Вырожденные представления

Для вырожденного представления г имеем [c.108]

Каждая точечная группа симметрии, содержащая оси вращения выше второго порядка, имеет вырожденные представления, которые, согласно Малликену, обозначают Е (следует отличать от обозначения тождественного преобразования) — для двукратно вырожденного представления Т — для трехкратно вырожденного представления. Примеры таких групп даны в серии табл. 6.2. В этих группах операции симметрии сведены в классы операций, имеющих 196 [c.196]

Правила для трижды вырожденных представлений для групп Т , О, О/, [c.201]

Высказанное выше утверждение составляет, по существу, лишь первую половину теоремы Вигнера-Эккарта. Вторая ее половина связана со структурой блоков, относящихся к вырожденным представлениям. Ниже лишь на примере будет пояснено [c.225]

Обычно в теории кристаллического поля трехкратно вырожденные представления обозначают буквой Т, а не Р, чему мы и будем следовать ниже. [c.403]

Правила для дважды вырожденных представлений [c.292]

Правила для трижды вырожденных представлений [c.292]

Примечания 1) Некоторые авторы используют для обозначения трехкратно вырожденного представления вместо Т символ F [74,1S4]. [c.224]

В случае, когда мы имеем вырожденные представления, процедура бывает иногда менее простой. Например, для имеем матрицы [c.508]

Мы видим, таким образом, что г принадлежит к невырожденному представлению а пара координат (д , у) от носится к вырожденному представлению Произведение относится к — пара хг, уг) относится к [c.508]

Вторым различием между таблицами характеров для групп Сз и С2 является наличие символа Е в перечне типов симметрии Сз . Это указывает на наличие дважды вырожденного представления. Рассмотрим влияние операции Сз на вектор, расположенный вдоль оси X. Результат в этом случае нельзя передать просто единицей со знаком + или —, так как новое направление вектора можно представить только с помощью комбинации координат X и г/. Тот же результат получается при действии этой операции на вектор у. Простые тригонометрические соотношения показывают, что X при вращении Сз переходит в X, причем X выражается в системе координат х-у как [c.133]

В некоторых таблицах характеров могут встречаться мнимые или комплексные характеры. Если появляются комплексные характеры, они появляются парами, так что один из них является комплексно-сопряженным по отношению к другому. Взятые вместе характеры, действительны и, как и выше, в случае двухмерных представлений не разделимы. В точечной группе Та имеются два трижды вырожденных представления Г1 и Гг, каждое из которых составляется из л , г/ и г. [c.134]

Трижды вырожденные представления [c.209]

КК [1 КВ] — кратности (степени вырождения) представлений. [c.128]

Неприводимые представления групп симметрии принято классифицировать следующим образом. Представления с размерностью 1 (так называемые невырожденные представления) обозначают символами А к В, причем А обозначаются представления, симметричные, а В — антисимметричные по отношению к вращению вокруг оси симметрии. Нижние индексы gnu обозначают симметричность и соответственно антисимметричность относительно отражения от центра инверсии (если таковой имеется). Представления с размерностью 2 ( дважды вырожденные представления) обозначают символом Е, а трижды вырожденные представления — символом Т. Неприводимые представления групп симметрии более высокой степени вырождения не существуют. [c.51]

Таким образом, отдельный член каждой пары вырожденных волновых функций нельзя охарактеризовать с помощью коэффициентов 4-1, сопоставляемых каждой операции группы. Вместо этого вырожденную пару волновых функций следует рассматривать совместно и записывать в виде вектора-столбца. Операции тогда представляют с помощью 2x2 матриц. Сами эти матрицы не определяются однозначно и зависят от ориентации молекулы по отношению к выбранной системе координат, но к счастью, согласно другой теореме теории групп,след, или характер, матрицы не зависит от выбора системы координат. Таким образом, вырожденное представление можно охарактеризовать с помощью ряда значений сумм диагональных элементов для каждого класса операций. [c.232]

Е — двукратно вырожденное представление [c.234]

Если теперь такое приводимое представление разложить на составляющие его приводимые представления, то матрица примет вид, изображенный на стр. 240, где маленькие квадратики соответствуют невырожденным, большие квадраты—вырожденным представлениям, а все элементы матрицы вне квадратов равны нулю. Однако при таком преобразовании характер представления остается неизменным, и, следовательно, характер приводимого представления для каждой операции равен просто сумме характеров неприводимых представлений для той же операции, которые содержатся в данном приводимом представлении. Неприводимые представления можно теперь легко найти, не прибегая к вычислениям. Для нашего случая. [c.239]

Проблема возникает при генерировании симметризованных МО, преобразующихся по вырожденному -представлению. Начиная процесс последовательно с 5,, 52, 5 -АО, получаем для двукратно вырожденного представления три различающихся орбитали, т. е. на одну больше, чем возможно [c.198]

Итак, пусть ф , и Фз - базисные функции неприводимого трехкратно вырожденного представления Г. Для полносимметричного оператора А подынтегральные выражения матричных элементов на этих функциях <ф А ф > ( , к = 1, 2, 3) будут преобразовываться по представлению Г Г = Г . .., т.е. это представление будет приводимо и будет содержать лишь один раз полносимметричное представление Г . Нетрудно заметить, что функцией, преобразующейся по Г , будет следующая [c.226]

У многоатомных молекул очень часто основным является синглетное состояние, когда 5 = 0 (такое положение может встретиться только при четном числе электронов). Если попытаться описать синглетное состояние однодетерминантной функцией, то оказывается, что это сделать можно при выполнении весьма простого условия каждая орбиталь должна входить в детерминант дважды один раз со спин-функцией а и один - со спин-функцией р. Если у молекулы есть к тому же определенная пространственная симметрия и орбитали преобразуются по неприводимым представлениям соответствующей точечной группы симметрии, то для вырожденных представлений (типа Е,Ри т.п.) в определитель должны входить все компоненты этого представления как с функцией а, так и с функцией р. В этих случаях говорят, что каждая орбиталь дважды (или двукратно) занята. Орбитали, преобразующиеся друг в друга при операциях симметрии и представляющие собой тем самым базис какого-либо неприводимого представления, образуют так называемую оболочку. Поэтому в однодетерми-нантном представлении волновой функции синглетного состояния все оболочки должны быть либо полностью заняты (другими словами, полностью заполнены), либо полностью вакантны. Частично заполненных оболочек быть не должно. В этих случаях говорят также, что имеются лишь замкнутые оболочки. При наличии частично заполненных оболочек говорят об открытых оболочках. [c.266]

При наличии в системе трехкратной или более высокой вращательной оси симметрии соответствующая точечная группа имеет вырожденные представления, и возникает обусловленное симметрией вырождение у некоторых волновых функций и соответствующих энергетических уровней системы. С этими обусловленными симметрией случаями вырождения мы сталкивались на примерах бензола, салш-триазина и порфина. До сих пор мы ограничивались тем, что выписывали только одну действительную компоненту вырожденных функций. Использования этой компоненты оказывается достаточно для получения энергий. Однако если необходимо получить плотности заряда, порядки связей или матрицу плотности, то требуется использовать обе компоненты. Более того, при наличии в системе частично заполненных вырожденных уровней может потребоваться представление волновой функции в комплексной форме. [c.309]

Для обертонов рассмотрение проводится точно так же, как и для электронных состояний, если колебание является невырожденным. Если же колебание вырождено, то необходимо прибегнуть к симметризации с учетом перестановочной симметрии. При рассмотрении колебаний нужно иметь в виду, что колебательный гамильтониан представляет собой бозонный оператор, как уже упоминалось выше. Это означает, что в случае вырожденного представления следует определять результат симметричного произведения двух таких представлений, т. е. симметричную степень представления, а не антисимметричную степень, как при рассмотрении электронных состояний. Для п-й степени вырожденного представления необходимо проводить симметризацию в соответствии с представлением п] перестановочной группы Это выполняется с использованием формулы (7.9). Например, для трехквантового возбуждения е-колебания метана находим [c.346]

Символы, используемые для обозначения представлений или типов симметрии в каждой точечной группе, основаны на определенных правилах. Мы перечислим некоторые из наиболее существенных правил такого характера. Для невырожденных колебаний используются символы А ч В. Символ А используется для тех из них, которые симметричны (т. е. имеют характер, равный +1) относительно вращения вокруг главной оси в молекуле, а символ В — для тех, которые асимметричны по отношению к вращению вокруг главной оси. Это отражено в таблице характеров для Если имеется несколько представлений одного типа, они отличаются численными индексами, а иногда одним и двумя штрихами. Для вырожденных колебаний, которых нет при группе симметрии но которые появляются при других группах, например при Сд , используются символы Е ж Т (или F). Символ Е не следует смешивать с обозначением операции идентичности. Он применяется для дважды вырожденных представлений, а символ Т — для трижды вырожденных. Молекул с вырождением большей степени не известно, но в принципе они могли бы существовать. В случае групп, в которых возможны операции инверсии, каждый символ снабжается еще индексом g или и. Они отражают четность (gerade) или нечетность (ungerade) представления по отношению к инверсии. [c.290]

Характеры неприводимых представлений наиболее часто встречающихся групп являются целыми числами. Для некоторых из групп с низкJЙ степенью симметрии, особенно для групп встречаются комплексные характеры. В случаях, когда это имеет место, неприводимые представления можно брать попарно, так как характеры одного члена являются комплексными сопряженными соответствующих характеров другого члена пары. Такая nap j представлений по существу эквивалентна одному дважды вырожденному представлению. При применении правил ортогонали ации к таким [c.505]

Невырожденные представления обозначаются буквами А В. Представления А симметричны, а В антисимметричны по отношению к вращ.ению около главной оси симметрии, т. е. около оси г. Дважды вырожденные представления обозначаются через и трижды вырожденные представления— через Т. Характеры групп вида Обл = ЬдХ не даны в явном виде. Их можно легко находить способом, показанным в табл. 19 для группы Эти представления обозначаются знаками А и и т. д., причем -пред-ставления симметричны, а -представления антисимметричны по отношению к инверсии. Приводятся также свойства преобразований координат х, у, 2, произведений координат х , ху, Х2, уг и вращений вокруг осей х, у и обозначаемых и соответственно. Если имеет место операция , то координаты принадлежат к а-пред-ставлениям, а вращения и произведения координат принадлежат к -представлениям, в чем можно убедиться из табл. 19. [c.506]

Одно правило отбора мы получим, исходя из того, какие коэффициенты М д, —я г и Гг), а = х, у, г должны быть равны нулю по соображениям симметрии при заданных значениях Я, Г и Г2. Для этого индексы ветвей Г1 и в выражении (8.1) удобно заменить обозначеппямц, применяемыми в теории групп, которые указывают на случайное вырождение ветвей. Обозначим через д / (ч) нормальную координату, принадлежащую /п-му неприводимому представлению группы волнового вектора (я) индекс I принимает значения 1, 2,. .., 1т, где 1т — степень вырождения представления т) (гл. 4, 4). Тогда выражение (8.1) примет вид [c.275]

НИЯ преобразуются в соответствии с представлениями Л1(2Х) и В2(1Х)- Направление векторов смещения атомов (и их относительные величины) теперь можно найти для различных нормальных координат с помощью рассмотрения условий симметрии кроме того, должно выполняться условие, согласно которому, суммарный вектор равен нулю ). Последнее условие накладывается для того, чтобы молекула не могла одновременно испытывать колебания и трансляции и соверщала бы только колебательные движения. Для молекул, которые принадлежат к другим точечным группам, два или более нормальных колебания преобразуются по вырожденному представлению. Однако приведенный выше метод отыскания нормальных колебаний остается в силе. [c.106]

Волновые функции зю и tfioi не равны друг другу. Как Qa, так и Qb преобразуются по вырожденному представлению точечной группы. Если У = 2, то возможны следующие комбинации va = 2, Уд = О, [c.113]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология