Тензор произведение

Феноменологические соотношения, определенные в подразделе 1.1, играют важную роль в термодинамике необратимых процессов. Общую основу макроскопического описания необратимых процессов составляет неравновесная термодинамика, которая строится как теория сплошной среды и параметры которой, в отличие от равновесной термодинамики, являются функциями пространственных координат и времени. Центральное место в неравновесной термодинамике играет уравнение баланса энтропии [10]. Это уравнение выражает тот факт, что энтропия некоторого элемента объема сплошной среды изменяется со временем за счет потока энтропии в рассматриваемый объем извне и за счет положительного источника энтропии, обусловленного необходимыми процессами внутри объема. При обратимых процессах источники энтропии отсутствуют. В этом состоит локальная формулировка второго закона термодинамики. Поэтому основной задачей в теории необратимых процессов является получение выражения для источника энтропии. Для этого необходимо использовать законы сохранения массы, количества движения и энергии в дифференциальной форме, полученные в разделе 1. В уравнения сохранения входят потоки диффузии, тепла и тензор напряжений, которые характеризуют перенос массы, энергии и импульса. Важную роль играет термодинамическое уравнение Гиббса (5.49), которое связывает скорость изменения энтропии со скоростями изменения энергии и состава смеси. Оказывается, что выражение для интенсивности источника энтропии представляет собой сумму членов, каждый из которых является произведением потока, характеризующего необратимый процесс, и величины, называемой термодинамической силой. Термодинамическая сила связана с неоднородностью системы или с отклонением параметра от его равновесного значения. Потоки, в свою очередь, в первом приближении линейно зависят от термодинамических сил в соответствии с феноменологическими соотношениями. Эти линейные законы отражают зависимость потока от всех термодинамических сил, т. е. учитывают перекрестные эффекты. Так, поток вещества зависит не только от градиента концентрации, но и от градиентов давления, температуры, электрического потенциала и т. д. Неравновесная термодинамика ограничивается в основном изучением линейных феноменологических соотношений. [c.83]

Те же взаимодействия, которые определяют дисперсию оптического вращения и кругового дихроизма, определяют спектры комбинационного рассеяния с круговой поляризацией. Поскольку индуцированный электрический дипольный момент пропорционален тензору электрической поляризуемости атп и вращательной полярИЗУ6МОСТИ тп (индексы тип относятся к электронным состояниям), разность в интенсивности рассеяния лучей с левой и правой круговой поляризацией А = 1—/r = A/(v) будет определяться произведением [c.216]

Сокращение Div обозначает не только дивергенцию, так как величины, стоящие внутри фигурных скобок, являются тензорами (второго порядка). Например, конвективная плотность потока импульса представляет собой произведение векторов pv и v. Таким образом, три составляющие (по трем осям) первого вектора должны быть рядами умножены на три составляющие второго вектора. Следовательно, получим 3-3 = 9 составляющих. Теперь запишем это произведение [c.71]

Второй тип произведения векторов называют по-разному прямым произведением, внешним произведением или тензорным произведением. Оно представляет собой произведение вектор-столбца и вектор-строки и обычно обозначается как а Ь. Его результатом является матрица, или тензор второго ранга. Размерности перемножаемых векторов не обязательно должны быть одинаковыми. Если они неодинаковы, то результирующая матрица не является квадратной. Число ее строк соответствует размерности вектор-столбца, а число ее столбцов — размерности вектор-строки. Элементы этой матрицы равны [c.405]

Выран ение (XI.4) представляет собой скалярное произведение двух тензоров второго ранга, а именно тензора квадрупольного [c.197]

Далее, тензор градиентов скорости (в размерной форме) можно представить р виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров, причем последний характеризует вращение жидкости как твердого тела с угловой скоростью, равной половине вектора вихря. Свободно взвешенная в жидкости сферическая частица будет стремиться прийти во вращение с такой же угловой скоростью. Благодаря инерции частицы скорость ее вращения будет подстраиваться к скорости вращения жидкости с временем релаксации, равным произведению отношения плотностей частицы и среды на характерное время Однако, как было отмечено выше, при малых числах Рейнольдса, рассчитанных по радиусу частицы и скорости ее относительного движения, величина aVv мала по сравнению с временным масштабом мелких вихрей, а для взвесей частиц в капельных жидкостях отношение плотностей частиц и среды будет порядка единицы.Отсюда следует,, что время релаксации много меньше временного масштаба мелких вихрей, т. е. скорость вращения частицы можно считать всегда совпадающей с локальной скоростью вращения жидкости. [c.105]

Существует два типа произведений тензоров внешнее и внутреннее. Первое получается перемножением компонент тензоров, которые пишутся рядом с разными значками, например [c.18]

Из (2,2) и (2,4) видно, что произведение двух тензоров есть тензор, причем внутреннее умножение приводит к понижению ранга тензора на два, для всякой пары совпадающих контра- и ковариантных значков. Это позволяет рассматривать скаляр как частный случай тензора нулевого ранга, полученный из тензора более высокого ранга путем внутреннего умножения тензоров или просто приравниванием верхних и нижних значков тензора друг другу, если число их одинаково [c.19]

Здесь использовано то, что скалярное произведение симметричного П и антисимметричного (Ум) тензора равно нулю. [c.88]

Здесь слева стоит скалярное произведение тензора и вектора, а справа — дивергенция тензора. По определению 01ш являются векторами с координатами [c.55]

За исключением скалярных констант, подобных коэффициенту вязкости [Хо, коэффициенты пропорциональности, входящие в эти линейные соотношения, будут тензорами, зависящими лишь от геометрии частиц (т. е. их размера и формы) и постоянными по отношению к жестко связанным с частицей осям. Тогда вместо объемной концентрации ф в ориентационных формулах, аналогичных формулам (42) — (48), появится произведение ф на функцию распределения вероятности ориентаций, нормированную на единицу (ср. уравнение (91) для тел вращения). В силу тензорной природы характеризующих частицы коэффициентов суспензии несферических частиц должны обладать неньютоновскими свойствами, если распределение ориентаций упорядочено. В противоположность этому характеризующие сферические частицы тензоры изотропны, что и проявляется в ньютоновском поведении суспензии — по крайней мере при отсутствии массовых моментов. [c.48]

Здесь через Т Е обозначено скалярное произведение тензоров, которое по определению равно [c.59]

Для их перечисления требуются два индекса. Внешнее произведение матрицы с вектором порождает тензор третьего ранга, элементы которого требуют трех индексов. Тензор четвертого ранга получается в результате внешнего произведения тензора третьего ранга и вектора либо как внешнее произведение двух [c.405]

Внешнее произведение. Произведение двух векторов, матриц или тензоров, ранг которого выше, чем ранги сомножителей. Например, для двух векторов (тензоров первого ранга) оно представляет собой произведение вектор-столбца и вектор-строки, результатом которого является матрица (тензор второго ранга). Возбужденное состояние. Состояние системы с энергией выше основного (низшего энергетического) состояния. [c.459]

Скалярное произведение тензоров напряжений и скоростей деформации Т Е определяется уравнением (5.31). Тогда (5.184) примет следующий вид [c.85]

Правило знаков. Переменные ей/ могут быть скаляром, вектором и тензором. В случае энергетических связей произведение а = е/, представляющее энергию, вычисляется как внутреннее тензорное произведение и является скалярной величиной, положительной, отрицательной или равной нулю. Последнее свойство используется для информационного усиления энергетических связей. С физической точки зрения важно указать направление передачи энергии от одного элемента ФХС к другому, преобразование ее из одного вида в другой, отличить источник энергии от стока и т. д. Для этого вводится правило знаков. Связь между двумя элементами А и В снабжается полустрелкой вида [c.27]

Если пренебречь слагаемым ЕДг (а это можно сделать по его сравнительной величине), то получится уравнение движения рассматриваемого элемента жидкости, состоящее из выражения для конвективного потока и произведения производного тензора D на изменение локального вектора Дг. [c.366]

Таким же образом можно показать, что величины Ч у лУуЧ преобразуются как произведения двух координат, т. е. являются компонентами тензора второго ранга. Как известно, любой тензор Огй второго ранга можно представить в виде суммы симметричного А- и антисимметричного тензора l2 l ih— lhi) Пользуясь (61,2), легко показать, что симметричная часть тензора второго ранга Ч YlлYv сводится к скаляру [c.284]

Коэффициент А при произведении компонент тензора деформации (при в квадратичном члене ) называется модулем поперечной упругости. Его физический смысл становится ясным, если рассмотреть простой сдвиг тогда Yia О, а все остальные компоненты тензора y равны нулю. Потенциал Рейнера (1.60) предсказывает, что в этом случае появятся не только касательные, но и поперечные нормальные напряжения, направленные перпендикулярно направлению сдвига [c.61]

Если напряжения и токи отождествляются с инкрементами и с соответственно, то уравнение (6) ведет к уравнению (1) при условии, что сеть составлена из положительных сопротивлений. В таком случае сеть, обладающая активным сопротивлением, с положительными сопротивлениями и п независимыми звеньями гомологична л-мерному метрическому многообразию. Может быть показано, что преобразование между ковариантными к контравари-антными компонентами эквивалентно преобразованиям сети, осуществляемым путем сопоставления измерений разомкнутой и короткозамкнутой цепи [11]. [В обычных терминах тензорного исчисления для метрического векторного пространства силы представляют ковариантные векторы, тогда как токи — контравариантные векторы / и их скалярное произведение соответствует инварианту (тензору нулевого порядка) [c.435]

Последнее замечание, которое следует сделать в связи с таблицами характеров, относится к их использованию для определения правил отбора при различных колебаниях. Все колебания, относящиеся к тому же представлению, как и одно или несколько вращений, активны в инфракрасном поглощении. В крайней правой графе таблицы характеров для группы приведены некоторые произведения координат. Это компоненты тензора, и они помещены в строчки, соответствующие представлениям, передающим трансформационные свойства этих произведений. Любое колебание, принадлежащее представлению, к которому относятся также один или несколько компонентов тензора, активно в спектре комбинационного рассеяния. В случае HgO легко видеть, что все три колебания активны как в инфракрасном спектре, так и в спектре комбинационного рассеяния. [c.290]

В прямоугольной декартовой системе координат, связанной с каплей, распределение скоростей невозмугценного (на больших расстояниях от капли) осесимметричного деформационного течения описывается линейной функцией координат и представляется в виде скалярного произведения постоянного тензора второго ранга Е на радиус- вектор и [c.43]

Второе произведение отличается от первого тем, что некоторые из контра- и ковариантных значков берутся попарно совпадаюшими и по ним производится суммирование, вследствие чего произведение имеет меньший ранг, чем перемножаемые тензоры. Например, [c.18]

Развитая выше асимптотическая теория плоских поверхностных слоев может быть обобщена естественным образом, если каждая иа граничащих фаз содержит произвольное число компонентов. Необходимые изменения, например, в формуле (4) (после предварительной подстановки РоХо = Зр/5(г) и в формулах (5), (6), сводятся к следующему 1) величины р( ), Ро, Г и производная д/дц заменяются векторами с составляющими соответственно р1 , ро4, Гд и д/дlls (нижние латинские индексы характеризуют компоненты системы) 2) величины р( ), ро Л, В заменяются тензорами с составляющими соответственно Рз Ро и -4к, 3) произведения векторов и тензоров понимаются в смысле внутренних (свернутых) произведений при этом равенство (4) становится векторным, равенство (5) — тензорным, а каждое из двух равенств (6) — скалярным. [c.48]

Использованная ниже операция вынесения постоянной величины — р из таблицы компонент тензора ответает правилу умножения тензоров на постоянную скалярную величину. Это может быть в общем случае сформулировано следующим образом тензор (А) с компонентами а// равен произведению тензора В с компонентами бг/ На скаляр т, если каждая компонента тензора (А равна компоненте тензора В с теми же индексами, умноженной на т, т. е. А = т (В), если ац = тЬц. [c.21]

Смотреть страницы где упоминается термин Тензор произведение: [c.363] [c.262] [c.172] [c.172] [c.106] [c.328] [c.513] [c.544] [c.544] [c.537] [c.19] [c.23] [c.21] [c.588] [c.363] [c.45] [c.255] [c.261] [c.21] [c.48] [c.71]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология