Принцип максимума управления

Согласно принципу максимума управление и(х) будет оптимальным, если функция Н в каждой точке и = и(х) достигнет максимума, т. е, [c.187]

Р е ш е н и е. В этом простейшем случае, конечно, нет необходимости применять математический аппарат принципа максимума, поскольку и так очевидно, что перевод процесса, описываемого ураннением (VII,121), следует производить с максимальной скоростью изменения переменной х, т. е. с предельной величиной управляющего воздействия а, причем знак управления определяется тем, в каком направлении по оси X от начальной точки л расположена конечная точка Однако на данном [c.344]

Существуют различные методы, в том числе и аналитические, позволяющие иногда при рассмотрении конкретных задач ответить на вопрос об эффективности нестационарного режима. Рассмотрим кратко эти методы. По аналогии с задачами оптимального управления решение задачи оптимизации циклического режима должно удовлетворять необходимым условиям оптимальности. Применительно к поставленной задаче был сформулирован принцип максимума Понтрягина [59, 60]. [c.289]

Оптимальное управление периодической ректификацией. Эта задача определяется как получение необходимого количества дистиллята за минимальное время при известных начальных условиях и относится к проблеме о быстродействии, эффективно решаемой с позиций принципа максимума. Основная трудность при этом состоит в многомерности задачи, заключающейся в том, что с ростом числа компонентов смеси растет и размерность сопряженной системы. Кроме того, жесткость системы дифференциальных уравнений приводит к необходимости выбора сне- [c.392]

Исходя из физических представлений о процессе можно принять, что оптимальный режим работы колонны должен начинаться с режима полного орошения (Л = схз), так как колонна в начальный период должна выйти на режим отбора продукта заданного качества. Отсюда длительность режима полного орошения не меньше величины начального интервала. Поскольку начальный интервал составляет небольшую часть времени разделения, то такое предположение может лишь незначительно увеличить общее время разделения. Таким образом, оптимальное управление на начальном интервале можно определить без использования принципа максимума. [c.394]

Описание процесса кристаллизации в виде системы дифференциальных уравнений позволило авторам работы [25] применить для поиска оптимального режима охлаждения принцип максимума Понтрягина [29]. Задача отыскания оптимального управления (в сформулированном выше виде) носит название задачи об оптимальном быстродействии. Для ее решения запишем систему дифференциальных уравнений для вспомогательных переменных г Иф [c.356]

В данном разделе предлагается простой способ вывода необходимых условий оптимальности первого и второго порядков для общих дискретных задач управления циклическими адсорбционными процессами. Он основан на известных результатах нелинейного программирования и в отличие от традиционных подходов [62] предъявляет минимальные требования гладкости к данным задачи оптимизации. Доказательство принципа максимума, как и необходимых условий оптимальности второго порядка, проводится по одной схеме [63, 72] по части ограничений задачи строится варьированное семейство, содержащее исследуемый допустимый процесс по остальным ограничениям формируется вспомогательная задача нелинейного программирования с известным решением для данного решения записываются и потом расшифровываются локальные условия экстремума первого или второго порядка и затем устанавливается существование универсальных множителей Лагранжа, не зависящих от способа построения варьированного семейства. [c.185]

Несмотря на богатый арсенал численных методов, разработанных для решения задач оптимального управления, алгоритмическое и программное оснащение этих задач существенно уступает современному программному обеспечению задач линейного и нелинейного программирования. Лишь для наиболее простых классов задач, в которых нет ограничений на фазовые координаты, построены достаточно эффективные алгоритмы, осуществляющие поиск управлений, удовлетворяющих необходимым условиям оптимальности. Эти алгоритмы, как правило, основаны на применении градиентных процедур или принципа максимума и допускают простую программную реализацию. Применяя метод штрафных функций или модифицированную функцию Лагранжа, с помощью этих алгоритмов можно получить решение некоторых задач и с фазовыми ограничениями, например с условиями на правом конце. Однако такой способ не всегда эффективен, поскольку требует многократного решения задачи при различных значениях параметров и далеко не всегда позволяет получить управление, на котором с заданной точностью выполнялись бы условия оптимальности и ограничения задачи. [c.191]

Тогда необходимое условие оптимальности — принцип максимума — можно сформулировать так если и (i) — оптимальное управление, а x t) и i j (О—соответствующие решения систем (4.3.1) и (4.3.3), то [c.193]

Разработана теория оптимального управления каталитическими процессами на основе принципа максимума Понтрягина и прямых вариационных методов. Для каталитических реакций с падающей активностью катализатора проведено качественное исследование оптимальных управлений, разработаны эффективные численные алгоритмы оптимизации и решен ряд промышленно важных задач. [c.4]

Выбор оптимальной функции Т(т, Об[7 п п, ах] для заданных и осуществлялся по принципу максимума Понтрягина. Следуя авторам [171], дадим формулировку принципа максимума для нашего случая. Ограничимся здесь задачей, когда ищется лишь оптимальное управление вида Т(т, ) Для формулировки необходимых условий оптимальности, каковыми является принцип максимума, в рассмотрение вводится функция [c.94]

Итак, при использовании принципа максимума возникает краевая задача для системы исходных и сопряженных уравнений. Оптимальное управление ищется в каждой точке (т, t)e [О, Тк] х [О, tk] из условия максимума функции Н. На основе этого был выбран следующий вычислительный алгоритм [c.95]

При реализации систем управления в нашем распоряжении имеются УВМ. Поэтому можно было не ограничиваться линейными алгоритмами стабилизации. При синтезе систем, однако, было показано, что даже при использовании оптимальных (в смысле принципа максимума) алгоритмов с учетом ограничений на управляющие воздействия достигается улучшение выхода аммиака только на 3% по сравнению с линейными алгоритмами стабилизации. Итак, в реальном масштабе времени применялись алгоритмы стабилизации в следующей форме [c.364]

Примеры определения вида оптимального управления. . Вычислительные аспекты применения принципа максимума Принцип максимума для дискретных оптимальных систем [c.7]

Большим достоинством принципа максимума является то, что он позволяет во многих случаях оценить структуру оптимального управления, не решая самой оптимальной задачи. Такая оценка, помимо самостоятельного интереса, часто оказывается полезной при численном решении задачи. [c.181]

Близкая ситуация возникает, например, при решении задач оптимального управления с помощью уравнений принципа максимума Понтрягина для случаев, когда правый конец траектории свободен или закреплен (подробнее об этом см. в главе VI). В таких ситуациях часто может быть полезным следующий подход к решению систем уравнений (1,2), (У,13). Заметим, что если мы в системе уравнений (У,13) зафиксируем все Я,-, то получим систему п уравнений с п неизвестными 1,. . ., у . Решение ее при фиксированных 1. обозначим через V. Ясно, что V являются функциями переменных Я,,- [c.92]

Требуется найти такие управления и, (<) ( = 1..... ). удовлетворяющие условиям (VI,4), чтобы величина приняла максимальное значение при условии, что фазовые переменные (1) в начальной и конечной точках удовлетворяют соотношениям [(VI, 2), [У1,3)]. Согласно принципу максимума [19, с. 25], решение поставленной [c.107]

ОСОБЕННОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ ПРИНЦИПА МАКСИМУМА В ЗАДАЧАХ С ОСОБЫМИ УПРАВЛЕНИЯМИ [c.125]

Понятие сопряженного процесса является обобщением понятия сопряженной системы, применяемой в вариационном исчислении для формулировки необходимых условий оптимальности [37] (в принципе максимума Понтрягина сопряженную систему использовали применительно к задаче оптимального управления [19]). С появлением вычислительной техники и началом бурного развития методов численного решения задач оптимизации было обращено внимание на другой аспект возможного использования сопряженной системы, а именно, на удобство получения с ее помощью градиента оптимизируемой величины. [c.139]

Наиболее распространенными методами решения краевой задачи для уравнений принципа максимума являются метод итераций в пространстве управлений (см. стр. 109), метод сведения задачи к решению системы нелинейных конечных уравнений (см. стр. 108) и метод квазилинеаризации. Применение последнего метода для решения уравнений (IX,4) — (IX,10) было рассмотрено в работе [3, с. 160)], поэтому здесь мы остановимся подробнее на обобщении только первых двух методов. [c.201]

При этом для двумерных распределенных управлений w (I, i) справедлива более сильная форма необходимых условий оптимальности — принцип максимума [ср. с формулой (VI,8)] [c.212]

Следует иметь в виду, что описанный алгоритм в ряде случаев может приводить к расходящемуся итерационному процессу. Необходимо также отметить, что алгоритм рассчитан, в первую очередь, на задачи с двумерными распределенными управлениями с применением сильного принципа максимума (Х,18) и одномерными и сосредоточенными управлениями тогда, когда уравнения слабого принципа максимума (Х,16), (Х,17) имеют единственное решение. При наличии нескольких решений вычислительный процесс ветвится, что иногда может потребовать большого перебора различных вариантов [3,. с. 249-250]. [c.213]

Для двумерных распределенных управлений справедлив также сильный принцип максимума (доказательство см. в работе [52]) [c.222]

Для решения задач оптимизации химико-технологических процессов обычно используют методы нелинейного программирования (поисковые методы) [1, 3] и методы теории оптимального управления вариационного исчисления [4], динамического программирования 15], принципа максимума Понтрягина [6], дискретного принципа максимума 17]. Наибольшее распространение получили поисковые методы как наиболее гибкие и универсальные. Эти методы находят также широкое применение при решении задач идентификации (определение некоторых коэффициентов уравнений, представляющих собой математическую модель исследуемого процесса). Кроме того, поисковые методы могут быть эффективно использованы при синтезе оптимальной структуры химико-технологических систем, который в общем случае представляет собой задачу дискретно-непрерывного программирования в частности, они могут быть использованы при получении нижних оценок в методе ветвей и границ (см. гл. VI). [c.14]

Известен ряд работ, где для управления процессом ферментации используют оптимальные подпитки субстратом в ходе периодического процесса ферментации [3, 28], оптимальный температурный профиль [23, 27], изменения рОг среды в течение режима ферментации [25]. При рещении указанных задач применяют такие методы оптимизации, как принцип максимума Понтрягина, динамическое, нелинейное программирование. [c.33]

Опуская выкладки соотношений принципа максимума, приведем конечные результаты, справедливые для некоторых численных значений переменных. На рис. 5.3 показана оптимальная траектория в плоскости переменных Хз — Х1 для начального значения Х20 равного 0,375 при этом минимальное значение управления равно. нулю Цщш = 0, а максимальное — 0,175. Для значения Х2о=0,375 оптимальное стационарное состояние отвечает следующим значениям Х1 = 0,262 Ха = 0,113 А з = 24,46. Одно из возможных начальных значений может быть [ 1(0) Хг(0) Хз(0)] = = [0,035 0,340 0,0]. Тогда кривая зависимости оптимального управления от времени проведения процесса — вывода на оптимальное стационарное состояние — имеет вид, показанный на рис. 5.4. [c.259]

Принцип максимума (см. главу VII) применяют для решения задач оптимизации процессов, описываемых системами дифференциальных уравнений. Достоинством математического аппарата принципа максимума является то, что решение может определяться в виде разрывных функций это свойственно многим задачам оптимизации, например задачам оптимального управления объектами, описываемыми линейными дифференциальными уравнениями. - [c.33]

Полученное соотношение (VII, 38) и является аналитическим выражением принципа максимума. Оно означает, что в каждой точке траектории оптимальное управляющее воздействие должно выбираться из условия достижения максимального значения величины скалярного произведения [<р(дг, и)Д]. При этом оптимальное управление определяется как функция величин х и Я, т , е. как функция положения точки на траектории (/) и вектора нормали отсекающей плоскости h(t), проведенной через данную точку. [c.320]

В приведенной формулировке не содержится никаких сведений о том, будут ли вообще существовать оптимальные управления и траектория и как их найти. Тем самым принцип максимума в данной формулировке представляет собой л цшь необходимое условие оптимальности. Однако показано [5], что при соблюдении некоторых добавочных ограничений на оптимизируемый процесс, которые, как правило, оказываются выполненными при решении практических задач, принцип максимума является также и достаточным условием оптимальности. Другими словами, если оптимальное управление найдено с использованием условия (VII, 47), то это управление действительно оптимальное и никакой дополнительной проверки оптимальности не требуется. [c.324]

Сформулируем теперь задачу оптимального управления, которую решим с использованием принципа максимума. В приведенной выше постановке задачи регулирования она эквивалентна следуюн1,ей. [c.386]

В настоящее время нет общего метода решения задач циклической оптимизации. Все используемые алгоритмы основаны на классических понятиях вариации функционала и модифицированного принципа максимума. Наиболее общим и обоснованным является градиентный метод, основанный на вариационном исчислении. Суть этого метода была изложена еще в работе [7]. Задается фиксированная продолжательность периода с и определяется (численно) соответствующее ему оптимальное управление, затем задается другое значение периода и определяется соответствующее ему другое оптимальное управление. После этого сравнивают значения целевых функционалов и с помощью направленного поиска определяются значение оптимального периода. Конечно, такой подход требует больших затрат машинного времени. В работе [72] разработан другой численный алгоритм. Здесь не использовались условия цикличности. Оптимальное управление определялось на достаточно большом отрезке времени с произвольными начальными условиями. [c.292]

Рабочий цикл технологического аппарата периодического действия представлен упорядоченной последовательностью выполняемых в нем технологических и организационных операций. Нацример, рабочий цикл реактора может состоять из загрузки реагента, нагревания содержимого реактора, выдержки реакционной массы при фиксированной температуре (либо в течение заданного интервала времени, либо до положительного результата лабораторного анализа), охлаждения содержимого до определенной температуры и его выгрузки. Некоторые операции могут быть регулируемыми, например часто требуется нагреть или охладить массу за минимально возможное гремя, а во время выдержки массы требуется стабилизировать температуру. Поэтому в пределах каждой операции реализуется свой закон регулирования, например управление процессом нагревания и охлаждения реакционной массы осуществляется по двухпозиционному закону, причем моменты переключения рассчитываются на основе принципа максимума Понтрягинг для залачи о быстродействии. [c.279]

В зависимости от способа минимизации штрафных функций МАВ или МП вычислительные методы идентификации делятся на две группы прямые и косвенные. Первую группу составляют методы непосредственной минимизации штрафной функции на каждом шаге интервала наблюдения. К ним относится градиентный метод и его многочисленные модификации, метод стохастической аппроксимации и др. Второй подход к решению задачи идентификации состоит в применении принципов теории оптимального управления на каждом шаге итерации. В частности, для минимизации штрафных функций применяется принцип максимума Понтрягина, метод неопределенных множителей Лагранжа и др. При этом соответствуюш ая система канонических уравнений с необходимыми граничными условиями образует характерную нелинейную двухточечную (начало и конец интервала наблюдения) краевую задачу (ДТКЗ), решение которой представляет искомую оценку для заданного интервала наблюдения. Вычислительные методы решения указанной ДТКЗ образуют группу так называемых непрямых вычислительных методов решения задач идентификации. К ним можно отнести метод квазилинеаризации, метод инвариантного погружения, метод прогонки и др. [c.494]

Метод принципа максимума для сложвцх процессов значительно экономнее метода динамического программирования. На основе данного метода удается создать общий подход к решет нию задач оптимизации стационарных и нестационарных каталитических процессов. Этот метод заключается в решении краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений и определении оптимального управления на каждом шаге интегрирования исходя из условия максимума некоторой функции Решение состоит в выборе некоторых начальных условий и их дальнейшего уточнения для нахождения оптимального режима. Указанная процедура позволяет разработать эффективный численный метод решения краевых задач. [c.495]

Для задач, возникающих прп оптимизации нестационарного состояния катализатора, принцип максимума лишь в редких случаях допускает аналитическое решение. Иногда удается показать, что х, являющийся решением задачи (2.15) — (2.18), не удовлетворяет необходимым условиям оптимальности, что означает / >/ [43]. Чаще всего необходимые условия оптимальности позволяют лишь качественно характеризовать оптимальное решение и (или) построить численные алгоритмы оптимизации. В связи с этпм целесообразно использовать методы, основанные на анализе предельных случаев, и сформулировать достаточные условпя эффективности периодических режимов. Так, чтобы показать эффективность циклического процесса, часто достаточно проанализировать поведение системы при очень больших и очень малых по сравнению с характерным временем системы значениях периода, которым соответствуют, как уже обсуждалось, квазистационарный и скользящий режимы. При квазистационарном ре киме в силу большой продолжительности цикла система будет удовлетворять уравнению (2.15) нри всех 0стационарных состояний, значение управления и t) однозначно определяет состояние [c.50]

Для решения первых четырех задач были разработаны методы, основанные на использовании численных методов нелинейного программирования (поисковых методов) [И, 12] и методов теории оптимального управления — вариационного исчисления [15], динамического программирования [16], принципа максимума Понт-рягина [17], дискретного принципа максимума [18]. Пятая задача принципиально отличается от первых трех тем, что в ней наряду с непрерывными искомыми переменными имеются целочисленные переменные. Отсюда для ее решения необходимо применять методы [c.23]

Винаров А. Ю. Оптимизация каскада биохимических реакторов с использованием принципа максимума.— В кн. Автоматизация управления промышленным биосинтезом. Труды/ВНИИбиотехника. М., 1972, с. 95—101. [c.273]

Решение. В этом простейшем случае, конечно, нет необходимости применять математический аппарат принципа максимума, поскольку и так очевидно, что перевод процесса, описываемого уравнением (VII, 121), следует производить с максимальной скоростью изменения переменной х, т. е. с предельной величиной4 управляющего воздействия и, причем знак управления определяется тем, в каком направлении по оси х от начальной точки xW расположена конечная точка, x(h Однако на данном примере можно обсудить формальные приемы использования принципа максимума, которые неоднократно применяются в приведенных ниже примерах. [c.335]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология