Формулировка интегрального принципа

Формулировка интегрального принципа 218 [c.3]

Формулировка интегрального принципа [c.218]

Парциальные формы основного принципа процессов рассеяния можно получить из парциальных локальных форм (4.26) и (4.27) подобно тому, как универсальную форму принципа (А. 1) можно получить из универсальной локальной формы (4.28). Следовательно, можно дать альтернативные формулировки интегрального принципа термодинамики, а именно в представлении через потоки [c.273]

Представляется очень странным, что в то время как нелинейные уравнения переноса типа (Г.4) можно вывести как из универсальной формы интегрального принципа (А.1), так и из парциальной формы (Б.2), в квазилинейном случае дело обстоит иначе. Другими словами, универсальная и парциальная формулировки интегрального принципа в квазилинейном случае не эквивалентны. Действительно, легко убедиться, что квазилинейные уравнения переноса (В.3) нельзя получить из парциальных форм (Б.2) и (Б. 5), т. е, они не представляют вариационного принципа в нелинейном случае. Именно поэтому ранее при рассмотрении теплопроводности в твердых телах мы предпочли формулировку интегрального принципа в универсальной форме [91]. Теперь, обобщая наши предыдущие результаты, докажем в общем виде дополнительную теорему, которая обеспечивает справедливость универсальной формы в квазилинейных случаях. Коротко теорему можно сформулировать следующим образом В случае квазилинейных конститутивных уравнений вариация суммы потенциалов рассеяния по параметрам Гг равна нулю. [c.289]

Что касается вариационных принципов термодинамики и особенно изложенного в гл. VI интегрального принципа, то здесь положение существенно иное. Уже в 1968 г. стало ясно, что настоящим интегральным принципом термодинамики следует считать не парциальную форму, выведенную из представления через силы (6.1), а интегральную форму универсального принципа (4.72). Этот факт весьма важен по следующим причинам. Во-первых, универсальный интегральный принцип, называемый также направляющим принципом диссипативных процессов, указывает на существование абсолютного экстремума, в отличие от парциальной формулировки (6.1). Во-вторых, все известные до сих пор вариационные методы термодинамики (метод локального потенциала, метод Био и т. д.) получаются как частные случаи из универсального принципа при весьма сильных ограничениях. В-третьих, универсальный принцип остается верным в случае любой нелинейной термодинамической теории, если только существуют потенциалы рассеяния. Поэтому читателю, желающему более подробно [c.20]

В вариационной задаче (6.53) варьирование должно проводиться исключительно по параметрам Гг, градиенты которых определяют силы. Такой способ варьирования становится понятным, если принять во внимание, что интегральный принцип, записанный в форме (6.52) или (6.53), тесно связан с силовым представлением принципа наименьшего рассеяния энергии, так как он относится к тем параметрам, градиентами которых являются силы. При формулировке принципа наименьшего рассеяния энергии в представлении через силы [см. [c.220]

Справедливость интегрального принципа, если снять упомянутые ограничения, распространяется также на случай свободных граничных условий . В этом легко убедиться, например, с помощью формулировки (6.120), в которую входит также поверхностный член. [c.241]

Следовательно, в случае функциональной формулировки для диссипативных непрерывных систем справедлив интегральный принцип, относящийся к экстремуму временного интеграла. Подход Войты позволяет [c.242]

Чтобы глубже понять различие между интегральным принципом термодинамики и принципом Гамильтона, воспользуемся формулировкой, применяемой в механике точки. В механике точки входящая в интеграл действия [c.247]

В основе только что рассмотренных теорем лежит теорема (Д. 9), относящаяся к вариации суммы потенциалов рассеяния по параметрам Г,. Соответственно (Д. 9) представляет собой дополнительную теорему, которая обеспечивает справедливость в квазилинейном случае интегрального принципа, записанного в универсальной форме (А. 1) или (А. 18). Иначе говоря, справедливость основного принципа процессов рассеяния доказана также для случая, когда проводимости и сопротивления зависят от полевых величин Гг(г, t). Таким образом, формулировки универсального типа представляют собой и в общем случае точный вариационный [c.291]

Математическая формулировка решения задачи синтеза ХТС с применением интегрально-гипотетического принципа имеет следующий вид. Необходимо определить [c.170]

Интегрально-гипотетический принцип синтеза ХТС. Математическая формулировка алгоритма основана на понятии коэффициентов разделения, которые используются при расчете процессов разделения. У каждого объекта химической технологии, моделирующий блок которого входит в библиотеку, выделяются входные и выходные потоки, которые соответствуют входным и выходным материальным потокам (рис. 11.3). Каждому входному потоку ставится в соответствие смеситель, а каждому выходному — разделитель. Имеются также подсистемы входа в ХТС, которые имеют только выходные потоки, а также подсистемы выхода, которые обладают только входными потоками. [c.602]

В простейших случаях принцип Ле Шателье просто эквивалентен условиям стабильности. Как чисто качественную формулировку его часто применяют в химии. Однако он может привести к неправильным заключениям, причина которых кроется в неточной формулировке. Так, высказывание Экзотермическое растворение вызывает уменьшение растворимости с повышением температуры , может быть неправильным. Температурная зависимость растворимости определяется именно условием стабильности (41.35), но не интегральной теплотой растворения, а дифференциальной [c.216]

До сих пор мы не столько проводили абстрактные рассуждения, сколько вводили удобные обозначения. Но когда необходимые величины введены, а их физический смысл понят, начинается самое интересное. Чтобы продвинуться дальше, надо сделать еще один шаг, на первый взгляд только усложняющий всю картину. Будем считать, что Сс = Ке2 , где 2 — комплексная переменная. Таким образом, обобщенная восприимчивость превратилась в комплексную функцию комплексной переменной. После прочтения гл. 8 математической части Вас не должно удивить, что а г) — аналитическая функция. Более того, если принять во внимание принцип причинности в его наиболее естественной формулировке ( будущее не влияет на прошлое ), то в зависимость B t), выраженную в виде функционала от А, должны входить значения А в моменты времени, предшествующие моменту t или совпадающие с ним. Тогда выясняется, что аналитическая функция а г) обладает следующим свойством в верхней полуплоскости (1т 2 > 0) она не имеет особенностей. Из этого математического результата выводятся неожиданные следствия действительная и мнимая части функции а ш) = Ке а + г 1т а связаны между собой интегральными соотношениями. Обратите внимание на то, что обе функции (Не о и 1т ск) — функции настоящей частоты. [c.235]

В гл. VI из вариационного принципа наименьшего рассеяния энергии, представленного через силы, выводится уравнение Фурье для тенлонроводностн (во всех возможных видах), полная система уравнений Фика для многокомпонентной изотермической диффузии и обобщенное уравнение Навье — Стокса для вязких течений. Вывод этих уравнений из нового, силового , представления принципа наименьшего рассеяния энергии доказывает, что такое представление является более полезным, нежели первоначальное. Кроме того, опираясь на это новое представление, мы имеем возможность сформулировать новый интегральный принцип термодинамики. После общей формулировки интегрального принципа и введения функции Лагранжа для термодинамики показано, что уравнения Эйлера — Лагранжа, относящиеся к интегральному принципу, эквивалентны полной системе уравнений переноса. Как непосредственная иллюстрация применения интегрального принципа проводится вывод уравнений переноса, описывающих различные неизотермические явления с учетом перекрестных эффектов. Обсуждается связь между интегральным принципом термодинамики и принципом Гамильтона для полей. Наконец, после вывода канонических полевых уравнений, соответствующих интегральному принципу термодинамики, рассматривается преобразование Лежандра диссипативных плотностей лагранжиана и гамильтониана и приводится каноническая форма интеграла рассеяния. [c.28]

Принцип наименьшего рассеяния энергии сначала будет сформулирован в локальной форме [55—57]. Такой метод соответствует духу теории поля, и мы увидим, что с помощью вариационного принципа наименьшего рассеяния энергии можно получить всю иеравиовесиую термодинамику. Прежде всего рассмотрим выражение принципа через потоки, которое, как уже отмечалось, было предложено Онсагером для нелокальных конкретных случаев. Необходимо подчеркнуть, что Онсагер [27, 51] не дал локальной формы варнациоиных принципов даже для частных случаев. Формулировкой интегрального принципа мы займемся позднее, после того как дадим описание всех локальных представлений. [c.149]

В соответствии с общей формулировкой интегрального принципа (6.5 ) — (6.54) плотности лагранжиана [c.231]

С 1965 г. до настоящего времени исследования, целью которых была формулировка интегрального принципа термодинамики в парциальной форме (Б.5) и (Б. 17), развивались различными путями. Одно направление исследований было определено в нашей работе [55, 56] здесь удалось, начав с детального анализа принципа Онсагера и произведя вывод уравнений переноса, получить формулировку (Б. 5) [56—58, 60, 64—66, 78—81, 83—85, 91, 98]. Второй путь, также в 1965 г., наметили Пригожин и Глансдорф [76], которые воспользовались методом локальных потенциалов , ранее применявшимся только для решения задач, не содержащих зависимости от времени [69, 75], и распространили его на задачи, где такая зависимость существует. Этот метод использовали и другие авторы [93, 94]. Выше он был изложен в самом общем виде, когда мы, исходя из дифференциальных урав- [c.280]

До сих пор мы исследовали локальные формы принципа наименьшего рассеяния энергии, которые на самом деле являются дифференциальными принципами. Это особенно ясно видно из гауссовой формы, так как принцип наименьшего принуждения Гаусса можно рассматривать как прототип дифференциальных принципов [49, 63]. Теперь, очевидно, необходимо установить справедливость локального принципа в интегральной форме, применимой для всего континуума это было сделано Онсагером [27, 51] для случая адиабатически изолированной не непрерывной системы и анизотропной теплопроводности с помощью представления через потоки. Общая формулировка глобального (или интегрального) принципа с помощью одновременного представления че-зез потоки и силы была получена недавно (Дьярмати 55, 56]). В дальнейшем приводится интегральная форма принципа, соответствующая обоим локальным представлениям. [c.165]

Сказанное необходимо несколько дополнить в свете результатов, полученных в последнее время Войтой [82, 84]. Войта показал, что предложенную Онсагером первоначальную формулировку принципа наименьшего рассеяния энергии в представлении через потоки, т.е. (4.86) или даже (4.90), можно применить и к непрерывным системам, если воспользоваться функциональным формализмом. В методе Войты для глобального функционала ОМ справедлив интегральный принцип, подобный [c.242]

Чтобы исследовать соотношение мел ду интегральным принципом и теоретико-полевой формой принципа Гамильтона, следует учесть, что полевые величины Ггir,t), рассматриваемые как обобщенные координаты, образуют континуум, подобный /-мерному абстрактному пространству, если количество независимых параметров Гг равно /. Поэтому предположим, что плотность лагранжиана 5" (как и в формулировке принципа Гамильтона) зависит от пространственных координат Г,, от их градиентов УГ , от производных по времени Г , а, кроме того, возможно, явно зависит и от времени /. Следовательно, для плотности лагранжиана имеем [c.244]

Верхаш [65, 79] первым смог вывести уравнение Навье — Стокса, включающее конвективное механическое движение, из парциальной формы (Б.2), т. е. из (Б.5). Несколько позже Бэрэцз [80] получил из (Б.2) обобщенное уравнение Навье — Стокса и, более того, полную систему уравнений переноса для однокомионент-ной термогидродинамической системы. Вообще говоря, хорошо известные формы линейных уравнений переноса (с постоянными коэффициентами проводимости) можно получить из частной формы интегрального принципа (Б. 10) или из более общих его форм (Б.1) и (Б. 5) [I, 98]. Отсюда и из последующих рассуждений с очевидностью следует, что в случае линейных конститутивных уравнений формулировка универсального принципа (А. 1) [или (А. 19)] эквивалентна парциальным формам (Б.2) или (Б. 5). Различие заключается лишь в том, что в первом случае ограничения, выражаемые уравнениями баланса, следует использовать в общей форме (А.7), а во втором случае — в частной форме (Б. 6). [c.276]

Записанные соотношения представляют собой математическую формулировку принципа Больцмана и называются интегральными уравнениями Больцмана — Вольтерры, поскольку теорию таких уравнений разрабатывал В. Вольтерра. Первое из них определяет напряжения в момент времени I как функцию всех предшествующих изменений деформации, второе — деформацию в зависимости от предыстории изменений напряжения. Можно, конечно, рассматривать их и наоборот, полагая, что при заданной функции а () первое свотношение представляет собой уравнение для определения неизвестной функции V ( )> а второе — уравнение для определения ст () при известной функции у 1). Такое рассмотрение позволяет связать между собой функции ф (() и ор (<), как это будет показано несколько ниже. [c.80]

Второй возможный подход к формулировке и решению обратной задачи заключается в том, что исходный генератор сначала описывают системой интегральных характеристик, не налагая на его структуру каких-либо жестких ограничений (в частности, не прибегая к его дискретизации). Эти характеристики таковы, что для них может быть получено устойчивое решение обратной задачи, хотя оно и не является однозначным в силу неизбежной физической неоднозначности определения генератора по измеренному полю. Однако эти характеристики содержат всю информацию о генераторе, которая в принципе может быть извлечена из его электрического и магнитного полей (при заданной точности иэмерения). Интегральные характеристики в зависимости от конкретных условий можно либо непосредственно использовать для оценки свойств генератора, либо по ним можно определять характеристики эквивалентного генератора, структура которого выбрана из условий содержательного описания изучаемого биоэлектрического процесса, а параметры однозначно определяются интегральными характеристиками (такой эквивалентный генератор может быть как дискретным, так и непрерывно распределенным). Таким образом, в этом втором подходе в отличие от первого сначала обеспечивается устойчивость решения обратной задачи (определение устойчивых интегральных характеристик), а затем устраняется физическая неоднозначность решения (путем задания структуры эквивалентного генератора и определения его параметров по интегральным характеристикам). Преимуществом данного подхода является универсальность, свобода выбора структуры эквивалентного генератора, удобство совместного анализа электрического и магнитного полей с сохранением присущей им информации о генераторе недостаток его -некоторая усложненность математического анализа обратной задачи. [c.266]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология