Действительные и комплексные волновые функции

Кроме того, можно использовать и действительные тригонометрические волновые функции, которые представляют собой линейные комбинации комплексных орбиталей. Они выражаются как [c.71]

Первая из них является действительной, а вторая — чисто мнимой. Структура волновой функции не меняется при умножении на любое алгебраическое число, поэтому можно умножить вторую функцию на i и получить эквивалентную волновую функцию, которая будет действительной. Таким образом можно заменить исходные пары комплексных волновых функций на эквивалентные пары действительных волновых функций. [c.47]

ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ И КОМПЛЕКСНЫЕ ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ [c.48]

Как видно из уравнения (4.78), все эти орбитали, за исключением а-МО, описываются комплексными волновыми функциями в таком случае из разд. 2.2 следует, что они должны появляться вырожденными парами две орбитали с квантовыми числами т и —т обладают одинаковой энергией. Так же, как в случае атомов (разд. 2.2), можно заменить эти пары вырожденных МО эквивалентными парами действительных комбинаций фр и i)3j вида [c.169]

Из выражения (3.24) видно, что комплексные функции нумеруются параметром т. В соответствии с выражением (3.25) и тем обстоятельством, что действительная форма волновых функций включает только синусы или косинусы аргументов, кратных ф, параметр т, так же как и I, должен быть целочисленным. Эти целые числа называют квантовыми числами. На основе их взаимосвязи с аналогичными величинами в боровской теории атома I называют азимутальным, а т — магнитным квантовыми числами. Указанные квантовые числа записывают в качестве индексов угловой части атомных волновых функций [c.35]

Все числители в (11.26) положительны и равны H mnf для действительных волновых функций или Н тп Р для комплексных волновых функций. Отсюда заключаем, что состояния Ч , находящиеся по энергии выше, чем Wm, дают отрицательный вклад в энергию второго порядка, а состояния, более низкие по энергии,, — положительный вклад. Выше уже были получены выражения такого типа для случая только двух взаимодействующих состояний —(6.69) и (6.70). Видно, что эти выражения согласуются с более общими формулами теории возмущений (11.16) и (11.26). [c.242]

Математические трудности решения дифференциального уравнения усугубляются сложностью в толковании физического смысла получаемой волновой функции. Длительная полемика, в- которой принимали участие многие видные физики, привела к следующему выводу. Волновая функция формально является трехмерным аналогом амплитуды плоской волны. Физический смысл имеет произведение = I i , которое пропорционально вероятности нахождения электрона в данной точке пространства. Вероятность всегда является действительной величиной, даже если сама функция комплексна (я] означает функцию, комплексно сопряженную с ijj). Если волновая функция действительна, то 1 1 просто равно [c.163]

Комплексно-сопряженная форма здесь может быть отброшена, так как и q, и действительные величины. Если и нормированные волновые функции, то [c.148]

Рис. 39. Схематическое изображение электронных волновых функций в кристалле [2] а — потенциал вдоль цепочки атомов б — пример собственной функции (сама функция комплексна здесь показана только ее действительная часть) эту функцию можно представить в виде произведений функции Блоха Ь, имеющей периодичность решетки и плоской волны г (здесь показана действительная часть последней)

Мы рассматриваем только действительные волновые функции, поэтому берется ква фат волновой функции, а не ква фат ее модуля, что требуется, если функция комплексная [c.35]

Численные значения волновой функции, вообще говоря, комплексные числа, однако во многих случаях ее можно выбрать действительной. [c.236]

Поэтому с должна быть комплексным (либо чисто действительным, либо чисто мнимым) числом, абсолютная величина которого равна единице. Если бы мы нашли какой-то способ определения значений с, соответствующих различным операциям симметрии, то он позволил бы наложить некоторые ограничения на функции ЛКАО (или функции любого иного типа, подбираемые в качестве волновых функций). Это помогло бы уменьшить число независимых варьируемых коэффициентов в искомых волновых функциях и, следовательно, размерность детерминанта секулярного уравнения, которое приходится решать. [c.265]

Квазистационарные состояния можно рассматривать и с другой, более формальной, точки зрения как состояния с комплексной энергией. Действительно, волновая функция квазистационар-ного состояния со временем жизни Т = й/е должна иметь вид [c.460]

Действительные й комплексные формы волновых функций орбитального момента [c.282]

Указаны действительные волновые функции Ру. и соответствующие этим состояниям. Для расчетных целей целесообразнее использовать комплексные функции +1 > я 1—I [c.290]

Прд I = 1 (р-состояния) т = О, 1, т. е. имеется всего три функции (П. 2), две из которых (при /п = 1 и т — —1) комплексны. Поскольку в этом случае значения энергии всех трех состояний одинаковы (случай трехкратного вырождения) в качестве волновых функций /7-состояний можно взять любые три комбинации функций (П. 1). В частности, удобно их выбрать так, чтобы они были действительными (табл. П. 1, рис. П. 1,6). [c.22]

В табл. V.l, V.2 и V.3 приведены выражения для всех трех составляющих водородоподобных волновых функций при всех тех значениях квантовых чисел, которые соответствуют основным состояниям атомов. Выражения для Ф , (ф) даны как в комплексной, так и в действительной форме. [c.782]

Это общепринятый метод. Перечитайте гл. 3 физической части книги. Волновая функция комплексна, оператор импульса содержит мнимую единицу. Но ответы (значения физических величин и соответствующие им вероятности), конечно, являются действительными числами. [c.234]

В некоторых случаях волновая функция 6 может включать член, содержащий мнимую величину г, квадратный корень из минус единицы, т. е. 1 = ]/ — 1. Значение может быть тогда либо действительным, либо мнимым, в зависимости от самого выражения для Л. Так как вероятность нахождения материальной частицы в данной точке пространства должна всегда выражаться действительной величиной, то она дается произведением Оф , которое иногда пишется в виде ф , где 6 яв чяется комплексно сопряженной функцией Ф. Это произведение всегда пред- [c.36]

Теорема 2.1. Решение любого уравнения Шредингера приводит к волновым функциям, которые либо являются действительными, либо появляются в виде вырожденных пар комплексно сопряженных функций. [c.48]

Волновые функции ф, представляющие собой решения волнового уравнения, связаны с распределением вероятности нахождения электрона. Однако, в то время как функция вероятности может быть только действительной и положительной, г обычно является комплексной функцией (т. е. включает и действительную и мнимую части) и может быть отрицательной. Предполагается, что распределение вероятности нахождения электрона передается не самой т] , а произведением этой величины и комплексно-сопряженной функции. Последняя представляет собой такую же математическую функцию, но в ней каждое I заменено —Таким образом, вероятность Р нахождения электрона в элементарном объеме йх определяется выражением [c.17]

При рассмотрении матричных элементов можно использовать два эквивалентных подхода, а именно включающий декартовы операторы и действительные атомные волновые функции, и другой,.-включающий лестничные операторы и комплексные атомные волновые функции. Мы воспользуемся первым подходом, поскольку он ближе химЖу-орг мкуГ В дёкар1 ом 11р( раскрывается, как это показывает уравнение (18.9), где компоненты 1 действуют лишь на орбитальные части, а компоненты 8 — лишь на спиновые части волновых функций. Действие операторов з на спиновые волновые функции и действие операторов [c.263]

В гл. 3 подразумевалось, хотя и не было сказано явно, что имеется определенная свобода в задании волновых функций вырожденных состояний. Были описаны два вида волновых функций атомных орбиталей (за исключением 5-орбиталей) действительная [см., например, уравнения (3.13) — (3.15)] и комплексная [см., например, уравнение (3.26)]. Эти две формы связаны преобразованием (3.25). Такую ситуацию можно пояснить следующим образом. Предположим, имеются два решения уравнения Шрёдингера (2.27) [c.148]

Все числители в (11.26) положительны и равны HmnY ДЛя действительных волновых функций ши ИтпР для комплексных [c.242]

Как видим, при переходе к уравнению Шрёдингера кое-что сохраняется и от классических представлений, но появляется нечто существенно новое Это прежде всего величины Е (всегда действительные числа) и в особенности волновая функция V То, что V может быть и комплексной, уже подразумевает, что ни одному материальному обьекту она, в принципе, сопоставлена быть не может Это означает, что вообще нельзя поставить никакого эксперимента, в котором волновая функция наблюдалась бы непосредственно Бессмысленно и обсуждать вопрос о том, что же именно колеблется в абстрактном математическом мире [c.102]

При наличии в системе трехкратной или более высокой вращательной оси симметрии соответствующая точечная группа имеет вырожденные представления, и возникает обусловленное симметрией вырождение у некоторых волновых функций и соответствующих энергетических уровней системы. С этими обусловленными симметрией случаями вырождения мы сталкивались на примерах бензола, салш-триазина и порфина. До сих пор мы ограничивались тем, что выписывали только одну действительную компоненту вырожденных функций. Использования этой компоненты оказывается достаточно для получения энергий. Однако если необходимо получить плотности заряда, порядки связей или матрицу плотности, то требуется использовать обе компоненты. Более того, при наличии в системе частично заполненных вырожденных уровней может потребоваться представление волновой функции в комплексной форме. [c.309]

Шрёдингеровская волновая функция — величина, которая определенным образом характеризует состояние частиц. Решить волновое уравнение — означает найти зависимость этой величины от пространственных координат частицы (а также от времени). Положение электрона определяется при помощи функции вероятности, которая является функцией координат, обозначается p x,y,z) и имеет смысл плотности вероятности. Чем больше ее значение, тем выше вероятность нахождения электрона в данной области пространства. Оказывается, что плотность вероятности может быть выражена через волновую функцию Ч ". Физический смысл волновой функции (при условии, что она действительна) заключается в том, что ее квадрат определяет плотность вероятности нахождения частицы в соответствующем месте пространства и позволяет рассчитать ее динамические характеристики. В общем случае волновая функция может быть комплексной, и тогда плотность вероятности задается не квадратом волновой функции, а величиной Удобно выбрать такую нормировку волновой функции, чтобы выполнялось соотношение p x,y,z) = W x, у, z)W x, у, z). В этом случае вероятность того, что данная частица находится в элементе объема dx dx = dxdydz), центр которого имеет координаты х, у, z, определяется выражением T Wt. Суммируя все возможные вклады в плотность вероятности, т. е. интегрируя по всему пространству, мы должны получить единицу. Это отвечает достоверности того факта, что частица находится где-либо в пространстве. Волновая функция имеет физический смысл только в том случае, если она является непрерывной, однозначной и конечной. [c.15]

Если ф и ар вырождены, их можно заменить на любую лийей-ную комбинацию по нашему усмотрению. Тогда комбинация ф гр является либо действительной, либо чисто мнимой функцией [ср. (2.32) и (2.33)], а любая чисто мнимая функция может быть преобразована в действительную умножением на алгебраическое число I Поэтому можно заменить комплексные функции 1р и 1р на две эквивалентные функции, которые уже будут действительными. Отсюда следует, что собственные функции гамильтониана действительны или могут быть эквивалентно представлены в действительной форме. При рассмотрении только таких свойств системы, которые определяются гамильтонианом Н, а не такими операторами, как и М —а это будет справедливо почти для всех задач в этой книге, — можно без потери обшности считать все. волновые функции действительными. Такое упрощение оказывается полезным и при его введении мы ничего не потеряем, поэтому в дальнейшем изложении мы будем рассматривать только действительные функции. [c.49]

Как уже отмечалось, волновые функции всех -орбиталей сферически симметричны, т. е. не зависят от величин углов 0 и ф. Однако для орбиталей с п = 2 и 1—1 существуют три угловые-функции. Это орбитали 2ро, 2р+1 и 2р 1, где нижний индекс означает возможные зна 1ения квантового числа т при 1=1. Аналогично, для З -орбиталей существует пять угловых функций, соответствующих пяти значениям квантового числа т при / = 2. Математические выражения для этих решений волнового уравнения содержат комплексные функции, которые не легко представить в графическом виде. Поэтому химики предпочитают подбирать линейные комбинации этих функций (также являющиеся допустимыми решениями волновогТ) уравнения), чтобы получить. действительные решения, которые могут быть представлены в виде полярных диаграмм. Этим действительным функциям уже нельзя приписать определенное значение т, но по-прежнему для данного главного квантового числа п всегда должны существовать три р-орбитали и пять -орбиталей. Напомним, что для р-орбиталей п должно быть равно по меньшей мере двум, а для -орбиталей — трем. [c.42]

Для понимания стереохимических закономерностей наибольший интерес представляет угловая зависимость волновой функции. При данном главном квантовом числе п одна из р-функций является действительной и не зависит от долготного угла ф. Например, г 521о симметрична относительно оси z. Это справедливо в общем случае для любой функции, соответствующей магнитному квантовому числу т = 0. Однако другие р-функции с /п = 1 зависят от ф и, кроме того, являются комплексными (т. е. включают как действительные, так и мнимые части). Обычно эти комплексные функции заменяют другими р-функциями, которые представляют собой линейные комбинации комплексных функций. Так, для того чтобы отразить зависимость от ф в этих новых действительных р-функциях, мы можем, используя соотношения [c.19]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология