Функция волновая Волновая функция

Рассмотрим теперь волновую функцию атома гелия. В соответствии с принципом заполнения здесь имеются два электрона с противоположно направленными спинами, находящиеся на атомной 15-орбитали. Обозначая координаты двух электронов индексами 1 и 2, запишем полную волновую функцию для рас-сматриваемого случая [c.163]

Усреднение, как и всякое усреднение в квантовой механике, выполняется при помощи волновых функций электронов. В нулевом приближении X — водородоподобные функции. После первого усреднения х уже отличаются от них. Снова выполняют усреднение, используя теперь Хм и получают новое решение с функциями хь и так до тех пор, пока результаты предыдущей и последующей стадий не совпадут. Эта процедура поиска лучшей функции X называется само-согласованием. Самосогласованная волновая функция атома в методе Хартри представляет собой произведение самосогласованных одноэлектронных волновых функций — атомных орбиталей Хартри. Поэтому и приближение Хартри —Фока называют орбитальным или одноэлектронным приближением. С учетом спина волновая функция принимает вид определителя (см. 5). [c.35]

Мы определили волновую функцию иона молекулы водорода, исходя из соображений симметрии. Рассмотрим более общий метод определения волновых функций и энергий атомных систем в так называемом нулевом приближении теории возмущений. Эта. теория применяется для определения изменения функций и энергий под влиянием какого-либо малого возмущающего фактора. Уравнение Шредингера (ХХ.8) может быть переписано следующим образом [c.470]

Электронные облака з-электронов второй, третьей и последующих оболочек обладают, как и в случае 1в-электронов, сферической симметрией, т. е. характеризуются шарообразной формой. Однако здесь волновая функция при увеличении расстояния от ядра меняется более сложным образом. Как показывает рис. 2.12, зависимость фот г для 2в- и Зз-электронов не является монотонной, на разных расстояниях от ядра волновая функция имеет различный знак, а на соответствующих кривых есть узловые точки (или узлы), в которых значение волновой функции равно нулю. В случае 2з-электрона имеется один узел, в случае Зв-электрона — 2 узла и т. д. В соответствии с этим, структура электронного облака здесь также сложнее, чем у 1з-электрона. На рис. 2.13 в качестве примера схематически изображено электронное облако 28-э.лектрона. [c.55]

Другим не менее важным свойством электронов как микрочастиц является их принципиальная неразличимость. Отсюда следует, что обмен электронов не вызовет изменений в системе, что эквивалентно постоянству I г ) Р при обмене их пространственными и спиновыми координатами. Такое требование накладывает ограничение на волновую функцию, которая должна оставаться неизменной или менять только знак при обмене координатами двух электронов. Другими словами, волновая функция должна быть симметричной или антисимметричной по отношению к обмену координатами. Найдено, что только антисимметричные функции правильно описывают поведение электронов, поэтому более общей формой принципа Паули является требование антисимметричности полной волновой функции при обмене электронами. [c.170]

Приближение Борна — Оппенгеймера позволяет использовать для расчета электронной волновой функции гамильтониан типа (4.4), который может быть введен в вариационный интеграл (1.48). Следующий вопрос, который необходимо рассмотреть, связан с выяснением того, какие идеи следует положить в основу поиска формы волновой функции и по какому принципу она может быть построена. [c.89]

Для ряда целей бывает удобно пользоваться графическим изображением волновых функций. Их можно представить в виде системы контуров, соответствующих определенным значениям волновой функции. В качестве примера на рис. 10 представлены контуры 5- и рг-орбиталей. Другой более широко употребляемый способ изображения волновых функций —это поляр- [c.41]

Физическое объяснение волновой функции. Квантово-механическая модель атома. Волновая функция F была определена как амплитуда фазовой волны. Понятие о фазовой волне формально и применение его оправдывается только тем, что связанные с ним выводы квантовой механики не противоречат опыту. Казалось бы, таким же формальным и не имеющим физического смысла должно быть и понятие об амплитуде фазовой волны Т. Однако специальный анализ, сделанный М. Борном, показал, что квадрат волновой функции F выражает вероятность местонахождения электрона в определенной точке пространства. Соответственно этому произведение 4f dv означает вероятность нахождения электрона, в элементарном объеме dv. [c.10]

Вид волновой функции у ол= Х (1)Х2(2)... допускает как вероятность нахождения первого электрона в точке (х, у, г), так и вероятность нахождения там одновременно и второго, третьего. .. и других электронов, > то невозможно. Функция не учитывает стремление электронов избегать друг друга, т. е. эффекта корреляции. [c.89]

Если с помощью этих функций построить антисимметризованное произведение вида (1,5), будет ли полученная функция точной волновой функцией рассчитываемой системы электронов — Да (с. 129), Нет (с. 167). [c.23]

В области д >0 Т описывается тем же волновым уравнением, что и обычный гармонический осциллятор. Однако приемлемы только решения, которые обращаются в нуль в начале координат (граничное условие). Следовательно, собственными значениями энергии для обычного осциллятора являются те значения, которые соответствуют нечетным волновым функциям. Четность волновых функций простого осциллятора чередуется по мере увеличения квантового числа V начиная с четного основного [c.107]

Интерпретация величины a 5 i ) как плотности вероятности и, в частности, вытекающее отсюда условие (VII.3) налагают определенные ограничения на функцию Требования состоят в следующем функция должна быть однозначна, конечна и непрерывна. Математическая задача нахождения возможных состояний системы с заданной энергией Е [возможных зависимостей я (i/)] сводится к решению дифференциального уравнения (VII.7) при заданном значении Е, причем требуется найти такие решения, которые удовлетворяют условиям однозначности, конечности и непрерывности. Из математической теории уравнений типа (VII.7) известно, что функция al), удовлетворяющая названным условиям, в случае если система заключена в конечном объеме, может быть найдена только для определенных дискретных значений Е. Эти значения энергии носят название собственных значений оператора Гамильтона. Совокупность всех возможных значений fi, 2, называют энергетическим спектром системы. Функции т] г (q), удовлетворяющие уравнению (VII.7), называют собственными функциями. Задание волновой функции q) есть определение квантовомеханического состояния системы энергия системы в заданном квантовом состоянии фиксирована. [c.150]

Во-вторых, все электронные состояния в металле подразделяются на состояния зоны проводимости (почти свободные электроны) и состояния внутренних электронных оболочек атомов. Число электронов проводимости на атом металла нередко равно номеру группы периодической системы, в которой находится рассматриваемый элемент. Это валентные электроны. Волновые функции невалентных электронов (электронов внутренних оболочек) сильно локализованы около атомных ядер. Эти волновые функции не перекрываются и, следовательно, взаимодействие между ионами металла в решетке сводится к отталкиванию их положительных зарядов. Влияние электронов проводимости и соседних ионов на волновые функции невалентных электронов не учитывается. Таким образом, считается, что волновые функции оболочек ионов такие же, как у изолированных ионов, хотя собственные энергии, соответствуюш,ие этим волновым функциям, в решетке отличаются от собственных энергий изолированных ионов. [c.168]

Обратим внимание на одно замечательное свойство этих функций. В триплетных состояниях с проекцией суммарного спина +1 и -1 волновая функция двух спинов представляет собой произведение волновых функций партнеров пары. Но вот в синглетном состоянии 8 с волновой функцией и триплетном состоянии Т с нулевой проекцией суммарного спина с волновой функцией волновую функцию двух спинов никак нельзя представить в виде произведения функций двух спинов. Этот факт отражает наличие корреляции в состояниях двух электронов. [c.22]

Как говорилось ранее, волновые функции которые имеют физический смысл (однозначные, непрерывные и имеющие интегрируемый квадрат модуля), существуют в этих уравнениях только для определенных значений Е. Эти значения Е называют собственными значениями, а соответствующие волновые функции — собственными функциями. Собственные значения представляют собой стационарные энергетические состояния рассматриваемой системы. [c.374]

Из выражения (11.20) видно, что вклад любой базисной функции в волновую функцию первого порядка зависит от двух факторов. Первый фактор — величина интеграла взаимодействия [c.241]

Использование мультипликативных функций можно пояснить следующим образом. Гамильтонианы индивидуальных ядер могут быть записаны как <Жа и <Жв соответственно. Так что для системы из двух ядер = Ж а +<Жв для энергии имеем Е = = E Ев. Возьмем теперь мультипликативную функцию фи такую, чтобы левая часть уравнения Шредингера оказалась равной <Жа(А)а(В) = <Жда(А)а(В) + <Жва(А)а(В). Поскольку взаимодействия между ядрами отсутствуют, то мы можем рассматривать волновую функцию а(В) как константу по отношению к операции <ЖАа(А)а(В). Поступая аналогично с операцией 5 ва(А)а(В), находим, что <Жда(А) = да(А) и <3 в (В) = = ва(В) [c.149]

Оператор должен иметь функцию, на которую он действует. В квантовой механике такой функцией является волновая функция. Действие оператора Гамильтона Ш на волновую функцию системы дает энергию системы Е [c.374]

Терм основного состояния, как и термы возбужденных состояний, являются наиболее общей характеристикой структуры волновой функции, однодетерминантная же функция есть только приближение к точной волновой функции. При задании терма основного состояния ранее использовались идеи одноэлектронного приближения. Когда терм можно считать заданным, имеется возможность дальнейшего уточнения структуры волновой функции путем отказа от исходного одноконфигурацион- [c.214]

В случае свободного атома водорода волновые функции известны точно. Тем не менее для улучшения качества МО следует ввести ряд дополнительных функций с точкой центрирования на протоне. Известным обоснованием тому являются следующие соображения. Локальное поле, в котором движется электрон вблизи какого-либо из ядер в молекуле, не обладает сферической симметрией. Из этого потенциала можно выделить главную, сферически-симметричную часть и дополнительное слагаемое, присутствие которого вызывает деформацию (поляризацию) волновых функций, вычисленных для сферически<имметричного потенциала. формация волновых функций атома лития при образовании химической связи уже была учтена ранее при введении 2ро-функции. Аналогичным же образом можно добавить 2ра-поляризующую функцию и на атоме водорода. Добавление поляризующих функций на одном центре сопровождается, как правило, в практике расчета изменением числа базисных функций на другом центре. В примере молекулы LiH введения 2р(Н)-функций целесообразно сочетать с добавлением Зс -функций, центрированных на атоме Li. Проблема нахождения сбалансированного базиса представляет самостоятельную задачу. [c.223]

Таким образом, одному и тому же значению энергии соответствуют две волновые функции 113(1,2) и 113(2, 1), поэтому эти состояния являются вырожденными, иначе говоря, наблюдается сбменное вырождение. В действительности никакого обмена не происходит, поскольку нельзя различить, имеет ли лунный электрон волновую функцию фа или фб. Поэтому все электроны неразличимы, и функции ф(1, 2) и г1з(2, 1) не совсем точно отражают состояние двухэлектронной системы. Более удачно приближение, согласно которому, если волновые функции относятся к системам с одной и той же энергией, решение уравнения Шрёдингера можно представить в виде так называемой линейной комбинации волновых функций [c.82]

Результаты расчета энергии электронов в молек-уле Нг представлены на рис. 1.31. Кривые 2 и 3 соответствуют выражениям (1.49) и (1.50), причем кривая, полученная с помощью симметричной волновой функции, имеет вид, хлрактерный, у1я устойчивой молекулы, - она показывает образование химической связи. Вычисленные по методу Гейтлера и Лондона равновесное расстояние между атомами водорода гц составляет 86,9 пм, а энергия молекулы о-3,14 эВ. Наиболее точный эксперимент (спектроскопия) дает Го-74,142 пм и Ео-4,1505 эВ. Принимая во внимание весьма приближенный характер использованной волновой функции для молекулы, составленной из неизменных волновых функций атомов и не учитывающей в явном виде взаимного отталкивания электронов, такое совпадение можно считать вполне удовлетворительным. [c.84]

Как можно физически истолковать симметричную и антисимметричную функции Вспомним принцип Паули. Согласно этому принципу в атомной или молекулярной системе не может быть двух электронов, у которых все четыре квантовых числа были бы одинаковыми (см. стр.47). Квантовые числа определяют вид волновой функции, характеризующей состояние электрона. Поскольку при перестановке электронов симметричная функция не изменяется, то может показаться, что эти электроны находятся в одном и том же состоянии, а это противоречит принципу Паулн. Однако волновые функции атома водорода (111.48), из которых составлена функция (III.51), не учитывают спин электрона. Поэтому электроны в молекуле, состояние которых выражается симметричной г15-ф ункцией, должны иметь различные спино- [c.152]

Было предположено, что квадрат волновой функции является мерой вероятности распределения электрона. Ранее было показано, что волновая функция состоит из двух частей угловой части, обозначаемой К, и радиальной части — (г). В дальнейшем будет показано, что радиальная часть волновой функции дает распределение электрона вдоль расстояния от ядра, тогда как угловая часть будет оп]зеделять геометрическую форму различных энергетических состояний. [c.73]

Следует, указать на два обстоятельства, позволяющие применять для ориентировки правило сохранения орбитальной симметрии. Во-первых, точные волновые функции неизвестны, и приходится использовать вместо них приближенные функции МО ЛКАО. Однако последние правильно отражают наиболее важное здесь свойство точных волновых функций — их симметрию. Во-вторых, для ориентировочных оценок можно в волновой функции (217.1) вместо бесконечной суммы возбужденных состояний ограничиться лишь первым из них, вклад которого наиболее существен. Таким образом, при качественных оценках можно исходить из волновых функций основного и первого возбужденного состояний реагирующей системы. Чтобы энергетический барьер реакции был невысок, первое возбужденное состояние системы должно иметь ту же симметрию, что и основное, н не очень сильно, отличаться от него по энергии. Возбуждение молекулы из основного в первое возбуаденное состояние представляет собой переход электрона с высшей занятой молекулярной орбитали (ВЗМО) на низшую свободную молекулярную орбиталь (НСМО). Поэтому симметрия и разность энергий именно этих двух орбиталей, НСМО и ВЗМО, играют первостепенную роль при качественных оценках возможности протекания реакции через то или иное переходное состояние. ВЗМО и НСМО должны в благоприятном случае иметь одинаковую си (метрию и мало отличаться по энергии. На это впервые указал в 1952 г. Фукуи [43]. [c.143]

Волновые функции подобного типа, записанные в виде одного слэтеровского определителя (4.67), обладают существенным недостатком спаренные электроны с разными спиновыми функциями аир описываются одной и той же пространственной частью спи-ноорбитали (одной МО). Но число а-электронов в нашем случае больше числа р-электронов, поэтому электроны с а-спином в дважды заполненных МО будут испытывать большее отталкивание от неспаренных а-электронов, чем электроны с р-спином в дважды заполненной МО. Этот эффект должен быть отражен определенными различиями в пространственных функциям а- и р-электронов в заполненных МО. Задавать одну и ту же пространственную часть для а- и р-электронов, значит налагать не вполне оправданное ограничение на волновую функцию, а следовательно, и на пространственное распределение электронов. Чтобы снять отмеченное ограничение, необходимо задать для а- и р-электронов различные формы пространственных функций Ч>2,, Срт + П и <р1, ср2,. .., срт, [c.103]

Волновая функция объединенной системы, которая состоит из двух независимых и невзаимодействующих подсистем А и В, равна произведению волновых функций подсистем флфз. Если частица микромира принадлежит одновременно обеим подсистемам, то ее волновая функция должна вырам аться с помощью этого произведения. Расчеты, основанные на таких допущениях, составляют основу метода валентных связей. Если же частица не может одновременно находиться в состояниях, описываемых той и другой функциями, произведение волновых функций обращается в нуль —функции ортогональны. [c.55]

Физический смысл параметра Fo следующий. Волновая функция, описывающая относительное движение двух фермионов с параллельными спинами, в соответствии с принципом Паули должна быть антисимметричной по отношению к перестановке их координат. Поэтому такие фермионы имеют малую вероятность находиться вблизи друг друга. Они стремятся расположиться как можно дальше друг от друга. F как раз и описывает то стремление к отталкиванию ква зичастиц ферми-жидкости, которое обусловлено принципом Паули, т. е. особенностями симметрии волновых функций. [c.258]

Атомы или молекулы (или их ионы), имеющие лишь один электрон, в смысле решения уравнения Шрёдингера, очевидно, относятся к особой категории, поскольку орбитальные волновые функции являются одновременно и полными электронными волновыми функциями. Для таких систем уравнение ШрёдиН гера можно решить точно. Несмотря на то что для химиков пО добные одноэлектронные системы сами по себе не представляют большого интереса, они важны потому, что орбитали многоэлектронных систем во многом подобны орбиталям одноэлект-ронных. Поэтому целесообразно начать изучение атомных орбиталей с рассмотрения точно решаемой задачи, а именно с на хождения волновых функций для электрона в атоме водорода. Задачу решения уравнения Шрёдингера для электронов в ато ме или молекуле можно упростить путем разумного выбора координатной системы, определяющей положение электронов относительно ядер. Для изолированного атома, не подверженного влиянию внешних полей, все направления в пространстве эквивалентны. Можно ожидать, что при фиксированном раС стоянии г от ядра, т. е. на поверхности сферы радиуса г, электронная плотность однородна. Однако для различных г элект ронная плотность будет различна. Поэтому разумно выбрать не обычную декартову систему координат х, у, г, а систему, в которой одной из координат является г. Такая координатная [c.28]

Может возникнуть вопрос, почему должно быть именно три функции с / 1 Порознь эти три функции не являются сфе-рически-симметричными. Следовательно, электрон, имеющий одну из этих волновых функций, не обладает сферически-сим-метричным пространственным распределением. Однако свойства этих функций должны быть таковы, чтобы не противоречить уже отмеченному ранее факту, что для свободного атома отсутствует выделенное направление в пространстве. Три функции (3.13) —(3.15) удовлетворяют этому критерию. Электрон с волновой функцией рх имеет распределение вероятности по сфере вида sin О os ф. Соответствующие распределения для ру и рг имеют вид sin sin ф и os д. Для сферически-симметрич-иого случая вероятность нахождения электрона в каждом из этих трех состояний одинакова, и поэтому результирующее распределение вероятности сферически-симметрично, так как [c.32]

На рис. 3.2 и 3.3 приведены угловые функции, на рис. 3.4— радиальные функции. Можно ли скомбинировать их каким-либо образом, чтобы получнтъ картину полной орбитали К сожалению, в рамках трехмерного пространства это невозможно. Поэтому для изображения орбиталей приняты такие же диаграммы, как на рис. 3.2 и 3.3. Еще чаще дают просто сечение этих орбиталей в плоскости, проходящей через ядро. Такие сечения приведены на рис. 3.5. Существует и другая возможность, сО стоящая в изображении контурных поверхностей волновой функции. Вначале подставим в выражение (З.П) определенные значения г, О, ф и найдем соответствующие значения волновой функции. Вычислив г )(г, ф) для большого числа значений переменных, представим контурные поверхности в трехмерном пространстве, причем каждая поверхность будет являться совокупностью точек с одним и тем же значением (г, О, ф). Далее удобно взять подходящее сечение контурных поверхностей. Такие сечения показаны на рнс. 3,6. Еще один тип представления орбиталей, который часто используют в книгах и при обсуждении химических проблем, приведен на рис. 3.7. Такие диаграммы не имеют четкой теоретической основы, но обладают тем преимуществом, что их легко можно представить графиче ски и что они позволяют создать общую картину узловых поверхностей для данной орбитали. [c.39]

Полная волновая функция получается из нормированных азимутальных функций/ -электронов, нриведонных в табл. 1, и радиальной волновой функции В г). Мы видели, что из трех полных волновых функций одна является действительной и две мнимыми. Так как все эти функции являются решениями уравнения Шредингера, их линейная комбинация также будет решением этого уравненпя. Поэтому вместо двух мнимых значений г]з возьмем их сумд у и разность, что, согласно теореме Муавра, дает действительную величину. Хотя такой метод исключает из рассмотрения слагаемые, играющие роль при рассмотрении вопросов теорип магнетизма, это не влияет на результаты теории валентности. Таким образом, три действительные, нормированные, полные волновые функции для р-электронов имеют вид [c.183]