Ньютона метод начальных условий

Методы дифференциальной гомотопии. С малыми затратами машинного времени можно существенно улучшить полученное классическим методом начальное приближение для метода Ньютона. Кроме того, если траектория гомотопии имеет точки перегиба, как это показано на рис. 5.11 и 5.12, гипотезы теоремы Ньютона - Канторовича не будут выполняться и классический метод не будет работать. Поэтому авторами издания была использована известная идея дифференцирования алгебраических уравнений для преобразования начальных условий системы обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.267]

Эти методы [6] основаны на квадратичном приближении Ф(а) в окрестности точки а . Метод Ньютона сходится только при достаточно близких к а начальных условиях а°, однако скорость сходимости примерно иа порядок выше, чем у метода градиентов. Если линии уровня Ф(а) сильно искривлены, то метод Ньютона сходится плохо. [c.231]

Общий шаг итерационного процесса Ньютона для решения такой системы будет состоять из 1) решения каким-либо из численных методов уравнений (10.14) при некоторых начальных условиях р, (0) и параметрах X,- 2) построения и решения системы линейных алгебраических уравне- [c.143]

В качестве начальных данных необходимо выбрать одну из точек, лежащую на кривой. Наши рассуждения показывают, что при построении стационарных решений возможна такая параметризация задачи, при которой применение приближенных методов типа метода Ньютона не дает результатов лишь в том случае, если решение задачи (11) не существует либо нарушаются условия теоремы единственности. [c.89]

Сам метод Ньютона не всегда удовлетворяет этому условию, поэтому при плохом начальном приближении часто используется следующая модификация этого метода [c.69]

Несмотря на указанные выше неизбежные ошибки в определении констант, планирование эксперимента оказывается полезным и при исследовании кинетики сложных систем и в интегральном реакторе. Дело в том, что знание хороших начальных приближений очень суш ественно при использовании методов нелинейного программирования, которыми обычно пользуются для расчета констант скоростей из условия минимума среднеквадратичного отклонения расчетных значений концентраций реагентов от экспериментальных. Важность знания хорошего приближения обусловлена локальным характером поиска, в то же время близость начальной точки к области минимума отклонения расчетных данных от экспериментальных является необходимым условием сходимости ряда методов поиска, которые во многих случаях быстро приводят к цели (например, метод Ньютона [91]). [c.304]

Из методов этого класса наилучшим образом себя зарекомендовали некоторые модификации случайного поиска и метод Розенброка, хотя последний значительно уступает градиентным методам, например методу Ньютона или Дэвидона — Флетчера — Пауэлла [82, 95]. Самый большой недостаток прямых методов — их исключительная чувствительность к заданию начальных условий. Удачное задание начального приближения — это и есть такое задание, которое ведет к спуску именно в инфинум (3.157), а не к одному из локальных минимумов (3.156). В принципе это обстоятельство является отрицательным, затрудняя практическое решение, однако в методе случайного поиска именно оно используется для суждения о характере минимума. [c.221]

Существует несколько дгетодов численного решения подобных задач. Простейшим из них является метод Ньютона [8—12], который сводится к тому, что задаются начальные условия на одном из концов реактора. При этом, решая задачу Коши методом последовательных итераций, подбирают недостающие граничные условия на другом конце реактора. Однако в случае, когда система обладает большой чувствительностью, метод Ньютона требует значительного числа итераций, а иногда становится вообще неиршодным. В этом случае рационально использовать метод квазилипеариза-ции [13] или метод Вольфа [14, 15]. [c.118]

Однако если разорвать потоки 14 — 10 и 7—8, для согласования условно-выходных и условно-входных переменных нужно решать систему нелинейных уравнений (27Уз + 2)-го порядка. Тако разрыв схемы позволяет значительно снизить порядок решаемой системы, что особенно сказывается при наличии большого числа параллельных агрегатов. Например, для схемы одного из заводов, СК где N<2 = 1, а Л з = 2, при разрыве первым способом получается система 20-го порядка, вторым — 6-го. При реализации процесса в одну техноло1 ическую цепочку эта разница не так значительна (системы 6-го и 4-го порядков). Однако опыт расчета подобной схемы на машине Минск-22 показал, что при одинаковых начальных условиях и методе решения системы уравнений (метод Ньютона) число итераций сократилось незначительно, а время расчета — в 1,5—2 раза за счет уменьшения объема вычислений на. каждой итерации. С увеличением значений ТУз преимущество второго способа разрыва схемы перед первым по числу итераций и времени расчета существенно возрастает. [c.303]

Сходимость способа Ньютона — Рафсона рекомендуется исследовать путем непосредственного применения этого метода к решению различных задач, стояш их перед исследователем. Следует изучить использование различных начальных значений переменных. Если интерес представляют только положительные значения корней, а при промежуточном приближении получаются отрицательные значения перемеьных, необходимо предусмотреть возможность выбора новых значений переменных для следующего приближения. Как уже указывалось, целесообразно непосредственное испытание способа в отношении сходимости, так как труднее аналитически доказать сходимость или несходимость способа Ньютона — Рафсона для данной системы уравнений, чем найти конкретные условия, при которых получалась бы сходимость до желаемого результата для одних начальных условий и несходимость для других. [c.22]

Для численного интегрирования полученной системы обыкновенных дифференциальных уравнений была разработана программа. Поскольку, при течениях со свободной границей, мы имеем типичную двухточечную задачу, в которой часть граничных условий задана на одной хранице, а часть - на другой, то редукция к задаче Коши осуществляется отысканием неизвестных начальных условий итерационным методом Ньютона. [c.88]

НОГО времени ). Эти же у-равнения при тех же начальных условиях для были решены с использованием программы, основанной на методе Ньютона —Рэфсона. В результате было получено следующее решение [c.169]

Трудоемкость вычислений на каждой итерации. Как указывалось ранее решения системы уравнений принципа максимума неустойчивы и в связи с этим уравнения принципа максимума в ряде случаев (но не всегда) обладают большой чувствительностью. Это необходимо принимать во внимание, сравнивая трудоемкость вычислений при применении обоих методов. Итак, метод Ньютона требует на каждой итерации одного решения системы (VI,2)—(VI,3) с начальными условиями (VI,5) и (VI,12) и п решений системы (VI,36) с начальными условиями (VI,41). В случае, если система (VI,2)—(VI,3) обладает большой чл вствительностью, то решение задачи Коши для систем (VI,2). (VI,.3) и ( 1,36), (VI,37) может оказаться либо очень затруднительным (что в свою очередь может потребовать сложных и трудоемких методов численного интегрирования), либо же вообще невозможным. [c.167]

Система (II, 6) должна быть близка к линейной это условие будет выполняться, если начальное приближение находится достаточно близко от решения системы (И, 6). Действительно, при этих условиях шаг в соответствии с (II, 14), (II, 23) будет почти ньютоновским, примененным к системе, близкой к линейной, а, как мы видим, метод Ньютона дает решение системы линейных уравнений за один шаг. При невыполнении этих условий трудно ожидать хорошей сходимости метода. А поскольку при плохом начальном приближении второе условие часто не вьшолняется, то и метод в этих случаях сходится не очень быстро. И, действительно, типичная картина зависимости нормы правых частей системы от номера итерации проиллюстрирована на рис. 9. Вначале достаточно долго наблюдается очень медленная сходимость, и только в конце итерационного процесса норма начинает очень быстро уменьшаться, т. е. сверхлинейная сходимость появляется только в конце итерационного процесса, когда выполняются оба условия, матрица Я становится близкой обратной матрице Якоби, а система (II, 6) вследствие близости итерационной точки к точке решения становится близкой к линейной. [c.71]

Рассмотрим алгоритм первого уровня7(см. рис.[ 20). Ранее было показано, что при I Ч- 1-м решении систем нелинейных уравнений стационарного режима ХТС квазиньютоновским методом может быть использована информация о решении и матрице Якоби, полученная при -том решении системы нелинейных уравнений. При этом есть надежда, что такой прием окажется успешным, поскольку критерий как функция независимых переменных обычно является пологой функцией (кривизна ее мала), и шаг на втором уровне изменяет управления не на очень большую величину, т. е. выполняется условие (II, 196). При решении систем нелинейных уравнений 1-го уровня (см, рис. 20) методом Ньютона начальное приближение для ( + 1)-го решения систем нелинейных уравнений также может быть построено с использованием предыдущей информации (II, 200). [c.131]

Процесс Ньютона в методе контурных расходов (М1СР) реализуется не в общем виде, а с некоторыми особенностями, существенно учитывающими сетевую специфику задачи расчета потокораспределения и связь между матрицами А и В. Во-первых, все приближения д берутся строго удовлетворяющими уравнениям первого закона Кирхгофа. Это будет обеспечено, если данное условие соблюдено для начального приближения т.е. [c.67]

Для к = 1,2 они А - устойчивы.Ддя к = 3,4,5,6 область их абсолютной устойчивости уменьшается, однако свойства А (а) устойчивости и 5 -устойчивости сохраняются. Коэ бициенты и а также область абсолютной устойчивости этих методов можно найти в работах [ 14,15]. Требование устойчивости приводит к необходимости использования неявных методов, поэтому на кавдом шаге интегрирования приходится решать систему алгебраических или трансцендентных уравнений с большими константами Липшица, характеризуицими жесткость системы. Применение метода простых итераций приводит к существенным ограничениям на шаг. При этом теряется преимущество л и А(а) - устойчивых методов. В то же время применение метода типа Ньютона, при условии достаточно хорошего начального приближения, почти полностью снимает подобные ограничения на величину шага. [c.15]

Для общих расчетов при помощи обсуждаемых здесь соотношений служат функции и (уравнение 4.6), чтобы определить нулевые точки. Выбор переменных (величин х) может осуществляться для различных ограничительных условий в соответствии с практической задачей. Для решения пригоден, например, метод Ньютона, который позволяет получать лучшие результаты. Проблема состоит в том, что для получения новых значений переменных х расчеты детерминант не отвечают сингулярной матрице Якоби (матрица производных дР1дх). Однако не исключается появление сингулярных точек, если начальные значения заметно удалены от области расслоения или лежат внутри гетерогенной области, прежде всего в нестабильной области. [c.108]

Немногие другие методы современной науки прошли такой большой путь развития и были так тесно связаны с научным прогрессом. Анализ Фурье не мог быть открыт без разработки Ньютоном и Лейбницем дифференциального и интегрального исчисления. Именно в тот период (ХУП век) отмечался большой интерес к исследованиям фундаментальных явлений природы. В основу исследований, приведших в конечном итоге, примерно через три столетия, к созданию ФС как лабораторной методики, легли два параллельных направления науки. Одним из этих направлений являлась оптика с ее никогда, по-видимому, не прекращавшейся дискуссией о природе света, другим — исследование колебаний струн и проблем, связанных с граничными условиями. Ньютон, Гюйгенс и другие титаны эпохи Разума в Англии и на континенте внесли существенный вклад в развитие оптики, в то время как математики Тейлор, Бернулли, Эйлер и д Аламбер дали начальный толчок пониманию процессов колебаний. [c.90]

У/, удовлетворяющих граничные условия на другой границе, осуществляется путем "стрельбы" от одной границы слоя до другой. Обычно при использовании этого метода возникает необходимость в его модификации путем применения метода Ньютона [119], метода дополнительной прогонки [119] или повторной стрельбы [125]. Эти модификации связаны с численной неустойчивостью метода стрельбы и его сходимостью лишь в узкой окрестности решения [126]. Поэтому большое значение в реализации метода имеет выбор начального приближения. В работах [125, 127] в качестве такого приближения берется гольдмановская аппроксимация постоянного поля. В [81-83, 121] проблема решается путем последовательного решения краевой задачи с возрастающим значением плотности тока /, рассматриваемого как параметр, изменяющийся ступеньками с [c.280]

Во втором подходе [81-83, 121] дифференциальные уравнения в каждом из слоев решаются численно как задачи Коши. Параметры J находятся методом стрельбы из тех же условий, что и в первом подходе. Для этого формируется векторное уравнение F(7) = 0 (7 = корень которого находится методом Ньютона. В качестве начального приближения для решения при токе / -f Ai выбирается решение задачи при токе /. Поскольку уравнения Доннана (6.33), записанные для одноименно заряженных ионов (противоионов), плохо обусловлены на границе мембра- [c.281]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология