Разностный метод

Численные решения уравнения Навье - Стокса для промежуточных значений критерия Рейнольдса. Численное решение задачи обтекания твердой сферической частицы впервые проводилось Кавагути [20], который применил конечно-разностный метод, используемый в работе Тома [21] для течения вокруг цилиндра при Re= 10. В дальнейшем этот метод был усовершенствован и в ряде работ развит в релаксационный метод (метод Саусвелла), - см., например, [22]. Дженсоном [4] метод Саусвел-ла был применен к решению уравнений Навье—Стокса для течения вокруг сферы при Re = 5 10 20 и 40. Хамилек с соавторами [23], используя ту же разностную схему, что и Дженсон, построил решение для Re <100. Решение уравнений Навье - Стокса при Re <100 можно найти также в работе Симуни [24], где стационарная задача обтекания сферы рассмотрена с использованием разностной схемы для нестационарных уравнений методом установления. [c.19]

Существенным моментом при выборе метода является размерность задачи. Некоторые методы эффективны при решении небольших задач, однако с увеличением числа переменных объем вычислений настолько возрастает, что приходится от них отказываться. Такого класса задачи обычно имеют место при решении систем уравнений, поиске оптимальных значений параметров многомерных функций. Соответствующим выбором метода можно уменьшить время решения задачи и объем занимаемой памяти. Так, при решении систем линейных алгебраических уравнений объем вычислений для точных методов (типа метода Гаусса) пропорционален а для итерационных (типа простой итерации) — Л , где N — число неизвестных. При решении дифференциальных уравнений разностными методами матрица коэффициентов системы при числе узловых точек N содержит N элементов (при N = 100 для исходной информации необходимо отвести свыше 10 ООО слов оперативной памяти). Однако при [c.24]

В частности, в работах [23, 56, 58] для вычисления частных производных использован метод сопряженного процесса. Исследование чувствительности ректификационной колонны [58] показало, что точность расчета производных методом сопряженного процесса примерно такая же, что и исследуемых выходных параметров модели, а при использовании разностного метода точность [c.342]

Существенным моментом при выборе метода является размерность задачи. Некоторые методы эффективны при решении небольших задач, однако с увеличением числа переменных объем вычислений настолько возрастает, что приходится от них отказываться. Такого класса задачи обычно имеют место при решении систем уравнений, поиске оптимальных значений параметров многомерных функций. Соответствующим выбором метода можно уменьшить время решения задачи и объем занимаемой памяти. Это особенно эффективно при оперировании с разреженными матрицами, появляющимися при решении дифференциальных уравнений разностными методами или расчете многоступенчатых аппаратов. [c.261]

Метод нестационарных сеток. Для приближенного решения нестационарной краевой задачи в заданной области Q = QX X 10, Г], Й<=Л , конечно-разностными методами необходимо в Q построить разностную сетку. Зададим для этого произвольное разбиение отрезка [О, Т узлами /с = О, N, и для каждого построим в й сетку по пространственным переменным 2л. Совокупность всех узлов лт = 1 3л, образует сетку в Q. Сетку Qh будем называть нестационарной (НС), если 2 2 хотя бы для одного к < N. Другой способ построения НС состоит во введении подвижной системы координат, в которой берется стационарная сетка. Такие сетки будем называть подвижными (НС). НС появляются естественным образом при стремлении сократить вычислительную работу, требующуюся для нахождения приближенного решения с нужной точностью, путем минимизации числа узлов разностной сетки. Различного вида НС рассматривались в работах [11—20]. В [И, 12] для приближенного решения уравнения теплопроводности построены оптимальные НС с увеличением шага по пространству в два раза при переходе с А-го времен- [c.158]

Течение вокруг газового пузырька исследовалось также с помощью конечно-разностного метода [25], причем здесь удалось получить решение до Re <200. Обтекание газового пузырька практически безотрывно, и уже при Re 100 гидродинамические характеристики течения находятся в хорошем соответствии с данными расчетов, выполненными в приближении гидродинамического пограничного слоя [26]. Это обстоятельство позволяет течение вокруг газового пузырька при значениях Re порядка нескольких десятков или сотен описывать аналитическими формулами теории пограничного слоя. Сопоставление численных расчетов [25] с приближенными [15] показало, что для коэффициента сопротивления газового пузырька уже при Re >50 с достаточной степенью точности можно пользоваться формулой Мура (1.74). [c.19]

Исследование такого процесса ддя произвольных значений константы скорости реакции проводилось конечно-разностным методом в работе Бриана с соавторами [391]. Как показано Кишиневским [396], численные расчеты [391 ] с отклонениями, не превьппающими 5 %, могут быть аппроксимированы формулой- [c.270]

Разностный метод расчета экономии приведенных затрат позволит сравнивать варианты, учитывая только те составляющие затрат, по которым имеются различия. Этот подход удобен при выборе альтернативных решений, когда речь идет о конкурирующих способах разделения смеси, например мембранный или криогенный способы разделения воздуха. [c.270]

Результаты, приведенные в этом разделе, демонстрируют большие преимущества метода сопряженного процесса перед разностным методом вычисления производных. [c.226]

Обеспечение требований по минимизации памяти, занимаемой программами и информацией. Последнее важно вследствие матричного способа представления информации, когда значительная часть массивов содержит нулевые элементы (например, при решении дифференциальных уравнений в частных производных разностными методами). [c.58]

Большинство задач химической технологии в математической формулировке представляется системами уравнений, определяющих взаимосвязь многих факторов, от которых зависит течение процесса. В этой главе рассматривается решение таких задач. Они могут возникнуть при обработке экспериментальных данных, когда устанавливается зависимость между отдельными параметрами (глава XI), при описании массообменных процессов в стационарных условиях (глава X), при решении обыкновенных дифференциальных уравнений конечно-разностными методами (глава XII) и т. п. [c.228]

Методы, в основе которых используется информация о решении в ряде предшествующих точек, называются конечно-разностными методами или методами прогноза и коррекции. В отличие от формул Рунге—Кутта, в этих методах на каждом шаге интегрирования правые части уравнений вычисляются один или два раза, а разность между прогнозированным и скорректированным решениями дает оценку точности интегрирования и можёт быть использована для контроля величины шага. [c.365]

Алексеевский М. В. О разностной схеме для дифференциального уравнения с малым параметром при старшей производной.— В кн. Разностные методы математической физики. М. Изд-во МГУ, 1979, с. 36—60. [c.162]

Боков А. Г. Энергетические неравенства для некоторых трехслойных разностных схем на сетках, меняющихся во времени.— В кн. Вариационно-разностные методы в математической физике. Новосибирск изд. ВЦ СО АН СССР, 1978, с. 35—44. [c.162]

Оптимизация накладывает большие требования на расчет целевой функции, т. е. на расчет схемы. Все итерационные процессы, необходимые для вычисления критерия Р [в нашем случав решение уравнений (11,115) и системы (11,116)1, желательно выполнять с высокой точностью. Последнее становится особенно важным при вычислении производных разностным методом. [c.61]

Однако по затратам машинного времени разностный метод имеет ряд существенных недостатков [c.171]

Рассмотрим в качестве иллюстрации задачу исследования чувствительности стационарного режима ректификационной колонны с помощью метода сопряженного процесса и сравним на этом примере данный метод с разностным методом. Излагаемые результаты частично содержатся в работе [124]. [c.219]

Совершенно ясно, что чем больше блоков охвачено обратными связями, тем меньший эффект даст применение зон влияния для вычисления производных разностными методами. В частном случае, когда в схеме все блоки будут охвачены обратными связями, использование зон влияния ничего не даст. Отсюда может представить интерес совместное применение при расчете замкнутых схем подхода, когда учет обратных связей переносится в метод оптимизации, и использования зон влияния. Действительно, перенос учета обратных связей в метод оптимизации делает схему разомкнутой, и тогда применение зон влияния может оказаться выгодным. Покажем это на примере схемы, изображенной на рис. 4. [c.138]

В случае определения производных разностным методом получаются результаты, представленные в табл. 37 и 38. Расчет вы- [c.223]

Для Ре >0 уравнение (4.42) имеет ставдюнарное решение. Время релаксации процесса установления зависит от критерия Пекле. Характер этой зависимости проиллюстрирован на рис. 4.7, где представлена зависимость величины 8Ь(г)/811 от г, полученная на основании решения уравнений (4.42), (4.89) конечно-разностным методом при различных значениях Ре для стоксового режима обтекания твердой сферы [272]. Из рис. 4.7 следует, что с ростом Ре время релаксации заметно падает. Так, если для Ре= 1 значение Тр = 10, то при Ре= 1000 время релаксации Тр = <= 0,02. Кривая 1 построена для Ре = 0 в соответствии с формулой (4.90), а кривая 6 - для Ре =1000 по данным работы Коноплива и Сперроу [273], в которой задача пеоеноса решалась при больших значениях Ре [c.194]

Табличные данные показывают, что точность расчета производных методом сопряженного процесса примерно такая же, как и самих величин , а при использовании разностного метода [c.225]

При интегрировании конечно-разностными методами наибольшее распространение получили формулы, в которых решение аппроксимируется алгебраическими полиномами. В частности, формулы Ньютона — для интерполирования назад (формула 11— 29) используются в методе Адамса, а формулы Ньютона для интерполирования вперед (формула 11—28) — в методе Милна. Рассмотрим порядок получения формул интегрирования для дифференциального уравнения первого порядка [c.365]

Первая и самая большая трудность — нахождение матрицы вторых производных. Если уже получение первых производных с помош,ью разностей вызывало серьезные осложнения, то тем более путь вычисления вторых производных разностными методами вряд ли можно рассматривать как реальный способ решения такой задачи. По-видимому, единственный путь — это развитие алгоритмических методов получения матрицы вторых производных целевой функции, основанных на использовании аппарата сопряженного процесса. Действительно, матрица вторых производных может быть найдена, если для системы уравнений, состояш,ей из основного и сопряженного процессов, записать, в свою очередь, сопряженный процесс. [c.261]

В случае с. х.-т. с. с замкнутой топологической структурой при вычислении производных критерия разностным методом возникают новые, весьма значительные, осложняющие моменты. Поясним это следующим. Задачу оптимизации статического режима с.х.-т. с. [c.165]

Трудоемкость программной подготовки. В отношении трудоемкости программной подготовки все преимущества находятся на стороне разностного метода, и модифицированный метод сопряженного процесса оказывается менее трудоемким, чем основной. Данный недостаток является, однако, скорее относительным, чем абсолютным. Решение проблем, связанных с автоматизацией программирования сопряженного процесса (см. главу ХП), позволяет в значительной степени избежать трудоемкой программной подготовки при использовании метода сопряженного процесса. [c.167]

При решении задачи оптимизации производства стирола для расчета производных был применен метод сопряженного процесса, который позволил избавиться от указанных недостатков. Расчет производных (ТУ = 8) методом сопряженного процесса на машин Минск-22 потребовал 10 с, а с использованием оптимальных приращений Ам — 40 50 с. В табл. 24 приведены результаты расчетов производных методом сопряженного процесса и разностным методом при различных значениях Ам,-. [c.307]

Принципиально можно рассматривать непрерывный процесс как дискретный с достаточно большим числом стадий N и, таким образом, применять описанную в предыдущих разделах методику оптимизации для этого процесса. Зачастую именно такой путь оптимизации непрерывных процессов и используется, тем более, что при решении оптимальных задач на вычислительных машинах интегрирование дифференциальных уравнений обычно выполняется с применением разностных методов, по существу заменяющих непрерывньп процесс его дискретным приближением. Однако получаемые при применении принципа оптимальности уравнения для непрерывного процесса могут иметь самостоятельный интерес, поскольку при этом появляется возможность их решения иными методами. [c.308]

В данном случае использован разностный метод расчета экономии по приведенным затратам, позволяющий упростить за.чачу, учитывая тол .ко те затраты, по которым варианты различаются. Поскольку в компрессионной и абсорбционной маши-иа.ч используются различные формы энергии, сопоставление вариантов должно учитывать затраты ие только на получение холода в контуре холодильной машины а также капитальные вложения и эксплуатаци01п1ые издержка на производство того вида эиепгии, который используется. [c.192]

Решения внутренней задачи массообмена с химической реакцией при конечных значениях константы скорости реакций и в случае быстро-протекаюшей реакции получены с помощыо конечно-разностных методов в работах [407-410]. [c.280]

Рассмотрим теперь метод [32], позволяющий достаточно эффективно находить минимум и не требующий ре-шенпя этой вспомогательной задачп. Мы уже отмечали, что вырождение минимума функции цели илп его плохая обусловленность проявляется в плохой обусловленности вариационной матрицы правой части системы (3.158). При интегрировании таких жестких систем лучшие результаты (но сравнению с разностными методами) дают методы, основанные на аппроксимации исходной градиентной системы более простыми и легко интегрируемыми системами. Такая аппроксилшция достигается за счет линеаризации правой части системы (3.158). Прп этом минимизация проводится на траектории спстемы [c.220]

Начнем с квадратичных методов, основанных на использовании градиента минимизируемой функции. Очень важное значение в случае задач большой размерности приобретает проблема расчета производных целевой функции. Применение для этой цели разностей малонриемлемо вследствие больших вычислительных затрат и неточности расчета производных. Численные эксперименты но сравнению ряда методов переменной метрики с разностным вычислением производных [143] на нескольких тестовых примерах показали, что при ге >> 20 более эффективными становятся методы нулевого порядка. Кроме того, неточность расчета производных, присуш,ая разностному методу, лгожет значительно исказить направления поиска, а следовательно, и понизить эффективность методов. [c.260]

Ежегодная экономия приведенных затрат при использова-1 ни абсорбционной машины рассчитана по разностному методу [c.192]

Температура прогрева стальной конструкшпт рассчитана на ЭВМ конечно-разностным методом по формуле [50] [c.131]

Математическая постановка задачи. Рассмотрим разностные методы решения системы дифференциальных уравнений, оннсы-вающнх процессы тепломассонереноса в двумерном реакторе с неподвижным слоем катализатора. При этом будем учитывать распределение температуры и концентраций внутри зерна катализатора, перенос тепла по скелету катализатора и неравномерность распределения температуры и концентрации веществ по радиусу реактора. Естественным обобщением модели, предложенной в [1], на случай двумерного неадиабатического реактора будет следующая система дифференциальных уравнений [c.128]

Рассмотрим следующий пример. При расчете многостадийных процессов (папример, абсорбция, ректификация, экстракция), а также решении дифференциальных уравнений в частных производных разностными методами матрица коэффициентов системы уравнений имеет специальный вид с большим числом нулевых элементов. Для решения таких систем линейных уравнений обьга-но используются методы, позволяющие хранить в памяти только ненулевые элементы матрицы, благодаря чему существенно сокращается объем занимаемой памяти. Запишем подпрограмму решения системы линейных уравнений с трехдиагональной матрицей коэффициентов, алгоритм решения которой приведен в гл. 6. [c.290]

В работах сборника содержится ряд практических результатов по численным методам моделирования процессов тепломас-сопереноса в каталитических реакторах. Предложены и обоснованы разностные методы решения сложной системы нелинейных уравнений, описывающей поведение фронта в реакторе с учетом процессов в зерне и теплопроводности по скелету катализатора. Исследованы разностные схемы, аппроксимирующие дифференциальные уравнения с сильно меняюпщмися коэффициентами. [c.5]

Краевая задача (1) - (6) численно проинтегрирована на ЭВМ разностным методом для п=2 (одновременно адсорбируются два компонента смеси). Произведен анализ особых точек фазового пространства системы уравнений кинетики сорбции, что позволяет судить о характере решений задачи в целом. В ходе вычислительного эксперимента получены решения, которые можно разделить на два принципиально различающихся класса [2]. К первому можно отнести все решения классического вида типа бегущей концентрационной волны, реализуемые в тех случаях, когда один из компонентов явно превосходит фугой либо по скорости, либо по степени активности адсорбции на поверхность скелета пористой среды. Ко второму классу, представляющему наибольший интерес с точки зрения поягверждения конкурентного характера адсорбции, относятся решения в виде различных колебательных процессов. При этом, как показал [c.44]

Так как цропорцпонально общему количеству вычислений функции К[, а Кр — количеству направлений спуска, быстродействие градиентных алгоритмов минимизации определяется числами Kf и Кр, которые будут в Дальнейшем указываться при решении тестовых примеров и конкретных задач. Если производные находятся разностным методом, общее количество вычислений функ ии [c.30]

При применении метода модифицированного сопряженного процесса также возникают определенные трудности, связанные с выбором шагов приращений, и обусловленные ими неточности счета. Однако в данном случае вычисления частных производных разностным методом ограничены отдельными блоками схемы, поэтому шаги приращений можно проанализировать заранее, до решения задачи оптимизации. Кроме того, так как математические зависимости, которые описывают блоки схемы, существенно более просты, чем зависимости, характеризующие всю схему в целом, погрешности округления окажутся меньшими, чем в методе приращений. Согласно изложенному, можно ожидать, что в методе модифицированного сопряженного процесса в целом будет достигнута большая точность в определении частных производных критерия по незаввГсимым переменным, чем в разностном методе. [c.165]

Остановимся теперь на задаче определения частных производных критерия при применении первого подхода в качестве прихмера возьмем схему, приведенную на рис. 5. Для простоты будем считать, что в каждом блоке имеется только одна управляющая переменная. Тогда при применении разностного метода вычисления производных потребуется N + 1 итерационных процедур расчета замкнутой [c.132]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология