Группа перестановок

Этого еще недостаточно, чтобы полностью определить класс многоэлектронных функций. Дело в том, что в квантовой механике детализированный анализ принципа тождественности частиц, каковыми являются электроны, позволяет утверждать, что волновые функции систем тождественных частиц должны быть либо полностью симметричными, либо полностью антисимметричными функциями (должны преобразовываться по одному из двух одномерных неприводимых представлений группы перестановок из элементов). Полностью симметричной называют функцию которая при любой транспозиции не меняется [c.53]

Чтобы получить возможность определять разрешенные принципом Паули состояния для более общих систем, необходимо воспользоваться свойствами группы перестановочной симметрии (или, на языке математики, симметрической группы). Симметрической группой 5(Л ) степени N называется группа, операциями которой являются все возможные перестановки N объектов. Например, при наличии двух объектов их можно произвольно обозначить символами 1 и 2. В таком случае группа перестановок 8(2) состоит из тождественного преобразования (которое всегда обозначается символом Е) и операции, приводящей к перестановке объектов. Схематически эти операции можно записать так [c.136]

По теореме Кэли любая конечная группа О порядка п изоморфна подгруппе группы перестановок Рп, а в ряде частных случаев О может быть изоморфна и самой группе Р . Так, например, описанная выще группа перестановок изоморфна точечной группе О н ( = , (123) Сз, (12) С2, Е ан, (12) а., (123) = 5з) и состояния молекулы аммиака мон<но классифицировать по неприводимым представлениям этой группы. [c.118]

Пример 1. Группа, перестановок из трех предметов (Рз). Введем обозначение некоторой перестановки [c.16]

Как и в случае атомов, пространственная и спиновая части волновой функции должны быть спроектированы на сопряженные представления соответствующей группы перестановок. Для двухатомных молекул это требование сравнительно легко выполнимо, поскольку наибольшее вырождение орбиталей не превышает двух. Дважды вырожденные орбитали способны принять на себя один, два, три либо четыре электрона. При четырех электронах уровень полностью заполнен, и поэтому симметризацию орбитали не требуется проводить. При одном электроне на орбитали (или при трех на вырожденных орбиталях, согласно дырочному формализму) пространственное представление состояния совпадает с таковым для орбитали. Следовательно, единственная необходимость в симметризации возникает в случае, когда на вырожденном уровне находятся два электрона. Такая симметризация может быть выполнена методами, описанными в разд. 7.5, с использованием таблицы характеров [c.231]

Л(й) — симметрическая группа перестановок степени п [c.7]

Решите задачу 9.21, используя симметрическую группу перестановок (см. задачу 8.11). [c.40]

Электронная конфигурация основного состояния атома углерода (Ij) (2i) (2р) - Не полностью заполнен уровень 2р, содержащий только два электрона. Этой системе соответствует группа перестановок 5 (2) спиновая функция, связанная с представлением [2], соответствует триплетному состоянию, а связанная с представлением [1 — синглетному. [c.143]

Симметрические группы перестановок Степень 3 [c.270]

Группы перестановок и точечные группы симметрии [c.213]

Пойа [555] указал способ, как с помощью циклического индекса соответствующей группы перестановок можно перейти от комбинаторного подсчета числа всех конфигураций к подсчету их классов эквивалентности. Воспроизведем в сокращенном виде первоначальный вывод [555] теоремы Пойа. [c.134]

Перестановочная и пространственная симметрия тесно связаны друг с другом, поскольку любая точечная группа изоморфна, эквивалентна некоторой подгруппе группы перестановок, расширен- [c.446]

В табл. 7.2 приведены таблицы характеров для групп 8(2), 8(3) и 8(4). Таблицы характеров для следующих групп перестановок, вплоть до 8(7), помещены в приложении 7. Фигурки из квадратиков, изображенные в левой части таблиц характеров в табл. 7.2, являются диаграммами Юнга для соответствующих представлений. Нетрудно видеть, что они состоят из строк, число квадратиков в которых соответствует структуре определенного разложения. Каждая строка диаграммы отвечает определенной длине цикла, и для каждого цикла имеется своя строка. Эти строки располагаются в порядке убывания числа квадратиков и выравниваются по левому краю. [c.137]

Простейший способ записать операцию перестановки заключается в том, что сначала исходные индексы объектов располагают в строке, а затем под ней, в другой строке, указывают индексами положения, в которые переходят эти объекты. Возвращаясь к записи (7.4), можно проделать это для группы перестановок 8(3) таким образом [c.159]

N-2 " группа перестановок частиц 3,4,...,н. [c.201]

К таким группам операторов относится группа перестановок координат электронов, а также точечная группа симметрии С, соответствующая преобразованиям, которые переводят друг в друга идентичные ядра молекулы. [c.78]

Теперь, чтобы фактически выполнить над Ф [формула (17)] те операции, которые указаны в формуле (14), удобно взять прямое произведение соответствующих спиновых функций, принадлежащих неприводимым представлениям группы перестановок, на пространственные функции, принадлежащие сопряженным представлениям этой группы затем выбрать из указанного произведения функцию, принадлежащую полностью антисимметричному представлению. [c.81]

Решая общую проблему подсчета (перечисления), Пойа сумел удачно скомбинировать классический метод производящей функции с основными результатами теории групп перестановок. Метод производящей функции заключается в том, что последовательность величин Зо, Зь аг, определяющих число объектов различных типов, заменяется на функцию [c.133]

Для того чтобы исследование спектра н имело физический сшсл, то есть для того, чтобы характеризовать связанные состояния и "волновые пакеты" определенными квантовыми числами, это исследование проводится в пространствах функций, преобразующихся по щзатным неприводимым представлениям группы G симметрии системы с (и гамильтониана н ). Очевидно G = G = s )xO 5) w, где 3( ) - группа перестановок тождественных частиц из с, о (З) - группа вращений 3-х мерного пространства, w - группа инверсии. В некоторых случаях, ж в частности,когда полагаем g=g"=s( ). [c.189]

Формула (150) и представляет собой теорему Пойа о подсчете производящая функция для подсчета неэквивалентных конфигураций получается из циклического индекса соответствующей группы перестановок, если в качестве [c.136]

Наличие переменных а обеспечивает наиболее простую формулировку принципа Паули. Однако она не является единственно возможной. Более того, введение спиновых переменных в волновую функцию кажется несколько искусственным, что наводит на мысль о возможности иной формулировки принципа, в которой спиновые переменные отдельных электронов не фигурировали бы явно. Впервые в общем виде правильные условия симметрии для координатных волновых функций были получены в 1.940 г. В. А. Фоком. В 1960—70-х гг. в работах И. Г. Каплана, Ф. Матсена И других авторов была разработана так называемая бесспиновая схема квантовой химии, физически эквивалентная обычной, но в крторой свойства симметрии волновой функции выражаются с помощью групп перестановок. Уровни энергии многоэлектронной системы при этом характеризуются перестановочной симметрией соответствующих им координатных волновых функций, вид которых несет в себе как бы память о спине . [c.158]

В свою очередь каждый из изомеров II, III и IV порождает два новых и т. д. Весь этот процесс можно изобразить в виде графа. Для этого поставим в соответствие каждому изомеру точку на плоскости. Наличие 1,2-перегруппировки, переводящей один изомер в другой, позволяет считать эти точки смежными и поэтому две такие точки соединяются ребром (рис. 1.13). Граф, изображенный на этом рисунке, называют тонологическим представлением описанной выше перегруппировки. По-видимому, работа [48] была одной из первых, в которой подробно проанализирована структура графов, возникающих при описании внутримолекулярных перегруппировок. В последующих работах, например [49], графы исиользовалпсь для описания перегруппировок в различных системах с высокой симметрией молекулярного скелета в октаэдрических, тетраэдрических и др. В работе [49] использовались группы перестановок, содержащие большое число элементов. Рассматривались графы достаточно сложной структуры. При этом решались проблемы, связанные с неоднозначностью реализацией этих графов на плоскости. Было предложено, в частности, располагать вершины графов в вершинах правильных и-угольников, где п равно числу изомеров. Графы строятся таким образом, чтобы они имели максимальное число элементов симметрии. Граф (рис. 1.14) построеи для описания перегруппировок в октаэдрическом комплексе со всеми различными лигандами, нри которых сохраняются положения четырех из лигандов. В такого типа графах имеется гамильтонов цикл, т. е. замкнутый маршрут, проходящий через все вершины графа в точности один раз [49]. [c.27]

Группа G дает симметрии точечной группы в j. Симметричная группа на я объектах (группа перестановок) помимо этого дает симметрии (введенные Лонге-Хиггинсом в 50-е годы) для нежестких молекул (относящиеся также к стереоизомерам) [9]. В некоторых случаях О (я) или /(я) будут давать случайные вырождения, обусловленные тем, что мы можем назвать симметриями гильбертова пространства по сравнению с обычными симметриями евклидова трехмерного пространства (например, G). Эти вопросы обсуждаются далее в [9]. [c.79]

В этом разделе мы представим предыдущий материал в несколько более формальном виде, рассматривая, в частности, перегруппировки гомотетраэдрического графа. Повсюду в этом разделе П — конечное множество и С — группа перестановок П. Запись ag используется нами для обозначения образа а е Я при действии g е С. [c.298]

Симметрия структурно-нежестких молекул описывается т. наз. перестановочно-инверсионной группой, включающей группу перестановок тождеств, ядер и группу инверсии, состоящую из тождеств, операции и операции инверсии. Число элементов перестановочно-инверсионной группы обычно весьма велико, однако если в молекуле вьщелить жесткие фрагменты, напр, метильные группы, аминогруппы, то это число значительно сокращается. [c.201]

Группы перестановок для системы N тождеств, частиц обычно обозначают 5, . Если имеются две подсистемы из N1 н N2 тождеств, частиц (напр., в КНз подсистемы протонов и электронов), полной группой перестановок для всей системы будет группа 5 наз. прямым произведением групп и включаю1цая все парные комбинации операций С. м. для первой и для второй подсистем. [c.348]

Если выбрать к.-л. конфигурацшо ядер и отвечающую ей электронную энергию, то при всех операциях перестановочно-инверсионной группы, т.е. при всех перестановках тождеств. ядер, напр, протонов в циклопропане, и при инверсии эта энергия остается ез изменений, т. е. ППЭ молекулы симметрична относительно таких операций. Это утверждение имеет важные следствия. Действительно, пусть ядерная конфигурация молекулы отвечает нек-рой точечной группе, напр. Каждая из операций симметрии меняет местами (переставляет) тождеств, ядра это означает, что операции точечной группы эквивалентны нек-рому подмножеству операций соответствующей группы перестановок, т. е. точечная группа является подгруппой группы перестановок ур-ния Шрёдингера. Т. к. при операциях точечной группы С. м. электронная энергия не меняется, любая точка на ППЭ (в т. ч. и не отвечающая симметричной конфигурации) переходит, вообще говоря, в др. точку иа ППЭ с той же энергией. В частности, если исходная точка отвечала минимуму (локальному нли глобальному), то и вновь полученная точка также будет отвечать минимуму. Следовательно, операции симметрии размножают экстремальные и др. особые точки на ППЭ, за исключением тех случаев, когда они переводят ядерную конфигурацию саму в себя, т. е. когда точка на ППЭ при операциях С. м. остается неподвижной. Это означает, что ППЭ в целом всегда обладает максимально допустимой для данной системы ядер симметрией. Так, для ППЭ КзНд максимально допустимая симметрия (линейные конфигурации не учитываем, поскольку отвечающие им операции симметрии приводят в осн. лишь к поворотам системы ядер как целого). В то же время равновесная конфигурация адер имеет симметрию точечной группы С . > [c.349]

В качестве входной информации для небольшого числа электронов могут быть заданы численно матричные элементы неприводимых представлений, отвечащие всем перестановкам данной группы. При большом числе электронов целесообразно численно задавать лишь матричные элементы транспозиций вида так как любая перестановка может быть представлена как произведение таких транспозиций. Это существенно сокращает объем необходимой численной информации, так как число всех перестановок группы равно N1, а число транспозиций указанного вида (Н -1). Информация о матрицах неприводимых представлений группы перестановок может быть задана полностью алгоритмически, так как элементы матриц для транспозиций с последовательными индексами могут быть вычислены по простым правилам Шга и Яманути [ 12 ]. [c.185]

I. Как известно [I], теоретико-групповая классификация моле1 лшрных термов с учетом ядерных спинов основана на редук-цзш группы перестановок N ядер UJJ на точечную группу о рассматриваемой молекулы [c.197]

Недиагопальные парные корреляции аналогичны недиагональным хартри-фоковским орбитальным энергиям, которые возникают, если записать уравнения Хартри — Фока через локализованные орбитали (см., например, т. 1, разд. 1-4). Локализованные орбитали не принадлежат к неприводимым представлениям группы перестановок полного (а также хартри-фоковского) гамильтониана. Поэтому у систем с незаполненными электронными оболочками сохраняются недиагональные орбитальные и корреляционные энергии у систем с заполненными электронными оболочками указанные величины исчезают при суммировании по всем орбиталям. [c.242]

С математической точки зрения это означает, что любые средние значения определенной наблюдаемой величины, связанной с п-частичной системой, не зависят от того, преобразуется ли полная волновая функция как полностью антисимметричное представление группы перестановок Я п или она является простым произведением функций, преобразующихся как полностью антисимметричное представление подгруппы 9 р Э п-р. [c.59]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология