Уравнения методы решения

Численные методы решения различных задач фильтрации газа на основе уравнения Л. С- Лейбензона также достаточно хорошо обоснованы в приложениях к проблемам разработки месторождений природных газов. При этом наибольшее распространение получили методы конечных разностей и конечных элементов. Вместе с тем, развитие теории фильтрации газов, вызванное требованиями практики разработки газовых месторождений, и, в частности, изменением горно-геологических условий их залегания (большие глубины, высокие давления и температуры, многокомпонентность газа и т.д.) потребовало учета в основном уравнении, предложенном Л. С. Лейбензоном, многих дополнительных факторов. Так, оказалось, что использование функции Лейбензона в форме (6.2) допустимо при небольших давлениях, в условиях недеформируемых пластов. При достаточно больших давлениях в условиях деформируемых коллекторов под знак интеграла в формуле (6.2) необходимо внести зависимости изменения проницаемости, вязкости и коэффициента сверхсжимаемости газа от давления. При неизотермической фильтрации во многих случаях необходимо учитывать также изменение свойств газа от температуры. [c.183]

Поскольку уравнение Лапласа линейное и однородное, его решения обладают следующими свойствами сумма частных решений есть также решение этого уравнения произведение частного решения на произвольную постоянную есть также решение этого уравнения. На основании этих свойств в подземной гидромеханике разработан метод решения сложных задач, названный методом суперпозиции (методом наложения решений). [c.105]

Таким образом, несмотря на относительную простоту формального математического аппарата вариационного исчисления, использование его для решения практических задач связано с преодолением значительных вычислительных трудностей, обусловленных, в основном, необходимостью решения краевых задач для нелинейных диф -ференциальных уравнений. Попыткой избежать этих трудностей и являются прямые методы решения вариационных задач, некоторые из которых приведены ниже. [c.220]

Метод проб и ошибок наиболее распространен при решении краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако во многих случаях этот метод поиска начальных условий приводит к задаче с неустойчивым решением. Тогда единственно возможным методом решения краевых задач на АВМ становится метод конечных разностей, приводящий к алгебраическим уравнениям. Моделирование же последних связано с большими трудностями и значительными погрешностями. Поэтому, несмотря на ряд очевидных достоинств, применение аналоговых машин для целей математического моделирования химических процессов из-за указанных причин является весьма незначительным по сравнению с цифровыми вычислительными машинами. [c.12]

Каждое уравнение решается независимо, но в случае необходимости в него подставляются значения величин, найденных из другого уравнения. Метод решения разъясняется на примере системы двух уравнений первого порядка. Другой пример см. на стр. 77. [c.398]

Согласно методу решения уравнения (V.8), данному в разделе V.l. [c.102]

Ty)U. Из графиков левой и правой части уравнения (VII.43) видно, что оно может иметь до трех различных решений. В случае эндотермической реакции величина J отрицательна, и потому отрицателен наклон прямых линий. В этом случае решение единственно. Вопрос о числе и характере решений мы еще обсудим при анализе устойчивости стационарного режима здесь же будет полезно сделать ряд замечаний относительно методов решения уравнения (VI 1.43). Это сложное уравнение удобно решать с помощью последовательных приближений. Так как правую часть уравнения трудно разрешить относительно Т, мы можем высказать некоторое предположение [c.163]

В случае сложного процесса, включающего несколько одновременно протекающих реакций, трудно провести исследование столь же полно, как и для одной реакции. Часто бывает полезно использовать тот же метод решения стационарных уравнений, т. е. решить R уравнений материального баланса [c.167]

В более сложных случаях система уравнений решается численными методами с применением ЭВМ. Достаточно хорошо разработаны численные методы решения самых разнообразных и очень сложных задач подземной гидромеханики. При этом упомянутые аналитические решения играют очень важную роль на них опробуются численные методы. [c.37]

Численные решения уравнения Навье - Стокса для промежуточных значений критерия Рейнольдса. Численное решение задачи обтекания твердой сферической частицы впервые проводилось Кавагути [20], который применил конечно-разностный метод, используемый в работе Тома [21] для течения вокруг цилиндра при Re= 10. В дальнейшем этот метод был усовершенствован и в ряде работ развит в релаксационный метод (метод Саусвелла), - см., например, [22]. Дженсоном [4] метод Саусвел-ла был применен к решению уравнений Навье—Стокса для течения вокруг сферы при Re = 5 10 20 и 40. Хамилек с соавторами [23], используя ту же разностную схему, что и Дженсон, построил решение для Re <100. Решение уравнений Навье - Стокса при Re <100 можно найти также в работе Симуни [24], где стационарная задача обтекания сферы рассмотрена с использованием разностной схемы для нестационарных уравнений методом установления. [c.19]

При моделировании на ЦВМ получается совокупность чисел, отражающих конечный результат протекания процесса. Картину же изменения внутренних связей между физико-химическими величинами в ходе решения получить нельзя. Причиной этого является сам принцип дискретности работы цифровой машины и вытекающая отсюда при решении необходимость предварительного преобразования дифференциального уравнения методами численного анализа. Естественно, что это в некоторой степени обесценивает результаты моделирования на ЦВМ. Однако возможность получения значительного объема числового материала при моделировании различных вариантов частично компенсирует [c.11]

Теория подобия имеет важное значение при переходе от теоретических исследований к инженерной практике. Существуют два противоположных взгляда на теорию подобия некоторые ученые и инженеры отвергают ее, так как она не дает точных решений, иногда чрезмерно упрощает дифференциальные уравнения, описывающие процесс, и выводы ее ненадежны другие считают теорию подобия достаточно простой и легкой, а применение ее методов — решением всех проблем и пользуются этими методами без необходимого анализа возможности их применения. По нашему мнению, обе эти крайние точки зрения на теорию подобия неприемлемы. [c.76]

Таким образом, следует еще раз подчеркнуть, что методы нелинейного программирования служат не только для решения специфических задач, ио, кроме того, являются необходимым средством, к которому приходится обращаться и при решении оптимальных задач другими методами, а также задач вычислительной математики. Простейший пример — проблема решения системы нелинейных уравненнй с большим числом неизвестных, где практически единственными общими методами решения служат методы нелинейного программирования. [c.547]

Обычно применяются приближенные методы решения уравнения (УП1-248). [c.277]

Описанный только что графический метод решения уравнений высших степеней (выше второй степени) довольно часто применяется в расчетной практике, однако это не значит, что он является единственно приемлемым методом. [c.140]

А— Приращение независимой переменной при числовом методе решения дифференциальных уравнений (шаг). hg—коэффициент теплоотдачи для наружной стенки реактора. Л —коэффициент теплоотдачи для внутренней ст нки реактора. Н—энтальпия. [c.17]

Во втором случае переменными являются лишь Т я х. Однако в дифференциальном уравнении эти переменные невозможно разделить, так что приходится прибегать к приближенному методу решения. Поскольку при третьем способе теплообмена процесс проводится изотермически, то интегрирование не составляет труда, но остается открытым вопрос о том, как изменяется R в ходе реакции, каковы должны быть температура теплоносителя и его расход, а также характеристики поверхности теплообмена. [c.100]

Барон разработал графический метод решения для случая отсутствия осевой проводимости и конвекции и при условии равенства температур жидкости и твердого вещества. Эти уравнения имеют вид [c.246]

В некоторых случаях решение дифференциального уравнения в частных производных может быть сведено к решению обыкновенных дифференциальных уравнений. Уравнение в декартовых координатах приводит к обыкновенным линейным дифференциальным уравнениям второго порядка с постоянными коэффициентами, решение которых выражается в виде показательных или тригонометрических функций. Цилиндрические координаты ведут к обыкновенным дифференциальным уравнениям, решение которых имеет вид бесконечных рядов, называемых функциями Бесселя. Метод решения дифференциального уравнения в частных производных может быть пояснен примером в декартовых координатах, поскольку свойства тригонометрических функций, возможно, лучше известны, чем свойства функций Бесселя. Ниже будут показаны как аналитическое, так и численное решения. [c.247]

Обычный метод решения линейных дифференциальных уравнений в частных производных—разделение переменных после подстановки. Допустим, что решение имеет вид [c.248]

Пример VIU-2. Применим к предыдущему примеру численный метод решения дифференциальных уравнений в частных производных, описанный в главе XII (стр. 399). [c.250]

Для многих дифференциальных уравнений точные решения не могут быть найдены, поэтому в таких случаях следует прибегать к приближенным методам. Как правило, наиболее точные из них вместе с тем наиболее сложны и трудоемки. Для многих практических целей упрощенные методы, применяемые в этой книге, являются достаточными. Для проведения некоторых специальных исследований требуются более совершенные методы, которые описаны в литературе [c.385]

Весьма затруднительно дать краткое изложение методов решений дифференциальных уравнений в частных производных . Более подробные сведения можно найти в литературе . Пример точного решения дифференциального уравнения в частных производных приведен выше (см. стр. 246). Нахождение точных решений таких уравнений часто довольно трудно. В таких случаях необходимо прибегать к численным методам. Существует большое число методов для решения дифференциальных [c.385]

Если видно, что рещение неточно, поскольку полученные значения колеблются или физически невозможны, то, вероятно, первое, что надо сделать—повторить вычисления с меньшими шагами. Можно применить некоторые критерии, содержащиеся в указанной выше литературе. Имеются более устойчивые методы решения, чем описанные здесь, но они слишком трудоемки для единичного применения. Они могут быть найдены в литературе, приведенной в этой главе. Примеры численных решений дифференциальных уравнений в частных производных даны выше (см. стр. 250). [c.400]

Различные методы решения математических уравнений, описывающих физические системы, часто бывают представлены в виде таблиц, при помощи которых мы можем теоретически определить поведение и характеристики интересующих нас систем. [c.97]

Если же хотят применить аналитический метод, то для каждой отдельной системы нелинейных дифференциальных уравнений нужно разрабатывать собственные методы решения. Много работ такого типа было уже проведено, однако наши сведения по указанному вопросу весьма поверхностны. Хиггинс в прекрасном обзоре на эту тему приводит обширный список возможных подходов к решению. Здесь кратко дано несколько методов решения нелинейных систем. [c.106]

В отличие от ЦВМ аналоговые машины позволяют отыскивать не только конечный результат решения, но и дают возможность моделировать ход самого процесса во времени в соответствии с его действительным протеканием в физической модели. Различие может быть лишь в масштабе физико-химических величин и, в отдельных случаях, в масштабе времени. Для этих машин характерны сравнительнб простые методы решения, экономия времени при расчетах (решение практически осуществляется мгновенно), наглядность получаемых результатов и, наконец, относительная дешевизна их. Однако аналоговая машина решает уравнения только с начальными условиями, в то время как многие задачи математического моделирования являются краевыми. Для решения последних на АВМ обычно пользуются методом проб и ошибок, т. е. последовательно подбирают начальные условия такими, чтобы условия в конце интервала интегрирования были выполнены. [c.12]

Все эти методы иллюстрируются тремя ветвями, изображенными на рис. IX-1. В пределах каждого типа математической модели с увеличением точности отображения растет сложность самой модели, становится необходимым полное воспроизведение экспериментального режима аппарата или же приходится пользоваться более сложными методами решения имеющихся уравнений, например машинными. [c.112]

Эта система совпадает с уравнениями типа 1 , рассмотрепньип в разделе .1. Согласно данному там методу решения, функции у [c.99]

Выбор методов решения уравнений статики й донамихи объекта. [c.18]

Как уже подчеркивалось ранее, система конечно-разностных уравнений является алгебраической и поэтому к ней применимы известные методы решения алгебраических уравнений. В то же время отметим, что каждое неявное конечно-разностное уравнение содержит только три значения искомой функции в соседних узлах. Вследствие этого матрица коэффициентов системы конечно-разностных уравнений имеет специальный, так называемый, трехдиагональный вид. Для системы (13.9) матрицей является [c.389]

Это уравнение с разделяющимися переменными может быть решено стандартными методами. Решения представляют собой АиВ как фуршцпп времени I. Система [c.47]

Методы исследования функций классического анализа (см. главу III) представляют собой наиболее известные методы решения несложных оптимальных задач, с которыми инженер знакомится при изучении курса математического анализа. Обычной областью исиользованин данных методов являются задачи с известным аналитическим выражением критерия оптимальности, что позволяет найти не очень сложное, также аналитическое выражение для производных. Полученные приравниванием нулю производных уравнения, определяющие экстремальные решения оптимальной задачи, крайне редко удается решить аналитическим путем, поэтому, как правило, применяют вычислительные машины. При этом надо реншть систему конечных уравнений, чаще всего нелинейных, для чего ириходитсп использовать численные методы, аналогичные методам нелинейного программирования (см. главу IX, стр. 530). [c.30]

Заслуживают внимания прямые методы решения задач оптимизации функционалов (см. главу V, стр. 220), обычно позволяю1цне свести исходную вариационную задачу к задаче нелинейного нро-грамкшрования, решить которую иногда проще, чем краевую задачу для уравнения Эйлера. [c.31]

Специфической особенностью методов решения оптимальных задач (за исключением методов нелинейного програмкшрования) является то, что до некоторого этана оптимальную задачу решают аналитически, т. е. находят определенные аналитические выражения, например, системы конечных или дифференциальных уравнений, откуда уже отыскивают оптимальное решение. В отличие от указанных методов при использовании методов нелинейного программирования, которые, как отмечалось выше, могут быть названы прямыми, применяют информацию, получаемую при вычислении критерия оптимальности, изменение величины которого служит оценкой эффективности того или иного действия. [c.34]

Для случая, когда аналитический вид соотношений (IX, 1) и (IX,2) известен и не слишком сложен и если, в особенности, число независимых переменных п невелико, всегда можно с большим или меньшим успехом использовать для решения оптимальной задачи аналитические методы, ио крайней мере, для того, чтобы свести ее решение к решению системы конечных уравнении. Примеры решения подобных задач уже приводились (см. главы III и IV). Кроме того, вьиие также был описан весьма важный класс задач, когда соотношения (IX, 1) и (IX,2) являются линейными, для решения которых применяется математический аппарат линейного программирования (см. главу VIII). [c.480]

Приближенные методы решения при больших числах Пекле. Для больших значений критерия Пекле уравнение (4.42) для ядра потока (в области, непосредственно не премыкающей к поверхности капли и ее оси) имеет решение [c.182]

Разумеется, конечный результат не должен зат1сет]> от метода решения, если, конечно, положенные в основу расчета уравнения составлены правильно. [c.136]

Во всех областях техники часто приходится довольствоваться практически допустимыми приближениями, так как справочные данные не всегда полны и точны, а математические трудности часто слишком велики и непреодолимы, если располагать ограниченным временем. Поэтому часто применяют приближенные методы решения кинетических уравнений. Даже в тех случаях, ко№ можно найти точное решение, бывает целесообразно воспользоваться приближенными методами. Последние, будучи в принципе довольно простыми, обычно весьма трудоемки. Однако все возрастающее применение электронно-счетных машин облегчает инженеру этот труд. Кроме того, электронные машины, давая возмсжнссть вести расчеты в очень малых интервалах изменения параметров, позволяют получить решения, не уступающие по точности аналитическим. [c.15]

Задачи, стоящие перед теорией расчета систем автоматического регулирования, решаются для линейных и нелинейных систем по-разному. В первом случае для систем невысокой степени сложности пригодны аналитические методы решения дифференциальных уравнений классическими и сокращенными способами Часто применяются графические методики с использованием частотных характеристик (Бодэ - и НайквистЗ. ) и [c.96]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология