Матрица диагональная ортогональная

Планирование эксперимента — это постановка опытов по некоторой заранее составленной программе (плану), отвечающей определенным требованиям. Методы планирования экспериментов позволяют свести к минимуму число необходимых опытов и одновременно выявить оптимальное значение искомой функции. Выбор плана определяется постановкой задачи исследования и особенностями объекта. Процесс исследования обычно разбивается на отдельные этапы. Информация, полученная после каждого этапа, определяет дальнейшую стратегию эксперимента — таким образом возникает возможность оптимального управления экспериментом. Планирование эксперимента дает возможность варьировать одновременно все факторы и получать количественные оценки основных эффектов и эффектов взаимодействия. В ортогональных планах матрица моментов и ковариационная матрица диагональны, что существенно облегчает расчет коэффициентов уравнения регрессии, статистический анализ и интерпретацию результатов [10, 11]. [c.95]

В методе Якоби для приведения матрицы А к диагональному виду с помощью преобразования подобия (10—100) используется ортогональная матрица С, для которой имеет место равенство где <7 — транспонированная матрица. Ортогональная матрица С в этом методе определяется как предел последовательности элементарных преобразований, осуществляемых над элементами матрицы А с помощью ортогональных матриц вида [c.286]

Для того чтобы вычислить интеграл, нет необходимости использовать ортогональное преобразование х можно использовать любое линейное преобразование, которое приводит матрицу А к диагональному виду. Выведите таким способом (1.6.7) и (1.6.8). [c.33]

Здесь S = III, 1 ,. . ., Л— диагональная матрица с элементами ij,. . ., Хт у — вектор координат градиента в базисе 1, . . ., l ". Матрица S ортогональна (Н = S ), отсюда [c.180]

Как следует из результатов 3 и 4, а также из теорем I и II 5, ортогональные планы могут быть оптимальными с точки зрения различных критериев оптимальности. Кроме того, их большое преимущество еще и в том, что ковариационная матрица диагональна и поэтому оценки регрессионных коэффициентов получаются некоррелированными друг с другом. [c.163]

Числа обусловленности достигают своей минимальной границы, равной единице, для ортогональных матриц. Для любых других матриц числа обусловленности не меньше единицы. Для неотрицательных матриц, которые характерны для коэффициентов поглощения, существует единственный вид ортогональных матриц — диагональные матрицы. Следовательно, для неособенных неотрицательных матриц минимум чисел обусловленности Достигается только для диагональных матриц. Из этого также следует, что меньшие числа обусловленности будут иметь те неотрицательные матрицы, у которых вектора-строки будут наиболее плотно примыкать к единичным ортам, т. е. иметь минимальные углы с этими ортами, или максимальные косинусы углов. Частотам v оптимальных аналитических полос соответствуют [c.261]

Матрица и представляет собой матрицу такого преобразования, которое, согласно (V. 23), переводит матрицу Н в диагональную форму. Особенностью этой матрицы является то, что она точно соответствует матрице собственных векторов, т. е. содержит коэффициенты С],. .., линейных комбинаций (V. 14). Матрица О называется либо ортогональной, либо унитарной матрицей, а уравнение (V.23) называется унитарным преобразованием [c.167]

Задача может быть решена в три этапа На первом этапе матрица 8 с помощью ортогональных преобразований приводится к диагональному [c.233]

Матрица U, содержащая собственные векторы, является квадратной и ортогональной. Ее размерность равна К у. К или N х N в зависимости от того, каким способом, Q или R, она получена. Для различных видов диагональной матрицы наборы собственных векторов различаются. Если для матрицы Rq обозначить матрицу собственных векторов как V, а для матрицы Дд — как U, то можно записать следующее соотношение между матрицами, уже известное нам из сингулярного разложения [c.554]

Первое свойство (У.4) — равенство нулю скалярных произведений всех вектор-столбцов — назьшается свойством ортогональности матрицы планирования. Это свойство резко уменьшает трудности, связанные с расчетом коэффициентов уравнения регрессии, так как матрица коэффициентов нормальных уравнений (Х Х) становится диагональной и ее [c.160]

Многофакторный план называется ортогональным, если информационная матрица его линейных и смешанных второго порядка эффектов диагональна. [c.161]

Выведем соотношение ортогональности для характеров двух представлений. Вернемся к уравнению (20) и рассмотрим лишь диагональные элементы матрицы, так как все произведения, включающие недиагональные элементы, дадут при суммировании 0. Тогда уравнение (20) принимает вид [c.61]

Две действительные симметрические матрицы А и В могут быть одновременно приведены к диагональной форме с помощью ортогональной матрицы Т, такой, что [c.245]

Приведенную аргументацию можно изложить гораздо короче все указанные преимущества суть следствие использования ортогональных функций, которые приводят матрицу нормальных уравнений к диагональному виду. Но такое объяснение требует знакомства с соответствующим математическим аппаратом, и мы надеемся, что статья показывает настоятельную практическую необходимость его освоения. [c.163]

Поскольку ортогональны, матрица содержит только диагональные элементы они имеют смысл спиновой плотности, которая есть на каждой молекулярной орбитали. Величины — это вклад в полную спиновую плотность, которая создается -ой молекулярной орбиталью. [c.32]

Она определяет спиновую заселенность атомных орбиталей Яиц. Поскольку фх и ф не обязательно ортогональны, матрица рх. может иметь также и недиагональные матричные элементы. При этом диагональные элементы определяют спиновую плотность, локализованную на данной атомной орбитали, а недиагональные — плотность в области перекрывания атомных орбиталей. [c.32]

Если матрица А имеет ранг г, который определяется автоматически по уравнению (И) (по числу равных нулю собственных значений .1. ), то ортогональная матрица ф, составленная из собственных векторов ф - , приводит матрицу Л к диагональному виду [c.341]

Характеристическим набором считается такой набор координат, для которого матрица Ь принимает наиболее диагональную форму , т. е. недиагональные матричные элементы должны быть малыми по сравнению с диагональными. При этом указывается, что такая матрица Ь отвечает физически наиболее значимому или близкому к нему набору координат, так как каждой экспериментальной частоте соответствует определенная максимальная компонента формы колебания, стоящая на главной диагонали матрицы Ь. В качестве матрицы, обладающей наиболее диагональной формой, принимается матрица Ь, след которой максимален, так как сумма квадратов элементов матриц, связанных друг с другом ортогональными преобразованиями, — постоянная величина, т. е. не зависит от выбора С. Действительно, легко показать [5], что [c.95]

T. e. уравнение (43) выполняется. Выражения (47) и (48) были получены нами ранее [341 и несколько позже были приведены в работе [45]. Более частные уравнения, связывающие матрицы собственных векторов, соответствующих матрицам U и единичной матрице Е, были приведены в работе [36]. Таким образом, матрица потенциальной энергии и (48а) целиком определяется произвольной ортогональной матрицей (0R), если задана диагональная матрица Л, состоящая из квадратов частот нормальных колебаний. Ортогональную матрицу R, соответствующую жесткому вращению, можно представить как произведение п п—1)/2 вращений (матриц) [46]. Каждая из этих матриц дает вращение, в котором участвуют только две координатные оси, т. е. каждая такая матрица будет зависеть от одного параметра уц (угла поворота). [c.357]

Таким образом, если заданы матрицы и Ль то ортогональная матрица Яг и диагональная матрица Мг определяются однозначно, ибо эти матрицы будут матрицами собственных векторов и собственных значений для матрицы В2 уравнения (55). В свою очередь, из равенства (55а) следует, что если Яг и Л2 заданы, то Я и Л1] определяются однозначно, так как эти матрицы будут матрицами собственных векторов и собственных значений для В, уравнения (55а). Следует заметить, что вследствие симметричности матриц В Вг ортогональные матрицы Я и Яг определяются однозначно за исключением той неоднозначности, которая может возникнуть в случае вырождения. Однако этот особый случай обычно рассматривают отдельно. [c.359]

Матрицы О) и Ог полностью определяются исходным приближением Uq, а матрицы Ri и R2 находят в процессе согласования матриц потенциальной энергии. Ортогональные преобразования подобия с помощью соответствующих матриц R и О переводят диагональные матрицы Л] и Лг из соответствующих несовпадающих систем нормальных координат в такие системы координат, из которых при помощи обратных матриц собственных векторов УГ и УГ по формулам (77) и (77а) получают достаточно близкие матрицы / i и i/ 2 в одной и той же системе естественных координат. Другими словами, вместо диагональных матриц Л1 и Лг в уравнение (36) подставляют ортогонально подобные им матрицы. [c.370]

Метод характеристического набора координат. В других моделях силового поля, определяемых матрицей кинематических коэффициентов, матрица Ь формируется из диагональной матрицы собственных значений Г и ортогональной матрицы собственных векторов и матрицы О. Указанные матрицы в отсутствие вырождения однозначно определяются из уравнения [c.94]

Критерии оптимальности планов. При определении критериев оптимальности планов для Бокса и его школы характерным является эмпирико-интуитивный подход. Сначала ими было предложено считать оптимальным ортогональные планы, позднее — ротатабельные, План ортогонален, если ему соответствует диагональная информационная матрица. Полученные по ортогональным планам оценки параметров независимы. План ротатабелен, если соответствующая ему ковариационная матрица инвариантна к ортогональному вращению координат. Выполнение этого условия делает любое направление от центра эксперимента равнозначным в смысле точности оценки поверхности отклика. [c.196]

Поскольку представление, соответствующее единичному элементу группы, изображается диагональной eAHHH4Hqn матрицей, то характер этого представления всегда равен размерности представления. Характеры эквивалентных представлений, т. е. представлений, отличающихся преобразованием подобия (Д, 2), совпадают. Характеры неприводимых неэквивалентных представлений взаимно ортогональны [c.691]

Итак, матрицу А можно привести к диагональному виду в результате ортогонального преобразования при помощи матрицы с. Видно, что диагональные элементы диагонализованной матрицы А (8.40) являются корнями секулярн010 уравнения (8.29). Отсюда ясен алгоритм нахождения решений уравнений метода Хюккеля с помощью ЭВМ. Сначала необходимо составить матрицу А, которая отличается от секулярного уравнения тем, что в ней опуздены неизвестные значения орбитальных энергий е,. Затем эту ма1рицу [c.277]

Поэтому матрица X должиа состоять из ортогональных векторов единичной длины (см. приложение 1, Г). Из уравиеипя (МР4) следует, однако, что матрица констант скоростей К становится диагональной после подобного преобразования Х КХ. Следовательно, матрица констант скоростей К должна быть симметричной, поскольку матрица X состоит из ортогональных столбцевых векторов (см. приложение I, Г). Это означает также, что после достижения равновесия количества всех компонентов равны. Но существует только одна система, для которой это справедливо. Мы уже знаем, что в общем случае матрица констант скоростей К для мономолекулярных реакционных систем не является симметричной. Матсен и Франклин утверждают В своем рассмотрении мы основываемся на предположении о существовании системы ортогональных собственных концентраций (наш термин — ортогональные характеристические направления). Мы видим, что такое предположение не оправданно, если используется состав а, на что прямо указывается в их статье. [c.245]

Первое СВОЙСТВО (уравнение П,217) — равенство нулю скалярных произведений всех вектор-столбцов — называется свойством ортогональности матрицы планирования. Благодаря этому свойству резко уменьшаются трудности, связанные с расчетом коэффициентов уравнения регрессии, так как матрица коэффициентов нормальных уравнений (Х Х) становится диагональной и ее диагональные элементы равны чисду опытов в матрице планирования ТУ. Диагональные элементы обратной матрицы (Х Х) [c.192]

Отсю,ад следует, что матрица ковариаций, определенная в (1.3,8), для распределения Гаусса равна А". Следовательно, распределение Г аусса полностью определяется средними значениями переменных и их матрицей ковариаций. В частности, если переменные некоррелированы, матрица А" диагональна, но тогда и А также диаго-нальна следовательно, переменные независимы. Таким образом, если известно, что совместное распределение гауссово, текоррелиро-ванностьу) подразумевает независилюсть (ср. упражнение в 1.3). Эта независимость всегда может быть получена с помощью линейного и даже ортогонального преобразования переменных. [c.32]

Таким образом, ортогональная матрица / 21 и диагональная матрица Л121 определяются однозначно. Подстановка / 21 в (58) дает возможность найти [/ и Следует заметить, что по причинам, которые будут изложены несколько ниже, последние три равенства удобнее переписать в несколько ином виде. Именно, коль скоро и / 21 — ортогональные матрицы, то [c.362]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология