Нелинейное программирование функция

Методы нелинейного программирования (см. главу IX) применяют для решения оптимальных задач с нелинейными функциями цели. Па независимые переменные могут быть наложены ограничивающие условия также в виде нелинейных соотношений, имеюш,их форму равенств или неравенств. По существу методы нелинейного программирования используют, если ни один из перечисленных выше методов не позволяет сколько-нибудь продвинуться в решении оптимальной задачи. Поэтому указанные методы иногда называют также прямыми методами решения оптимальных задач. [c.33]

Задача нахождения параметров практически сводится к минимизации некоторого функционала, характеризующего связь между расчетными и экспериментальными данными методами нелинейного программирования. В качестве критерия минимизации используется функция вида [c.102]

Важным этапом в решении задач обработки экспериментальных данных является выбор метода отыскания наилучших значений параметров искомой зависимости. По существу задача определения наилучших значений параметров зависимости, минимизирующих определенную оценку, является задачей минимизации функции многих переменных. В тех случаях, когда искомая зависимость ищется в форме нелинейной функции, решение этой задачи может представить определенные трудности, поскольку приходится применять общие методы решения задач отыскания минимума функции лшогих переменных — методы нелинейного программирования [1]. Лишь когда искомая зависимость Р (х , а ,..., а ) является линейной функцией параметров aj (/ = 1, 2,..., з), например, при отыскании аппроксимирующего полинома, наилучшие значения параметров а ( = 1, 2,..., х), в особенности при использовании критерия оценки среднеквадратичного отклонения (11—8), могут быть найдены относительно просто, для чего используется метод, называемый методом наименьших квадратов (см, стр. 319). [c.299]

Здесь целесообразно отметить, что нелинейное программирование как новое математическое направление возникло и развилось за три последних десятилетия из-за невозможности учета ограничений — неравенств на оптимизируемые параметры и на нелинейные функции с помощью классических методов решения экстремальных задач. [c.121]

Согласно другой классификации, все методы нелинейного программирования можно разделить на методы локального поиска и методы нелокального (глобального) поиска. В процессе решения задачи одним из локальных методов значения оптимизируемых параметров непрерывно меняются в направлении минимизации (или максимизации) рассматриваемой функции. Тем самым эти методы гарантируют нахождение только локального оптимума. К группе локальных методов относятся методы градиентный, наискорейшего спуска, покоординатного спуска и др. Для методов глобального поиска характерно введение дискретности в процессе изменения оптимизируемых параметров, что способствует рассмотрению большей области изменения исследуемой функции и выявлению абсолютного оптимума среди локальных. К этой группе методов относятся метод случайного поиска, метод динамического программирования, а также сочетания для совместного использования ряда других методов. [c.122]

В процессе последовательного расчета вариантов очередное значение функции 3 сравнивается с минимальным из ранее рассмотренных и в результате выбирается экстремальное значение (зона значений) целевой функции 5. Варианты, не удовлетворившие тем или иным ограничениям, поставленным в условиях задачи, из сопоставления исключаются. При решении задач выпуклого нелинейного программирования методом последовательного сравнения вариантов способ деления допустимой зоны определения каждого независимого оптимизируемого параметра на отрезки равной длины не является наилучшим. Целесообразнее проводить поиск экстремума при переменной длине отрезка, уменьшая его по мере приближения к зоне оптимума. Сопоставление ряда способов выбора размера отрезка показывает, что для задач этого класса оптимальным является способ деления, [c.125]

Рассмотрим постановку задачи первого вида. Для удобства дальнейшего изложения будем считать множество оптимизируемых параметров состоящим из двух совокупностей 2н — непрерывно изменяющиеся параметры и Г — дискретные параметры, причем параметры считаются известными в результате решения первой части задачи. Тогда вторая часть решения задачи может быть сформулирована как задача дискретного нелинейного программирования требуется найти минимум нелинейной дискретной функции цели [c.146]

Несмотря на богатый арсенал численных методов, разработанных для решения задач оптимального управления, алгоритмическое и программное оснащение этих задач существенно уступает современному программному обеспечению задач линейного и нелинейного программирования. Лишь для наиболее простых классов задач, в которых нет ограничений на фазовые координаты, построены достаточно эффективные алгоритмы, осуществляющие поиск управлений, удовлетворяющих необходимым условиям оптимальности. Эти алгоритмы, как правило, основаны на применении градиентных процедур или принципа максимума и допускают простую программную реализацию. Применяя метод штрафных функций или модифицированную функцию Лагранжа, с помощью этих алгоритмов можно получить решение некоторых задач и с фазовыми ограничениями, например с условиями на правом конце. Однако такой способ не всегда эффективен, поскольку требует многократного решения задачи при различных значениях параметров и далеко не всегда позволяет получить управление, на котором с заданной точностью выполнялись бы условия оптимальности и ограничения задачи. [c.191]

Методы штрафных функций позволяют свести задачу нелинейного программирования (У.ЮО) к одной или нескольким задачам безусловной минимизации некоторых вспомогательных штрафных функций. Вспомогательную функцию для задачи (У.ЮО) можно записать в следуюш,ем виде [c.213]

Если использовать образную трактовку задачи нелинейного программирования как задачу поиска самой низкой точки участка местности, огороженного изгородями, то введение функции Р равносильно введению сил, отталкивающих движущийся поисковый шарик от изгородей внутрь огороженной территории в моменты его соприкосновения с ними (если движение шарика происходит внутри допустимой области), или введению сил, притягивающих шарик к изгородям, если его движение происходит вне допустимой области. [c.213]

Следовательно, метод декомпозиции на основе модифицированной функции Лагранжа при определенных условиях обладает свойствами других методов нелинейного программирования. [c.228]

В случае равноотстоящих точек разрыва кусочно-постоянной функции управления размерность задачи нелинейного программирования равна п-к, т. е. необходимо найти (ид, % 2, л 1). [c.232]

Следует отметить, что обычно управление и (/) в начале интервала [/о, 1 изменяется сильнее, чем в конце. Причина этого кроется в динамических свойствах объекта управления. Поэтому целесообразно делить интервал [ о, не на одинаковые отрезки, а таким образом, чтобы решение задачи дискретного управления наиболее приближалось к решению задачи непрерывного управления. Этой аппроксимацией можно управлять путем выбора точек разрыва функции управления, т. е. моментов времени tx, 4, 4-1- Тогда, очевидно, размерность задачи нелинейного программирования увеличивается до (п-/г -Ь й — 1). Однако число точек разрыва функции управления во второй половине интервала Ма, / 1, как правило, не велико, так что не возникает больших трудностей из-за размерности решаемой задачи. [c.233]

В области нелинейного программирования положение иное — нельзя ориентироваться на один метод. С возрастанием мощности ЭВМ вопрос о затратах вычислительного времени ставится менее остро, однако сохраняет прежнюю остроту проблема надежности алгоритмов, особенно тогда, когда целевая функция не удовлетворяет требованию непрерывности и дифференцируемости. В этом отношении среди методов одномерного поиска выделяются своей эффективностью методы аппроксимации полиномами, однако более устойчивыми являются методы золотого сечения, Фибоначчи и деления пополам. [c.234]

Для решения общих задач нелинейного программирования достаточно, чтобы функция В обладала только первыми двумя свойствами. При этом для решения задачи 1 с модифицированной функцией Р воз.можно применение описанной выше двухуровневой процедуры оптимизации. Поскольку в общем случае у (с) у, с целью решения первоначальной задачи 1 потребуется организовывать третий уровень для подбора параметров с, обеспечивающих выполнение равенства ( 1,22). [c.234]

В данном разделе приведен ряд задач нелинейного программирования, которые обычно используются для исследования эффективности различных поисковых методов. Вначале даются задачи на поиск безусловного минимума, а далее задачи на поиск условного минимума. В каждой задаче указываются минимизируемая функция /, начальная точка хв, конечная точка х и значение функции / в конечной точке—/. Кроме того, в задачах на условный минимум указываются функции — ограничения ф , i )/. [c.284]

Первая группа методов, в свою очередь, делится на непрямые (блок 5, рис. 1) и прямые (или методы спуска) (блок 4, рис. 1). Разберем прежде всего прямые методы. В большинстве случаев при решении задач оптимизации управляющие переменные принимаются независимыми. Известно [3], что в этом случае задача оптимизации сложных схем сводится к следующей задаче нелинейного программирования найти минимум функции [c.12]

Тем самым приходим к задаче нелинейного программирования с линейными ограничениями (4.2), (4.3) и вогнутой целевой функцией. Воспользуемся методом Лагранжа, причем так, как это было сделано в [58]. Построим функцию [c.104]

Специфика использования данного алгоритма в задачах определения параметров Ут конденсаторов типа А состоит в том, что поиск их оптимальных значений проходит в условиях плавающих ограничений. Это связано с тем, что каж дому фиксированному значению одного из параметров Ох или соответствует свой диапазон возможного изменения другого аргумента, определяемый условиями физической реализуемости процесса. Следовательно, фиксируя значение параметра по одной из координат в точке, предшествующей увеличению целевой функции, и переходя к движению по другой координате, мы должны переопределить границы ее возможного изменения. Использование других методов нелинейного программирования с ограничениями, подразумевающих движение в направлении, [c.136]

В настоящее время для решения оптимальных задач применяют в основном следующие методы 1) методы исследования функций классического анализа 2) методы, основанные на использовании неопределенных множителей Лагранжа 3) вариационное исчисление 4) динамическое программирование 5) принцип максимума 6) линейное программирование 7) нелинейное программирование. В последнее время разработан и успешно применяется для решения определенного класса задач метод геометрического программирования (см. главу X). [c.29]

Методы исследования функций классического анализа (см. главу III) представляют собой наиболее известные методы решения несложных оптимальных задач, с которыми инженер знакомится при изучении курса математического анализа. Обычной областью использования данных методов являются задачи с известным аналитическим выражением критерия оптимальности, что позволяет найти не очень сложное, также аналитическое выражение для производных. Полученные приравниванием нулю производных уравнения, определяющие экстремальные решения оптимальной задачи, крайне редко удается решить аналитическим путем, поэтому, как правило, применяют вычислительные машины. При этом надо решить систему конечных уравнений, чаще всего нелинейных, для чего приходится использовать численные методы, аналогичные методам нелинейного программирования (см. главу IX), [c.30]

По существу метод динамического программирования представляет собой алгоритм определения оптимальной стратегии управления на всех стадиях процесса. При этом закон управления на каждой стадии находят путем решения частных задач оптимизации последовательно для всех стадий процесса с помощью методов исследования функций классического анализа или методов нелинейного программирования. Результаты решения обычно не могут быть выражены в аналитической форме, а получаются в виде таблиц. [c.32]

Приведенные рассуждения естественным образом раснростра-ляются на общую задачу нелинейного программирования, функция достижимости которой может быть (за счет добавления к целевой функции штрафных слагаемых) деформирована таким образом, чтобы она совпадала со своей выпуклой оболочкой. [c.100]

В настоян ее время для решения оптимальных задач применяют в основном следую1цие методы 1) методы исследования функций классического анализа 2) методы, основанные на использовании неопределенных множителей Лагранжа 3) вариационное исчисление 4) динамическое программирование 5) принцип максимума 6) лгшеГнше программирование 7) нелинейное программирование. [c.29]

Как правило, нельзя рекомендовать какой-либо один метод, который можно использовать для решения всех без исключения задач, возникающих на практике. Одни методы в этом отношении являются более общими, другие — менее общими. Наконец, целую группу методов (методы исследования функций классического анализа, метод множителей Лагранжа, нелинейное программирование) иа определенных этапах реикния оптимальной задачи можно применять в сочетании с другими методами, например динамическим программированием и принципом максимума. [c.29]

Нормализация независимых переменных. Ниже при рассмотрении методов реше я задач нелинейного программирования в большинстве случаев предполагается, что критерий оптимальности R (IX,1) является трудновычислимой функцией, аналитическое выражение которой как функции независимых переменных х-, отсутствует. [c.481]

Градиент целевой функции. Среди методов, применяемых для решеиия задач нелинейного программирования, значительное место занимают методы поиска решения, основанные на анализе производных оптимизируемой фуикции. Предполагая в дальнейшем (там, где это специально не оговорщю), что анализируются только непрерывные дифференцируемые функции R (х), остановимся на свойствах этих функций, которые можно использовать для анализа нх поведения, [c.485]

Вычислительные операции четвертой и пятой стадий сводятся к решению многомерной смешанной задачи нелинейного программирования (5.2) — (5.6). Для ее решения при невыпуклой целевой функции предложен новый многоуровневый метод [160], основанный иа создании декомпозируемой модифицированной функции Лагранжа. Для сепарабельного разложения функции штрафа применяется специальное геометрическое равенство параллелограмма, а не разложение в ряд Тейлора. [c.143]

Функция желательности. Задачу оптимизации процессов, ха-ракгеризующихся несколькими откликами, обычно сводят к задаче оптимизации по одному критерию с ограничениями в виде равенств или неравенств. В зависимости от вида поверхности отклика и ха-ракгера ограничений для оптимизации предлагается использовать методы неопределенных множителей Лагранжа, линейного и нелинейного программирования, ридж-анализ [10] и др. К недостаткам этих способов решения задачи оптимизации следует отнести вычислительные трудности. В частности, при описании поверхности отклика полиномами второго порядка решение задачи на условный экстремум с применением неопределенных множителей Лагранжа приводит к необходимости решать систему нелинейных уравнений. Поэтому одним из наиболее удачных способов решения задачи оптимизации процессов с большим количеством откликов является использование предложенной Харрингтоном [23] в качестве обобщенного критерия оптимизации так называемой обобщенной функции желательности О. Для построения обобщенной функции желательности О предлагается преобразовать измеренные значения от- [c.207]

Основная подзадача проектирования ГАПС, как правило, представляет собой частично целочисленную задачу нелинейного программирования большой размерности. При решении этой задачи методами целочисленного программирования встречается ряд трудностей. Поэтому целесообразней воспользоваться методом с использованием штрафных функций, заключающимся в следующем. Задача решается как непрерывная, а получаемые значения переменных округляются и затем проверяются на допустимость полученного решенвя. Если округленное решение является допустимым, то оно принимается в качестве целочисленного. [c.535]

Если потребитель желает создать новый кристаллизатор для обеспечения мощности своего иредприятпя, то обычно для оптимизации используются параметры первой группы. Так как параметры первой группы являются непрерывными, то задача поиска (диаметра сечения, высоты кристаллизатора и т. д.) конструктивных параметров кристаллизатора, отвечающего заданной производительности, решается методами нелинейного программирования, кратко описанных выше, обеспечивающих минимум целевой функции 9 . Наибольшие трудности возникают в задачах оптимизации, где в качестве дискретно изменяющихся оптимизируемых параметров являются параметры, принадлежащие группам 2—4. [c.364]

В. учебной литературе по вычислительной математике (напрнмер, в [63]) не описано каких-либо общих методов исследования сходимости метода Зейделя. Для системы уравнений (21) можно использовать следующий путь доказательства сходимости. Расслютрим задачу решения системы как равносильную ей задачу нелинейного программирования пои ка минимума некоторой функции Р переменных Х1- Термодинамика (с точностью до множителя ЯТ) подсказывает нам такой вид [c.30]

MINOS — название метода, разработанного Муртафом и Сондерсом [76] для решения больших задач нелинейного программирования с линейными ограничениями. Здесь не делается аппроксимация f(x), а нелинейная целевая функция обраба- швается непосредственно. [c.201]

Соотношение (V.177) характеризует ошибку, которую надо минимизировать. Поскольку для каждого вектора л необходимо решить N задач нелинейного программирования типа (V.175) правило выбора It имеет решающее значение для эффективности рассматриваемого метода. На основе теорир двойственности можно показать, что нахождение таких л, для которых е (я) = О, эквивалентно максимизации следующей функции, двойственной к (V.174) [c.226]

Более широкие возможности имеет пакет Стохастическая оптимизация , созданный на базе ППП Линейное программирование в АСУ (ППП ЛП АСУ) [102]. ППП ЛП АСУ предназначен для решения и анализа задач линейного программирования (ЛП), нелинейного программирования (НЛП) с нелинейными функциями сепарабельного вида, целочисленного программирования (ЦП) и задач специальной узкоблочной структуры. Размерность решаемых задач составляет для ЛП до 16000 строк, для ЦП — до 4095 целочисленных переменных и 60 000 строк для задач узкоблочной структуры. Пакет может быть использован также для решения задач стохастического программирования (СТП) при построчных вероятностных ограничениях. В последнем случае необходимо предварительно построить детерминированный аналог. [c.179]

Для систем, в которых число неизвестных больше числа независимых уравнений, существует бесконечное количество решении . Однако если дополнительно сформулированы условия, которым должно удовлетворять решение системы, то может быть найдено интересующее нас решение. В том случае, когда решение должно максимизировать или минимизировать некоторую функцию цели, применяют методы линейного или нелинейного программирования. Если же уравнений в системе больше, чем неизвестных, то при пахо-надении решения желательно использовать все имеющиеся уравнения для уменьшения ошибок, возникающих при получении уравнений. Это общие попятия для всех уравнений. [c.21]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология