теперь задачу найти матрицу В, определяемую формулой [c.177]

Следует отметить, что, несмотря на кан ущуюся простоту реализации, методами штрафных функций очень трудно получать достоверные решения при больших значениях параметра штрафа 6 решения получаются очень грубыми, иногда качественно неверными, при малых значениях параметра е процессы вычисления становятся неустойчивыми (в частности, системы линейных уравнений, появляющиеся при минимизации квадратичных функционалов, становятся плохо обусловлешхыми), поэтому методами штрафных функций следует пользоваться с большой осторожпостыа. [c.288]

В спектрах углеводородов с двумя и более кратными связями возрастает количество иоиов, образование которых связано с миграцией водорода. Поэтому для углеводородов с общей формулой С Н . --2 (диеновые и цикломоноолефиновые) характеристическими является не один, а два гомологических ряда ионов (67, 68, 81, 82, 95, 96) диссоциативная ионизация алкилбензолов приводит преимущественно к образованию ионов с массами 77, 78, 91, 92, 105, 106, 119, 120 и т. д. Суммарная интенсивность пиков характеристических иоиов прямо пропорциональна концентрации соответствующей углеводородной группы. Аддитивность указанных свойств позволяет производить анализ и расчет состава сложных смесей аналогично смесям, состоящим из небольшого числа компонентов, а учет взаимных наложений осуществляется путем решения системы линейных уравнений. Все эти закономерности использовались для создания методов определения различных классов и типов углеводородов в сложных смесях (бензины, высокомолекулярные нефтяные фракции) [272— 280]. [c.140]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология