Вывод уравнения Фурье

Вначале выведем уравнение переноса тепла для случая Е—0. Если движение жидкости внутри тела происходит достаточно медленно, то можно считать температуру жидкости в порах тела равной температуре скелета. В этом случае можно воспользоваться методом расчета, который применяется при выводе уравнения Фурье-Кирхгоф а. [c.66]

Вывод уравнения Фурье 206 [c.3]

Вывод уравнения Фурье [c.206]

Уравнение (14-4, б) состоит пз двух членов. Из него выводится критерий Фурье [c.300]

Для вывода уравнения теплопроводности плоско степки воспользуемся дифференциальным уравнением Фурье (6.9). [c.124]

Для вывода общего уравнения диффузии используется тот же метод, который применяется при выводе уравнения Навье-Стокса в гидравлике и уравнения Фурье в теории теплопередачи выделяют и пространстве параллелепипед, подсчитывают, сколько вещества поступит в него и уйдет из него через все его грани (по трем осям координат) за счет молекулярной диффузии и конвективного переноса и т. д. Опуская самый вывод, приводим уравнение в окончательном виде [c.31]

Общее математическое описание переноса теплоты (без учета излучения) представляют в виде уравнения Фурье—Кирхгофа, рещение которого должно позволить найти температуру в любой точке рабочего пространства в заданный момент времени. Вывод этого уравнения и его анализ приведены в разд. 1.5.2 критерии подобия, получаемые масштабными преобразованиями уравнения Фурье—Кирхгофа и некоторых других соотнощений, рассмотрены в разд. 1.8. [c.478]

К аналогичному выводу приходим, используя в качестве базы для анализа уравнение Фурье—Кирхгофа, сводящееся для рассматриваемого случая к дифференциальному уравнению = О, откуда получается линейное соотношение типа 0 = С х + l- [c.480]

Подобие тепловых процессов. Критерии подобия тепловых процессов выводятся из уравнения Фурье — Кирхгофа так же, как критерии подобия гидромеханических процессов из уравнения [c.75]

Впервые метод расчета диффузии дал А. Фик (1855 г.), использовав для вывода уравнения аналогию с теплопроводностью, изученной Фурье. Фик исходил из гипотезы, что в изотропной среде количество диффундирующего вещества j, переходящее за единицу вре- [c.28]

Вывод уравнений гидродинамики разреженного газа из кинетического уравнения Больцмана. Статистическое обоснование законов Ньютона и Фурье 321 [c.396]

В этой главе мы рассмотрим несколько простых физических моделей, чтобы дать наглядное представление о том, почему и посредством каких механизмов релаксирует система ядерных спинов, помещенная в сильное магнитное поле или выведенная каким-либо способом из равновесного состояния. Иначе говоря, мы хотим рассмотреть, каким образом спиновая система приходит в равновесие со своим окружением, обычно называемым решеткой . Мы начнем с того, что покажем, как распределение частот молекулярных движений в образце влияет на времена релаксации ядер и почему медленные (низкочастотные) процессы влияют только на время спин-спиновой релаксации и не влияют на время спин-решеточной релаксации тогда как высокочастотные процессы (с частотой, равной резонансной, и выше) влияют и на Т1 и на Т . Мы покажем, что релаксацию обусловливает фурье-компонента с частотой со о. Равной резонансной для данного сорта ядер, и что величины Т1 и Га определяются интенсивностью (амплитудой) этой компоненты и величиной энергии взаимодействия, связывающего прецессирующие спины с молекулярными движениями. И наконец, мы используем полученные результаты для того, чтобы наметить путь вывода уравнений, дающих количественную связь величин Г1 и с диполь-дипольным, спин-спиновым и другими взаимодействиями, и приведем несколько примеров, показывающих, какую полезную химическую информацию можно извлечь из данных о релаксации. [c.77]

Для определения коэффициентов Фурье поступаем так же, как при выводе уравнения (6.4). Интегрируя почленно и принимая во внимание условие ортогональности [формально надо еще умножить на функцию Фо (х) = I, но это, очевидно, не меняет вида уравнения (6.9)], получаем [c.175]

Первые исследования в области термодинамики необратимых процессов, а именно теплопроводности, были выполнены в 1822 г. Ж. Фурье. В полученном им дифференциальном уравнении распространения тепла внутри твердого тела учитывались время и производные по времени. В 1826 г. Г. Ом экспериментально установил свой знаменитый закон электрической цепи Дж. Стокс в 1845 г. разработал теорию движения вязкой жидкости (уравнение Навье—Стокса), а А. Фик в 1855 г. получил уравнение диффузии. Все это эмпирические истоки будущей неравновесной термодинамики. Ее становление в качестве особой области физики началось только в 1931 г., когда Л. Онсагер сформулировал принцип, представляющий собой обобщение физических соображений, лежащих в основе выводов уравнений движения Фурье, Ома, Стокса и Фика. [c.443]

Уравнение теплопроводности цилиндрической стенки. Полагаем, что /ст.1 > ст.2 (рис. 11-2), коэффициент теплопроводности не зависит от температуры, которая изменяется только в радиальном направлении. Для вывода уравнения теплопроводности цилиндрической стенки целесообразно перейти к цилиндрическим координатам. При этом уравнение Фурье для установившегося процесса теплообмена примет вид [c.270]

Мы уже не раз говорили, что, хотя представления принципа наименьшего рассеяния энергии через силы и через потоки в принципе эквивалентны друг другу, практически дело обстоит иначе. Так, априори ясно, что при представлении принципа через потоки невозможен непосредственный вывод уравнений переноса (уравнений Фурье, Фика, Навье — Стокса и т. д.), если при варьировании по потокам ставится условие постоянства сил. Причина этого заключается в том, что при выводе уравнений переноса, описывающих теплопроводность, диффузию, вязкое течение и т. д., необходимо варьировать интенсивные величины, т. е. температуру, химические потенциалы, скорость и т. д. Это, однако, несовместимо с представлением через потоки, где налагается условие постоянства сил, определяемых отрицательными градиентами интенсивных величин. Указанная трудность автоматически исключается в представлении через силы. Следовательно, естественно ожидать, что представление через силы окажется более плодотворным (по крайней мере в практическом отношении, как и в стационарном случае), чем представление через потоки. [c.206]

До сих пор наше внимание было сосредоточено на непосредственном выводе дифференциального уравнения Фурье. Теперь с помощью варьирования вдоль граничной поверхности системы определим функцию Лагранжа, относящуюся к вариационному принципу. Для этого преобразуем второй член в условии экстремума (6.14) следующим образом [c.209]

ОН использовался при выводе уравнения теплопроводности в представлении Фурье и в энтропийном представлении и, кроме того, при выводе уравнений переноса в неизотермическом случае. [c.240]

Диффузия жидкостей через большинство твердых материалов подчиняется тому же основному закону диффузии, который справедлив для случая диффузии тепла, и уравнение Фурье для теплопроводности применимо для сушки твердых материалов, когда процессом управляет внутренняя диффузия жидкости. Для случая плоского материала (плиты), толщина которого равна 2R, зависимость между влагосодержанием и временем выводится и выражается рядом Фурье для Е, выраженного как функция т, Е представляет собой соотношение свободного (общее минус равновесное) влагосодержания во время [c.451]

Рис. 6.1. к выводу дифференциального уравнения теплопроводности Фурье [c.112]

Классический метод решения параболического уравнения в частных производных (8.23) с условиями однозначности третьего рода (по классификации, принятой в математической физике) состоит в разделении переменных т и г, в представлении уравнения в виде системы двух уравнений в полных производных, в их решении и определении трех констант интегрирования из трех независимых условий однозначности (8.24). Подобный алгоритм получения такого решения в форме бесконечного ряда Фурье рассмотрен в гл. 3 на примере решения задачи нестационарной теплопроводности тела плоской формы (см. решение (3.41) системы уравнений (3.28)). Задача (8.23), (8.24) сформулирована для тела шаровой формы, что не отражается на принципе и последовательности получения решения, а лишь несколько изменит конечный результат, который приводится здесь (без вывода) только для среднего по объему шаровой частицы значения концентрации С компонента [c.489]

Совершенно аналогичен вывод, исходящий из закона (12.7) и приводящий к уравнению диффузии (Фика — Фурье) [c.182]

Фурье. Вывод и применение соответствующих уравнений можно найти в литературе [8, 9]. [c.109]

В гл. VI из вариационного принципа наименьшего рассеяния энергии, представленного через силы, выводится уравнение Фурье для тенлонроводностн (во всех возможных видах), полная система уравнений Фика для многокомпонентной изотермической диффузии и обобщенное уравнение Навье — Стокса для вязких течений. Вывод этих уравнений из нового, силового , представления принципа наименьшего рассеяния энергии доказывает, что такое представление является более полезным, нежели первоначальное. Кроме того, опираясь на это новое представление, мы имеем возможность сформулировать новый интегральный принцип термодинамики. После общей формулировки интегрального принципа и введения функции Лагранжа для термодинамики показано, что уравнения Эйлера — Лагранжа, относящиеся к интегральному принципу, эквивалентны полной системе уравнений переноса. Как непосредственная иллюстрация применения интегрального принципа проводится вывод уравнений переноса, описывающих различные неизотермические явления с учетом перекрестных эффектов. Обсуждается связь между интегральным принципом термодинамики и принципом Гамильтона для полей. Наконец, после вывода канонических полевых уравнений, соответствующих интегральному принципу термодинамики, рассматривается преобразование Лежандра диссипативных плотностей лагранжиана и гамильтониана и приводится каноническая форма интеграла рассеяния. [c.28]

Фактически ири выводе общих уравнений переноса можно также исходить из второго выражения в левой части соотношения (6.1). Однако в этом случае дивергенции различных плотностей потоков, входящих в выражение для производства энтропии, можно исключить только с помощью различных уравнений баланса. Точнее говоря, производные по времени а, можно ввести в выражение для плотности лагранжиана только косвенным образом, поэтому сам метод называется косвенным. Последний метод впервые был применен Верхашем [65, 79] в сущности аналогичный подход мы применили при выводе уравнения теплопроводности в энергетическом представлении и в обобщенном Г -представлении, а также при выводе обобщенного уравнения движения вязкого потока и уравнения Фика для изотермической диффузии. Таким образом, наиболее существенные стороны косвенного метода нетрудно понять, рассматривая частные случаи (особенно вывод уравнения Фурье в обобщенном Г -представлении), поэтому мы здесь не останавливаемся на выводе уравнений переноса в наиболее общем виде. [c.240]

Этого выражения, одиако, достаточно для вывода уравнений Фурье, Фика и т. д. и дифференциальных уравнений, описывающих термодиффузию [I, 55—58, 66, 85, 98]. Конечно, вариационную задачу (Б.10) следует рассматривать с парциальными ограничешшми (В. 6), что соответствует духу представления через силы. В этом случае в соответствии с соотношеипем (6.122) имеем [c.276]

Не делая пока попыток расширить молекулярную интерпретацию вязкоупругих явлений в полимерах далее тех весьма качественных замечаний, которые сдслаиы в предыдущей главе, перейдем теперь к рассмотрению феноменологической теории линейных вязкоупругих свойств и выведем точные соотношения, с помощью которых каждая из функций, описанных в предыдущей главе (а также в других главах), может быть вычислена из любой другой функции. По этому вопросу имеется обширная литература, и интерес к не.му возникает по нескольким причинам. Прежде всего такие вычисления обычно необходимы для того, чтобы воспроизвести поведение какой-либо функции в большом интерва.те изменения времени или частоты, комбинируя результаты измерений различного тнпа. Большинство кривых, приведенных в гл. 2, получено таким путем. Во-вторых, подобные вычисления имеют практическую ценность, позволяя предсказывать поведение пластика или каучука в определенных условиях, которые могут быть недоступными для прямого эксперимента, на основании измерений, проведенных при других, легче реализуемых условиях. Наконец, феноменологическая теория представляет определенный математический интерес и ее структура может быть представлена в весьма изящно11 фор.ме. Кроме того, она является частным случаем более общей теории линейных преобразований, которая широко используется при анализе электрических цепей. В настоящей главе излагаются основные положения и результаты теории и не затрагиваются более отвлеченные понятия, включающие преобразования Фурье и Лапласа, с которыми читатель может познакомиться в других работах [1—6]. Замечания о выводе уравнений даются лишь для немногих мало известных случаев. Как обычно, все выражения формулируются для деформации сдвига, но аналогичные соотношения имеют место и для объемного сжатия, простою растяжения и т. д. [c.58]

Наиболее пригодный для сложных структур подход использует важный метод синтеза Фурье. Основа этого метода в существенной степени содержится в выводе уравнения (IV.11). Именно вместо суммирования по рассеивающим центрам, локализованным на отдельных атомах, проводится суммирование по вкладам отдельных электронов, как рассеивателей, распределенных по всей элементарной ячейке согласно функции р х, у, z) — электронной плотности вероятности. Число электронов в малом объеме FAi Aj/Az вблизи точки с координатами х, у л z равно р х, у, z) х X VAxAyAz. Вклад от этих электронов в общее выражение для рассеянной волны в соответствии с уравнением (IV.11) составляет х [c.778]

Далее в соответствии с условием конкретной задачи устанавливают явный вид потенциала Urf(ri, fz,. .., системы в уравнении функции Гамильтона (VII. 2) и выводят, уравнение Лиувилля, аналогичное (VII.9), для функции Грина Gr(i, г,,. .., t, р ) и ее резольвенты R[r ,. .., рд /г,,. ... р , z), которые можно рассматривать как операторы, действующие на функцию распределения DnH, Ги. .., r v, рь. ... Pn), заданную при I = О, и переводят ее в функцию распределения для момента времени Уравнения для функции Грина Gr и резольвенты R решают приближенными методами (методом итераций или методами теории возмущений), используя обычно Фурье-представление [38—42]. Из (VII. 21) выражение для функции D it, Ги. ... .., Грг, Ри. .., Pn) получают в виде ряда, интегрируя который по формулам (VII. 3) находят необходимые функции распределения D,(f, г, р), Dzit. г. г, р, р, )------ Ds(t, Ги rs. Pu. .., ps). [c.356]

Наиболее распространенным методом построения модели динамики линейного объекта с сосредоточенными координатами является нахождение весовой функции объекта по уравнению, связывающе ог ее с автокорреляционной/6и взаимно корреляционной функциями и по структуре аналогичному уравнению Винера-Хопфа, иди нахождение амплитудно-частотной характеристики объекта путем использования того же уравнения, преобразованного по Фурье. Вывод етого уравнения и методика его использования для >щентификацш линейных объектов приведены в "82 - [c.48]

А — оператор Ланлрса), в котором использован переход к фурье-образам с (к, t) функции А (г). Коэффициент Вд в уравнении (6.41) играет роль коэффициента диффу.тии. Именно последнее обстоятельство позволяет сделать вывод о том, что в уравнениях [c.74]

Уравнение (2. 172) справедливо только в том случае, если толщина диффузионного слоя б остается большой по сравнению с глубиной проникновения волны о б. При очень малых частотах это условие не выполняется. Для последнего случая Розбраг и Лэш Миллер дали более сложное по сравнению с (2. 172) выражение концентрации о(1, t), вывод которого, однако, возможен только с помощью разложения в ряд Фурье. [c.229]

Левич, Догонадзе и Чизмаджев рассмотрели в классическом и квантовомеханическом приближениях электрохимические и химические реакции переноса электрона. Ниже дано краткое изложение только теории химических реакций. В рассматриваемых реакциях предполагается, что углы и равновесные длины связей во внутренней координационной сфере не изменяются, а среда за пределами первой (внутренней) координационной сферы реагента рассматривается как непрерывный диэлектрик. Дается квантовомеханический расчет константы скорости в рамках теории возмущений при предположении, что перекрывание электронных орбиталей реагентов мало. Движение вектора поляризации рассматривается при помощи некоторого гамильто ниана. Было использовано уравнение Шредингера в одноэлектронном приближении, причем уравнение было записано в такой форме, чтобы электронная волновая функция была чувствительна к конфигурации ядер в области пересечения поверхностей потециальной энергии реагентов и продуктов. Используется преобразование Фурье для части гамильтониана, описывающего движение ядер. При выводе выражения для константы скорости реакции применяется квантовомеханическое рассмотрение атомной поляризации. [c.305]