Диссипативная функция преобразования

Получим теперь феноменологические уравнения вида (5.193) в соответствии с выражением (5.205). Ранее было сказано, что каждый поток является линейной функцией всех термодинамических сил. Однако потоки и термодинамические силы, входящие в выражение (5.205) для диссипативной функции, обладают различными тензорными свойствами. Некоторые являются скалярами, другие — векторами, а третьи представляют собой тензоры второго ранга. Это значит, что при преобразованиях системы координат их компоненты преобразуются различным образом. В результате оказывается, что при наличии симметрии материальной среды компоненты потоков будут зависеть не от всех компонент термодинамических сил. Это обстоятельство называют принципом симметрии Кюри. Самой распространенной и простой средой является изотропная среда, т. е. среда, свойства которой в равновесном состоянии одинаковы во всех направлениях. Для такой среды потоки и термодинамические силы различной тензорной размерности не могут быть связаны друг с другом. Поэтому векторные потоки должны линейно выражаться через векторные термодинамические силы, тензорные потоки — через тензорные термодинамические силы, а скалярные потоки — через скалярные термодинамические силы. Сказанное позволяет написать следующие линейные феноменологические уравнения [c.88]

При наличии линейно зависимых потоков и сил коэффициенты aij также зависят друг от друга. Между тем они относятся к величинам, подлежащим экспериментальному определению, поэтому важно заранее установить связи между ними и выделить среди них независимые. Решение данной задачи достигается вместе с линейным преобразованием зависимых потоков и сил в независимые на основе инвариантности локальной диссипативной функции (1.27.21) относительно такого преобразования. [c.85]

Имея в виду последнее равенство, говорят, что локальная диссипативная функция инвариантна относительно линейных преобразований обобщенных потоков и сил. [c.86]

Используя выражение для локальной диссипативной функции (1.27.21), легко показать, что новым независимым силам Хщ соответствуют новые независимые потоки переход к которым от старых независимых потоков 7 задается линейным преобразованием [c.86]

Каждой совокупности линейно независимых потоков и сил (Г = 1,. .., / ), полученных в результате преобразований исходных зависимых потоков и сил Х, с учетом требования инвариантности локальной диссипативной функции, соответствует вполне определенная система линейных феноменологических уравнений вида [c.88]

Любое преобразование сил и потоков должно быть подчинено требованию инвариантности производства энтропии или диссипативной функции системы. Два или более набора величин XI и I или Хг и /г, удовлетворяющие этому требованию, являются термодинамически эквивалентными друг другу. Вопрос о том, какому из них отдать предпочтение, определяется удобствами решения конкретной задачи. Рассмотрим с этих позиций возможности, которые дают уравнения (5.3.36) и (5.3.38) для введения новых сил и потоков. [c.306]

Выражения для составляющих скорости жидкости относительно частицы показывают, что присутствие твердой частицы в жидкости приводит к увеличению скоростей деформации вблизи нее. Диссипативная функция ф, которая представляет собой механическую энергию, преобразованную в тепло вследствие трения и приходящуюся на единицу объема жидкости в единицу времени, вблизи частицы больше, чем вдали от нее. [c.62]

Очевидно, линейные преобразования здесь не должны изменять диссипативную функцию. Так, в системе реакций дегидрирования циклогексанола (А) в циклогексанон (В), фенол (С) и водород (В), описываемой уравнениями ( .22)—(У.24), если выбрать независимые реакции I и II, то имеем [c.225]

Обращение тензора (матрицы) диссипативной функции легко производится с помощью матрицы ортонормированного преобразования В (см. гл. II) [c.77]

В восьми главах книги рассмотрение ведется только на примере переноса тепла. Однако как физические, так и математические аспекты данного вопроса гораздо шире. Поэтому, чтобы показать другие возможности метода, в книге дается приложение. Показано применение вариационного подхода в таких областях физики, как массообмен и термодинамика необратимых процессов. Приводится иллюстрация применения метода Лагранжа к анализу задачи термоупругости. Очевидна также возможность применения данного метода к вязким жидкостям при использовании классической диссипативной функции Релея. Аналогичные методы можно применять также для описания электромагнитных явлений. Показаны более широкие математические возможности анализа, основанного на понятии скалярного произведения. Данное понятие представляет собой эффективное средство преобразования в функциональном пространстве. Оно включает такие методы, как преобразование линейных дифференциальных уравнений в нелинейные с помощью координат типа глубины проникновения. Такое рассмотрение дает возможность свести в единую систему различные методы, известные в прикладной математике под разными названиями. Кроме того, существование порога разрешения в физических задачах позволяет дать более реалистическое определение понятия полноты для обобщенных координат, которое учитывает дискретный характер вещества в противоположность математической модели континуума. [c.22]

Приближенный метод сопряженных полей. В некоторых задачах, в которых теплопроводность зависит от температуры, можно рекомендовать применение приближенного метода разделения циклических координат. Вместо преобразования (5.4.7) будем считать теплопроводность равной некоторой усредненной величине, не зависящей от температуры. Эта усредненная теплопроводность может зависеть от координат. Тогда сопряженное поле рассчитывается с помощью таких усредненных значений. Однако при нахождении диссипативной функции в виде этих сопряженных полей используется действительная теплопроводность, зависящая от температуры. В отличие от метода, основанного на применении преобразования (5.4.7), этот приближенный метод не требует, чтобы теплопроводность не зависела от координат, и учитывает коэффициент теплообмена. [c.115]

Положительное значение диссипативной функции как критерий возможности сопряжения потоков означает, что в любом преобразователе энергии входная мощность должна превышать выходную. В большинстве биологических процессов происходит преобразование химической энергии в осмотическую, электрическую и механическую. Во всех этих процессах происходит диссипация части химической энергии в тепло. [c.25]

Преобразования диссипативной функции [c.36]

Важное преобразование, которое оказалось особенно полезным в случае разбавленных растворов, выражает Ф через объемный поток, потоки соли и электрического тока, а также через соответствующие силы. Эта форма диссипативной функции получена следующим образом. Если молекула рассматриваемой соли диссоциирует на VI катионов с зарядом 1 и V2 анионов с зарядом 22, то условие электронейтральности дает [c.36]

Рассмотрено несколько важных преобразований диссипативной функции для процессов мембранного транспорта. Эти преобразования приводят к такому набору потоков и сил, которые более удобны для экспериментатора, так как легко могут быть зафиксированы или измерены. [c.51]

В соответствии с парной ему силой Хг- Однако выходной поток 1 может протекать против соответствующей силы 1 вследствие его сопряжения с /г. В этих случаях выходной член имеет отрицательный- знак, показывая, что свободная энергия передается от рабочего элемента в окружающую среду. Таким образом, часть свободной энергии, израсходованная процессом 2, преобразуется в форму, характерную для процесса 1. Так как диссипативная функция всегда отрицательна, то поток на выходе никогда не может превыщать поток на входе. Интуитивно ясно, что эффективное преобразование энергии требует тесного сопряжения между двумя процессами. [c.58]

Нет смысла более подробно останавливаться на деталях данной системы формализации знаний, поскольку они подробно освещены в отдельном издании настоящей серии по системному анализу процессов химической технологии [9]. Отметим только, что этот подход основан на формулировке обобщенной системы уравнений переноса массы, энергии, импульса, момента импульса, электрического и магнитного заряда с учетом всех возможных видов превращений вещества и энергии (исключая внутриатомные), преобразовании обобщенной системы уравнений переноса с помощью локального варианта уравнения Гиббса, получении на этой основе обобщенной диссипативной функции физико-химической системы, декомпозиции обобщенной диссипативной функции на все возможные виды диссипации энергии, введении диаграммной символики для каждого вида диссипации и дополнении этой символики диаграммным изображением сопутствующих явлений недиссинатив- [c.226]

Следующим щагом является приведение уравнения (5.190) к виду (5.182), для чего нужно собрать слагаемые, содержащие дивергенцию. После несложных преобразований получим выражения для потока энтропии X и источника энтропии а, который называют также диссипативной функцией [c.86]

Ни один из потоков или сил в этом уравнении нельзя измерить непосредственно. Преобразования, приводящие к рабочим формам диссипативной функции для мембранных процессов, были рассмотрены в классической серии статей Кедем и Качальского [10, 13—17], а также Михаэли и Кедем [20]. [c.28]

Преобразованные формы диссипативной функции могут использоваться для соответствующих преобразований феноменологических уравнений, что приводит к практическим феноменологическим коэффициентам. Примеры таких преобразований дают уравнения потоков Кедем — Качальского. [c.51]

В гл. VI из вариационного принципа наименьшего рассеяния энергии, представленного через силы, выводится уравнение Фурье для тенлонроводностн (во всех возможных видах), полная система уравнений Фика для многокомпонентной изотермической диффузии и обобщенное уравнение Навье — Стокса для вязких течений. Вывод этих уравнений из нового, силового , представления принципа наименьшего рассеяния энергии доказывает, что такое представление является более полезным, нежели первоначальное. Кроме того, опираясь на это новое представление, мы имеем возможность сформулировать новый интегральный принцип термодинамики. После общей формулировки интегрального принципа и введения функции Лагранжа для термодинамики показано, что уравнения Эйлера — Лагранжа, относящиеся к интегральному принципу, эквивалентны полной системе уравнений переноса. Как непосредственная иллюстрация применения интегрального принципа проводится вывод уравнений переноса, описывающих различные неизотермические явления с учетом перекрестных эффектов. Обсуждается связь между интегральным принципом термодинамики и принципом Гамильтона для полей. Наконец, после вывода канонических полевых уравнений, соответствующих интегральному принципу термодинамики, рассматривается преобразование Лежандра диссипативных плотностей лагранжиана и гамильтониана и приводится каноническая форма интеграла рассеяния. [c.28]