Скаляры на тензоры

Векторы, матрицы и тензоры — это упорядоченные множества величин. Вектор является одномерным упорядоченным множеством, т. е. величиной, для описания которой необходим один индекс. Матрицы представляют собой двумерные множества, для упорядочения которых нужны два индекса. Наиболее общей упорядоченной величиной является тензор. Число индексов, необходимых для построения тензора, называется его рангом. Таким образом, вектор является тензором первого ранга, матрица— тензором второго ранга, а скаляр — тензором нулевого ранга. [c.403]

Так же эквивалентен скаляру тензор деполяризации для бесконечной плоскопараллельной пластинки, перпендикулярной электрическому полю. В этом случае N = е —I. [c.214]

Что касается потоков Л и I, то они могут рассматриваться либо как скаляры — тензоры нулевого ранга, если имеется в виду только их абсолютная величина, или модуль, либо как векторы — тензоры первого ранга, если имеются в виду их модуль и направление одновременно. [c.154]

Дальнейшее обобщение состоит в том, что всем этим трем величинам присваивается название тензоров с указанием ранга в соответствии с показателем степени, т. е. скаляр будет тензором нулевого ранга, вектор — тензором первого ранга и тензор — тензором второго ранга (тензоры могут быть и более высоких рангов — третьего и т. д.). [c.365]

В качестве потоков принято 1г = — поток вязких напряжений в сплошной фазе (тензор) /xl=f, 2, — поток силы механического взаимодействия между фазами (вектор) /х2 = дТ — поток тепла внутри несущей фазы (вектор) /хз = д2 — поток тепла внутри дисперсной фазы (вектор) /х, +3 = ] — диффузионный поток А-го комнонента в фазе 1 (вектор) /х, я+ +з = ]2 — диффузионный поток А-го компонента в фазе 2 (вектор) — интенсивность теплообмена (контактного) между фазами (скаляр) 7у,г+1 = 1 , — скорость г-й химической реакции в фазе 1 (скаляр) /у, лг+г+1 =/<2г) — скорость г-й химической реакции в фазе 2 (скаляр) 1у,21 +кА = 1к(т — поток А-го компонента через границу раздела фаз в направлении 1 -> 2 (скаляр) /к, 2Л +я+й+1 = / (21) — поток к-то компонента через границу раздела фаз в направлении 2- 1 (скаляр). [c.58]

Перечислим движущие силы 2 = — приведенный тензор скоростей деформаций несущей фазы (тензор) X, = (у — 2) X X (х]/7 1 — ><2/ 2) — движущая сила, возникающая из-за скоростной неравновесности между фазами, т. е. из-за несовпадения у и Уз (вектор) Х =—V7 l/7 l — приведенный градиент температуры в несущей фазе (вектор) . Уд— приведенный градиент температуры в дисперсной фазе (вектор), Хк+з = — [( 1 )1 — Р1 ]/7 1-приведенный градиент химического потенциала А-го компонента в несущей фазе (вектор) Х +,с+з — [( (1.2 )2 — 2к]1 2 — приведенный градиент химического потенциала А-го компонента в дисперсной фазе (вектор) 1 = 1Т —1// 1) — движущая сила, возникающая из-за температурной неравновесности между фазами, т. е. из-за несовпадения и (скаляр) = — приведенное [c.58]

Здесь т динамический или тензор-девиатор напряжений Р — скаляр, называемый давлением , а б — единичный (тождественный) тензор, равный [c.101]

Здесь у — скорость сдвига, которая представляет собой скаляр и связана со вторым инвариантом тензора у следующим образом [c.106]

Можно заметить, что (III. 59) есть закон преобразования скаляра, (III.60) и (III.61) — векторов (III.62)—тензора второго ранга. Таким образом, в общем случае, объекты L44, Li р, Lai, Lap, где а, Р = 1, 2, 3, описывают соответственно влияние скалярной силы на скалярный поток, векторной силы на скалярный поток, скалярной силы на векторный поток и векторной силы на векторный поток. [c.143]

Рассмотрим наиболее простой случай жидкости, образованной неполярными изотропными молекулами (поляризуемость молекулы — скаляр, тогда как у анизотропных молекул это тензор). Для слабых полей индуцированный дипольный момент молекулы представится выражением [c.211]

В уравнении (VII. 37) скаляр е слагается из средней диэлектрической проницаемости жидкости и флуктуации Аг скалярной части тензора [c.147]

Коэффициенты Кщ строго говоря, тензоры. Но мы будем рассматривать только изотропные твердые тела и кристаллы кубической симметрии и потому можем рассматривать Кп как скаляры. [c.222]

Из (2,2) и (2,4) видно, что произведение двух тензоров есть тензор, причем внутреннее умножение приводит к понижению ранга тензора на два, для всякой пары совпадающих контра- и ковариантных значков. Это позволяет рассматривать скаляр как частный случай тензора нулевого ранга, полученный из тензора более высокого ранга путем внутреннего умножения тензоров или просто приравниванием верхних и нижних значков тензора друг другу, если число их одинаково [c.19]

L e как коэффициент пропорциональности между двумя векторами и есть тензор. Если система изотропна, то сила не может быть причиной потока, имеющего другую тензорную размерность — скаляр не может быть причиной вектора и вектор — скаляра принцип Кюри). Следовательно, в этом случае — [c.312]

Получим теперь феноменологические уравнения вида (5.193) в соответствии с выражением (5.205). Ранее было сказано, что каждый поток является линейной функцией всех термодинамических сил. Однако потоки и термодинамические силы, входящие в выражение (5.205) для диссипативной функции, обладают различными тензорными свойствами. Некоторые являются скалярами, другие — векторами, а третьи представляют собой тензоры второго ранга. Это значит, что при преобразованиях системы координат их компоненты преобразуются различным образом. В результате оказывается, что при наличии симметрии материальной среды компоненты потоков будут зависеть не от всех компонент термодинамических сил. Это обстоятельство называют принципом симметрии Кюри. Самой распространенной и простой средой является изотропная среда, т. е. среда, свойства которой в равновесном состоянии одинаковы во всех направлениях. Для такой среды потоки и термодинамические силы различной тензорной размерности не могут быть связаны друг с другом. Поэтому векторные потоки должны линейно выражаться через векторные термодинамические силы, тензорные потоки — через тензорные термодинамические силы, а скалярные потоки — через скалярные термодинамические силы. Сказанное позволяет написать следующие линейные феноменологические уравнения [c.88]

Однако в рассматриваемом случае он не скаляр, а тензор второго ранга. [c.177]

По сравнению со скаляром и вектором тензор — величина более высокого ранга. Подобное введению тензора образование понятий мы уже встречали среди чисел. В области целых чисел надо сопоставить значения г = 1, 2, 3,.. с числами у = 2, 4, 6.. ., что обозначается таким образом у — 2х или [c.363]

Следует обратить внимание на то, что величины, входящие в (4.7.11)—(4.7.16), имеют иную тензорную размерность, чем их аналоги в (4.7.2), (4.7.4), (4.7.5), (4.7.7) и (4,7.8). Так, производные по времени, стоящие в левой части балансовых уравнений для скалярных свойств, представляют собой скаляры, тогда как соответствующие производныев (4.7.11)—(4.7.15) являются векторами. Поверхностные плотности потоков скалярных свойств суть векторы, а векторных свойств — тензоры второго ранга. [c.249]

Флуктуация диэлектрической проницаемости представляет собой в-общем случае симметричный вещественный тензор второго ранга Де . Как и всякий симметричный тензор Дег может быть представлено в виде суммы скаляра Де и симметричного тензора Де , след которого равен нулю [c.94]

Градиент Ф характеризует изменение электрического потенциала от точки к точке он равен электрическому полю с обратным знаком. Направление вектора совпадает с направлением наибыстрейшего изменения скаляра, а его величина дает скорость изменения скаляра в этом направлении. С другой стороны, градиент векторного поля образует тензор. Тензор имеет девять составляющих, поскольку необходимо описать скорость изменения каждой составляющей вектора в каждом из трех направ- [c.442]

С ПОМОШ.БЮ (14.45) можно построить (2/г+1), если г, или (2г+1), если >г операторов [Т хи ]. Если к = г то среди возможных значений 5 есть 5=0. Таким образом, из двух тензоров одинакового ранга можно построить скаляр [c.113]

Тензор нулевого ранга (скаляр) [c.195]

Тензор второго ранга (связывающий скаляр и тензор второго ранга) [c.195]

Диэлектрическая и магнитная (а проницаемости и проводимость / в изотропной среде — скаляры, в анизотропной — тензоры второго ранга. Проницаемости и л зависят от частоты поля. Для прозрачных диэлектриков можно принять ц = 1. [c.222]

Заметим еще, что эти свойства могут обладать различной анизотропией, описываться тензорами различных рангов или скалярами и направления их оптимальных значений не будут совпадать. [c.292]

По Томану механизм образования частиц горошковидные частицы возникают из-за отрицательного давления в частицах (первый скаляр тензора напряжений, характеризующего состояние интермицеллярной жидкости, положителен). Если поверхностный слой способен заметно деформироваться, частица не является абсолютно точным шариком, и среда не вполне гомогенная, а поверхностный слой должен продавливаться. В случае сушки суспензий надо ожидать, что вязкость раствора между твердыми суспензированными частицами, которые в поверхностном слое касаются друг друга, может быть фактором, определяющим пройдет ли воздух в каплю суспензии через ее пористый, еще не сжатый поверхностный слой и будет ли поверхностный слой деформироваться как сплошная среда. Оказывает влияние на форму частиц также их вращение, возможное, если момент сил трения не нулевой и частица получит угловое ускорение. Последнее проверено экспериментально. (Угловая скорость капель оказалась порядка 102—103 сект1). [c.190]

Правило знаков. Переменные ей/ могут быть скаляром, вектором и тензором. В случае энергетических связей произведение а = е/, представляющее энергию, вычисляется как внутреннее тензорное произведение и является скалярной величиной, положительной, отрицательной или равной нулю. Последнее свойство используется для информационного усиления энергетических связей. С физической точки зрения важно указать направление передачи энергии от одного элемента ФХС к другому, преобразование ее из одного вида в другой, отличить источник энергии от стока и т. д. Для этого вводится правило знаков. Связь между двумя элементами А и В снабжается полустрелкой вида [c.27]

ОНЖ представляет собой объединенную группу уравнений, построенных эмпирически, полуэмпирически или вытекающих из молекулярных теорий, предназначенных описывать неньютоновское (зависящее от сдвига) поведение жидкости. Этими определяющими уравнениями охватываются различные способы описания зависимости вязкости от скорости сдвига. Имеется только одно общее требование. Поскольку вязкость—скаляр, она должна быть функцией только трех (скалярных) инвариантов тензора у. [c.153]

Поскольку а Иг = dFidZih, то отсюда следует, что в разложении F по степеням B h должны отсутствовать линейные члены. Далее, поскольку свободная энергия является величиной скалярной, то и каждый член в разложении F тоже должен быть скаляром. Из компонент симметричного тензора 8,- i можно составить два независимых скаляра второй степени в качестве них можно выбрать квадрат суммы диагональных компонент и сумму квадратов-всех компонент тензора Разлагая F, отнесенную к единице объема, в ряд по степеням е,- , мы получим, следовательно, с точностью до членов второго порядка выражение вида [c.166]

Таким же образом можно показать, что величины Ч у лУуЧ преобразуются как произведения двух координат, т. е. являются компонентами тензора второго ранга. Как известно, любой тензор Огй второго ранга можно представить в виде суммы симметричного А- и антисимметричного тензора l2 l ih— lhi) Пользуясь (61,2), легко показать, что симметричная часть тензора второго ранга Ч YlлYv сводится к скаляру [c.284]

Использованная ниже операция вынесения постоянной величины — р из таблицы компонент тензора ответает правилу умножения тензоров на постоянную скалярную величину. Это может быть в общем случае сформулировано следующим образом тензор (А) с компонентами а// равен произведению тензора В с компонентами бг/ На скаляр т, если каждая компонента тензора (А равна компоненте тензора В с теми же индексами, умноженной на т, т. е. А = т (В), если ац = тЬц. [c.21]

ЭТО будет сделано в отдельной публикации. Однако существует простой, но важный случай, когда можно обойтись без громоздкого аппарата, обычно необходимого при анализе таких проблем, при условии, что нас интересует лишь феноменологический вид окончательных уравнений, а не численные значения входящих в них феноменологических коэффициентов. Он реализуется тогда, когда интенсивность вращательного брозгновского движения достаточна для подавления ориентационных сил, возникающих в результате произвольного распределения ориентаций. При этом коэффициенты, появляющиеся в. конечном счете в выражениях для полных напряжений, градиента скорости и т. п., обязательно являются скалярами, а не тензорами, что отражает изотропный характер сплошной среды жидкость — частицы . После интегрирования по всем ориентациям тензоры, записанные в жестко связанных с телом осях, становятся изотропными тензорами со скалярными коэффициентами. [c.49]

Векторы являются тензорами первого ранга, а скаляры — тензорамн нулевого ранга. Позже будет дано более полное определение тензоров второго ранга. [c.442]

Напомним, что Т ж 8 — скаляры, Е и В — векторы, сти е — тензоры второго ранга, поэтому свойство упругости (2) выражается тензором четвертого ранга, коэффициенты прямого пьезоэлектрического эффекта (7) — тензором третьего ранга, диэлектри- [c.293]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология