также диссипативная функция

Пользуясь понятием обобщенных координат и вариационным принципом с помощью выражений, аналогичных механическим силам и потенциалам, а также диссипативной функции Релея, приходят к дифференциальным уравнениям типа Лагранжа. Принцип минимальной диссипации получается как следствие. Основное значение обобщенных координат как способа полного описания физической системы обсуждается в связи с рассмотрением дискретной молекулярной структуры. [c.20]

Диссипативная функция Ф в этом случае также принимает более простую форму, так как последний член правой части (40) равен нулю. [c.73]

Равенство (1.69) может также рассматриваться как формулировка гипотезы Ньютона, вследствие чего выражение (1.69) можно называть диссипативной функцией Ньютона. [c.66]

При наличии линейно зависимых потоков и сил коэффициенты aij также зависят друг от друга. Между тем они относятся к величинам, подлежащим экспериментальному определению, поэтому важно заранее установить связи между ними и выделить среди них независимые. Решение данной задачи достигается вместе с линейным преобразованием зависимых потоков и сил в независимые на основе инвариантности локальной диссипативной функции (1.27.21) относительно такого преобразования. [c.85]

Уз, сам = у " за счет ее самопроизвольного переноса под действием градиента температуры в каждой точке системы является ощутимой. Эти условия выполняются, например, для тел с кристаллической структурой, а также для твердых аморфных объектов (стекол, пластмасс и т. д.). В рассматриваемом случае выражения для плотностей производства энтропии (4.11.10) и диссипативной функции (4.11.11) приобретают вид [c.265]

Поскольку диссипативная функция однозначно связана с потоком энтропии за счет необратимых процессов в системе [см. (1.112)], формулу (1.146) можно представить также в виде [c.45]

Следует отметить, что модель функции распределения относительной скорости в форме (3.35) может быть улучшена, если при формулировке диссипативной функции ансамбля учесть не только диссипацию в пограничных слоях, окружаюш.их частицы, но также и другие специфические для псевдоожиженного слоя механизмы диссипации энергии потока ожижающего агента. [c.180]

В восьми главах книги рассмотрение ведется только на примере переноса тепла. Однако как физические, так и математические аспекты данного вопроса гораздо шире. Поэтому, чтобы показать другие возможности метода, в книге дается приложение. Показано применение вариационного подхода в таких областях физики, как массообмен и термодинамика необратимых процессов. Приводится иллюстрация применения метода Лагранжа к анализу задачи термоупругости. Очевидна также возможность применения данного метода к вязким жидкостям при использовании классической диссипативной функции Релея. Аналогичные методы можно применять также для описания электромагнитных явлений. Показаны более широкие математические возможности анализа, основанного на понятии скалярного произведения. Данное понятие представляет собой эффективное средство преобразования в функциональном пространстве. Оно включает такие методы, как преобразование линейных дифференциальных уравнений в нелинейные с помощью координат типа глубины проникновения. Такое рассмотрение дает возможность свести в единую систему различные методы, известные в прикладной математике под разными названиями. Кроме того, существование порога разрешения в физических задачах позволяет дать более реалистическое определение понятия полноты для обобщенных координат, которое учитывает дискретный характер вещества в противоположность математической модели континуума. [c.22]

Выражение D+ — диссипативная функция поля Н+. Это поле также определяет 0 [уравнение (1.6.5)]. Слагаемое Q+i выражает обобщенную движущую силу, обусловленную источниками тепла. [c.31]

Левые части уравнений (3.3.15г) и (3.3.15д) не могут быть отрицательными, поскольку они соответствуют тепловому. потенциалу и диссипативной функции. Следовательно, квадратичные формы в правой части также не являются отрицательными. [c.67]

Это уравнение соответствует диссипативной функции (6.5.23) для теплообмена. Эти уравнения применимы также для изучения переноса массы в турбулентном потоке. Для этого в вышеприведенных уравнениях вместо 33 надо использовать [c.191]

Понятие обобщенных координат и соответствующие уравнения Лагранжа уже стали существенной составной частью классической механики. Введение Релеем диссипативной функции позволило учесть вязкие силы. Хотя обобщенные координаты использовать почти исключительно в задачах механики, само понятие этих координат и связанные с ними методы имеют гораздо более широкий смысл и являются основой анализа большого класса явлений. С чисто математической точки зрения методы Лагранжа при использовании понятий функционального анализа также приводят к новому подходу. Для пояснения этого более широкого подхода рассмотрим подробнее основы метода Лагранжа. [c.199]

При этом величина, содержащая Н, выражается с помощью физического инварианта, который в данном случае совпадает с диссипативной функцией О. Для этого также необходимо учесть функциональное тождество [c.201]

Общий метод Лагранжа в термодинамике необрати.мых процессов был разработан автором в 1954 г. Л. А-1]. Более подробное обсуждение выводов из этой теории проведено в работе (Л. А-2]. Такая формулировка термодинамики необратимых процессов с помощью уравнений Лагранл а и соответствующих вариационных принципов основана на введении нового термодинамического потенциала для систем с неравномерной температурой, а также диссипативной функции, выведенной из соотношений взаимности Онзагера. Этот подход применим для широкого круга явлений механики вязких и вязкоупругих сред, а также в термодинамике, физической химии и электродинамике. [c.192]

Это уравнение для диссипации, обусловленной вязким трением, известно со времени введения диссипативной функции Релея. Автором было показано, что такой универсальный подход возможен также в случае термодинамической диссипации, что показано в предыдущем параграфе на примере термоупругости. [c.201]

Важное преобразование, которое оказалось особенно полезным в случае разбавленных растворов, выражает Ф через объемный поток, потоки соли и электрического тока, а также через соответствующие силы. Эта форма диссипативной функции получена следующим образом. Если молекула рассматриваемой соли диссоциирует на VI катионов с зарядом 1 и V2 анионов с зарядом 22, то условие электронейтральности дает [c.36]

Неравновесную термодинамику применяли ко всем типам мембранных процессов, а также к разбавленным растворам, содержащим растворитель (обычно воду) и растворенное вещество [5, 6]. Характеристики мембраны в таких системах могут быть описаны с помощью трех коэффициентов, или транспортных параметров проницаемость для растворителя проницаемость для растворенного вещества и и коэффициент отражения а. При использовании воды в качестве растворителя (индекс IV) для данного растворенного вещества (индекс б) диссипативная функция (рост энтропии) в разбавленном растворе является суммой потока растворителя и потока растворенного вещества, умноженных на сопряженные им движущие силы [c.219]

Не останавливаясь на выводе этих хорошо известных соотношений, отметим только, что Г, У, ), Г и — действительные величины и, кроме того, Т — определенно-положительная квадратичная форма мы предположим, что и Д — также определенно-положительная квадратичная форма, т. е. мы будем рассматривать системы, в которых диссипативные силы имеют обычный характер сил сопротивления. Разложение, которым мы воспользовались выше, может привести к диссипативной функции иного характера. [c.40]

Диссипативная функция и производство энтропии в двухфазной среде с фазовыми переходами. Используем предположение о локальном термодинамическом равновесии в пределах фазы, а также допущение об аддитивности внутренней энергии смеси и энтропии смеси по массам входящих в смесь фаз [c.36]

Внутренняя гладкость решения. Можно доказать, что гладкость решения в любой внутренней подобласти определяется гладкостью функции jit, х) и никак не зависит от гладкости начальной и граничных функций. В частности, если fit, х) бесконечно дифференцируема, то uit, х) также бесконечно дифференцируема во внутренних точках. Распространение особенностей краевых значений внутрь области, характерное для конвективного переноса, не происходит при диссипативных процессах. [c.83]

Проведенные Маньковским исследования [72] показали, что акустические измерения целесообразно также использовать для контроля и изучения суспензий, применяемых в водоподготовке. В гетерогенных системах происходит постепенное ослабление ультразвука в направлении распространения вследствие диссипативных потерь в среде и в результате рассеивания. Как видно из рис. 42, при концентрации суспензий извести и угольного порошка (КАД-молотый, ОУ-осветляющий, марки А) до 5% наблюдается линейная зависимость коэффициента поглощения от содержания взвешенных веществ. Однако это действительно лишь при сохранении постоянной дисперсности. Дополнительное по сравнению с водой поглощение ультразвука в гетерогенной системе является функцией ряда параметров [c.109]

В гл. IV было показано, что реагенты часто неоднородно распределяются в пространстве, так что происходит одновременная диффузия веществ от одной точки к другой внутри системы, а колебания концентраций реагентов в нелинейных реакциях будут определенным образом распределены в пространстве. В результате возникает новая диссипативная структура с пространственно неоднородным распределением вещества. Это следствие взаимодействия процесса диффузии, стремящейся привести состав системы к однородности, и локальных процессов изменений концентраций в ходе кинетических нелинейных реакций. Возникновению этой диссипативной структуры также предшествуют нарушение условии термодинамической устойчивости вдали от равновесия в точке бифуркации а и переход в неустойчивое состояние на нетермодинамическую ветвь. Аналогичным образом можно сопоставить триггерные свойства в системах, обладающих S -образными характеристиками, с изменением потенциальной функции dx = dD. В описанных триггерных системах (см. 1 гл. II) происходят скачкообразные переходы между двумя устойчивыми состояниями при изменении управляющего параметра а. В этих системах имеется всего одна независимая переменная. Это значит, что применение эволюционного критерия (VI.1.13) dx О возможно в форме полного дифференциала (VI. 1.14) [c.154]

Следующим щагом является приведение уравнения (5.190) к виду (5.182), для чего нужно собрать слагаемые, содержащие дивергенцию. После несложных преобразований получим выражения для потока энтропии X и источника энтропии а, который называют также диссипативной функцией [c.86]

Подставив выражения для химического сродства Аг, скорости реакции Vrr и перекрестного коэффициента г в уравнение диссипативной функции (7.77) и интегрируя ifo по объему мембраны (см. 7.45), можно получить уравнение для расчета и анализа потерь эксергии в процессе селективного проницания через реакционно-диффузионную мембрану. Необходимое значение степени сопряжения массопереноса и химического превращения находят по уравнению (1.18) на основе опытных значений коэффициента ускорения Фь Предполагается также, что известно распределение концентраций всех компонентов разделяемой газовой смеои и веществ матрицы мембраны, участвующих в реакциях, как решение системы нелинейных дифференциальных уравнений (1.26). Энергетическая эффективность процесса при 7 = Гер оценивает эксергетический к. п.д., вычисляемый по уравнению (7.71). [c.255]

Наибольшее влияние электрокинетических эффектов на массопе-ренос проявляется при %1г [1—3, 71, 72, 78], где х — обратный дебаевский радиус и й — полуширина поры или толш ина пленки. Для воды (х = 10 10 см ) эти явления особенно суш ественны при значениях к порядка 0,1—1 мкм. В этом случае, так же как и в случае более широких пор к 10 мкм), любая теория неизотермического массопереноса в пористых телах с наряженной поверхностью должна учитывать наряду с переносом тепла также и перенос заряда. Диссипативная функция, отражаюш ая скорость производства энтропии, записывается тогда вместо (Х.77) в следуюш ем виде [104] [c.332]

Наличие жестких связей в цепи (валентных связей и углов) также приводит к дополнительным корреляциям скоростей разных частиц цепи и к изменению вида диссипативной функции, а, следовательно, и внутреннего трения для выделенного набора скоростей декартовых координат. Более того, оказалось, что динамические свойства даже для свободночючлененной цепи (или цепи со свободным внутренним вращением) таковы, как если в цепи существовало, хотя и сравнительно небольшое, внутреннее трение. В диссипативной функции цепи появляются недиагональные члены [76]. [c.49]

Корреляция броуновских сил, действующих на разные элементы цепи, также ведет к появлению недиагональньхх членов в диссипативной функции [77]. [c.49]

При этом диссипативная функция /)(и,) будет состоять также из двух частей скорости работы диссипации, затрачиваемой на поддержание слоя во взвещенном состоянии /)(и), и скорости работы диссипации, связанной с пульсациями относительной скорости ол<ижающего агента О (и — иг). Функция плотности вероятности (3.35) в этом случае принимает вид [c.179]

T. e. соотношения Онзагера. Очевидно также, что J F и ГФ дают рассеяние энергии. И. Пригожин выдвинул принцип наименьшего производства энтропии. По И. Пригожину, когда при постоянных внешних параметрах в системе наступает стационарное состояние, скорость возникновения энтропии делается постоянной и минимальной. Стационарное состояние может наступить и в том случае, когда внешние параметры не постоянны. Необходимо, чтобы их изменение происходило медленно по сравнению со скоростью изменения параметров системы. Итак, для стационарного состояния характерны минимальное значение диссипативной функции и минимальная скорость возникновения энтропии. Оба эти принципа были объединены И. Дьярмати, рассмотревшим состояния, в которых постоянны силы, но меняются (варьируют) потоки и, соответственно, наоборот. Дьярмати показал, что [c.119]

Ни один из потоков или сил в этом уравнении нельзя измерить непосредственно. Преобразования, приводящие к рабочим формам диссипативной функции для мембранных процессов, были рассмотрены в классической серии статей Кедем и Качальского [10, 13—17], а также Михаэли и Кедем [20]. [c.28]

Макроскопическое спонтанное структурирование обусловлено коопера-тивностью поведения микроскопических составляющих, возникающего внезапно в момент достижения внешним фактором своего критического значения. В докритической области все состояния системы могут быть получены из равновесного состояния медленной непрерывной деформацией равновесных структур. Последовательность таких состояний образует так называемую термодинамическую ветвь. Отвечающие ей процессы имеют аддитивный характер. К ним относятся, например, ламинарное течение жидкости, диффузия и все другие потоки вещества и энергии, которые в определенном диапазоне внешних условий являются линейными функциями термодинамических сил - градиентов соответствующих потенциалов (температуры, давления, концентрации и др.). При выходе за область критических значений градиентов линейные потоки размываются и у систем возникают совершенно новые упорядоченные структуры, работающие в стационарном режиме (их-то и назвал Пригожин диссипативными). В момент появления такой структуры на термодинамической ветви возникает резкий излом - бифуркация. Ход исторического развития научного познания также может быть представлен нелинейным неравновесным процессом, включающим термодинамические ветви, разделенные бифуркациями. На начальном этапе, до первой критической точки, [c.27]

Предположим, что реальное течение моделируется потоком, в котором на участке длиной Дл температура расплава остается неизменной, а поле скоростей удовлетворяет условиям, наблюдающимся при изотермическом течении. При переходе к следующему участку длиной isXi+ температура расплава изменяется скачком так, что теплосодержание расплава оказывается равно сумме (или разности) двух тепловых потоков диссипативного разогрева и теплообмена через стенку. При этом также скачкообразно изменяются и все термодинамические функции. В этом случае имеем [c.176]

Фундаментальное значение для характеристики полимерных систем имеют начальные значения вязкости (т]гп) и коэффициентов первой разности нормальных напряжений Цы), измеряемые при низких скоростях сдвига, когда они практически не зависят от скорости сдвига (у), а также параметры, определяющие релаксационные характеристики полимеров зависимости модулей накопления и диссипативных потерь от частоты при циклическом деформировании с малыми амплитудами. Это дает возможность определить протяженность плато высокой эластичности (Algojp), критическую частоту сое"(макс.), отвечающую максимуму зависимость G"( o) и рассчитать релаксационный спектр Н (0), где 0 — время релаксации. Максимуму функции Я(0) отвечает 0 = 0макс- [c.364]

Общие свойства сходимости дифференциальных уравнений более чем одного измерения лучше всего изучать с помощью функций Ляпунова [24]. Нри таком подходе рассматривают функции, напоминающие потенциальные функции с минимумом в точке равновесия, так как предполагается, что в химической системе все самопроизвольные изменения должны вызываться падением некоторого потенциала. Существование функций Ляпунова всегда указывает на диссипативную систему, где явления необратимы, в противоположность консервативной системе, где явления могут повторяться бесконечное число раз. Уменьшение функции Ляпунова противоположно поведению инварианта, который всегда остается неизменным. Функцию Ляпунова У(а) можно также рассматривать как обобш,енную функцию расстояния между точкой состава и точкой равновесия, если У (а ) принять равной нулю. Известными примерами функций Ляпунова являются следующие гамильтониан в системе механического движения, где имеются неконсервативные силы, препятствующие движению Н-функция Больцмана в статистической механике молекулярных столкновений и избыток энтропии (5—5равн) для адиабатических систем в классической термодинамике. [c.227]

Теперь обратимся к обсуждению структурных особенностей мономолекулярных систем. Начнем с рассмотрения наиболее важного вопроса, а именно выясш1м, являются ли постоянные параметры —в уравнениях (6) и (84) действительными отрицательными числами. Если они представляют собой комплексные числа с отрицательной действительной частью, то пути реакции будут спирально приближаться к точке равновесия, как показано на рис. 36. Если они являются чисто мнимыми, то пути реакции будут описывать орбиту вокруг точки равновесия, не стремясь к равновесию. Если они имеют положительную действительную часть, то количества характеристических веществ будут безгранично расти, вместо того чтобы приближаться к пулю. Поскольку к химической кинетике применяется термодинамика и поскольку существование термодинамических функций Ляпунова (энтропия, свободная энергия Гиббса и т. д.) говорит о том, что система является диссипативной, то для мономолекулярных систем в химической кинетике чисто мнимое решение невозможно. Мы знаем также нз закона сохранения массы и из невозможности существования отрицательных количеств различных компонентов, что положительных действительных частей не бывает. Требуются, однако, более тонкие физические принципы, чтобы исключить наличие комплексных величин с отрицательной действительной частью. Как показано в приложении I, принцип частичного равновесия дает достаточное основание считать, что параметры —Яг являются неположительными действительными числами. [c.243]