Собственные функции радиальные

Особенности собственных функций. Радиальная составляющая функции о, ф) или радиальная функция Р г) задается квантовыми числами пи/. Указанные квантовые числа характеризуют функцию радиального распределения вероятности пребывания [c.53]

Собственные значения радиального оператора, расположенные в порядке возрастания, принято нумеровать целыми числами н, начиная с / + 1. Этот номер назьшают главным квантовым числом. Так как каждому й / отвечает только одна функция, этих же индексов достаточно, чтобы различить собственные функции Р 1. Для непрерьшного спектра > О число само служит себе номером. Соответствующее решение уравнения (3.10) обозначают Ра/. [c.120]

Вероятность нахождения электрона в какой-либо точке пространства определяется не только значением г, но также и величинами углов 0 и ф и, следовательно, зависит как от радиальной / пг(г), так и от угловой У(т(0, ф) частей атомной орбитали. Рассмотрим более подробно сферические гармоники Угт(0, ф) Функции (2.27) являются комплексными, что ясно из вида Ф-функций (2.19). Между тем в большинстве случаев удобнее работать с действительными функциями. Так как функции Угт(0, ф) иУг-т(0, ф) вырожденные, можно воспользоваться свойством вырожденных собственных функций, согласно которому их линейная комбинация также является решением уравнения Шредингера с тем же собственным значением (см. с. 13). Функции У и У(ж" будут решениями уравнения (2.9) [c.32]

В табл. 1 приведены собственные функции или орбитали водородного атома. В ней представлены в явном виде выражения для радиальной и угловой частей. Поэтому полная собственная функция получается как произведение радиальной и угловой функций. Кроме того, для обозначения орбитали (символ орбитали) квантовое число п выражается цифрами, а значения / — строчными латинскими буквами [c.31]

Следовательно, уравнение (13), если его вновь поделить на sin имеет в качестве решений собственные функции 0 (i ), даваемые равенством (18), а собственными его значениями служат X = /(/ + 1)/2ц. Эти же значения X входят и в радиальное уравнение (10). [c.87]

Нетрудно убедиться, что функции ф, являются не только правильными функциями нулевого приближения, но и точными собственными функциями оператора Но + (после умножения их на одну и ту же радиальную функцию ). Кроме того, функции ф2, Фз, Ф4 и Фз не являются собственными для операторов I, и т.е. несмотря на симметрию поля, в котором находится злектрон, в этих состояниях проекция углового момента не сохраняется. Можно проверить, однако, чго эти функции являются собственными для операторов полного момента [c.396]

Метод разложения по собственным функциям, как уже отмечалось, не дает поля абсолютных скоростей, а позволяет получить только их радиальный профиль. Однако этой информации достаточно, чтобы определить влияние формы потока на разделение (4.84). Ниже представлены некоторые значения КПД формы с использованием результатов Паркера и [c.232]

В сферически симметричном случае решения уравнения (7.15) могут быть представлены в виде произведения радиальных и угловых функций. Переход от уравнения (7.15) к уравнению для радиальной собственной функции в точности повторяет соответствующий переход в уравнении Шредингера для движения частицы в сферически симметричном внешнем поле (см., например, [44]). При этом уравнение для радиальной части собственной функции уравнения (7.15) имеет вид, полностью идентичный уравнению для радиальной части волновой функции частицы в сферически симметричном внешнем поле [c.85]

Перейдем теперь к исследованию радиальных собственных функций точного решения уравнения Дирака. Эти функции выражаются формулой (68,10), в которой функции Р и О определены рядами (68,15). Коэффициенты av и 6v выражаются через ао п Ьо с помощью уравнений (68,17) и (68,19) при 5 = ( 2 — 22(х2) г. На бесконечности эти функции обращаются в нуль по тому же закону, что и в теории Шредингера ( 38). Убывание происходит тем быстрее, чем меньше главное квантовое число. Поведение волновых функций при малых р определяется асимптотическим выражением [c.318]

В случае произвольной функции / (г) функции / (г) ехр (. тф) и / (г) os не являются собственными функциями оператора Т. Они будут таковыми, если действие радиальной части оператора кинетической энергии сохраняет функцию / (г) (с точностью до постоянного множителя). [c.79]

Ф и г, 6. Радиальные собственные функции водорода. [c.117]

В этом случае уравнение для радиальной части собственной функции принимает [c.114]

Уравнение (5.4) для радиальной собственной функции формально совпадает с уравнением для одномерного движения с эффективной потенциальной энергией [c.115]

Нормированные радиальные собственные функции для Z — 1 з) [c.118]

Таким образом, все величины, входящие в (4.59), выражены полностью через интегралы от радиальных собственных функций. [c.135]

После того как мы нашли центральное поле, дающее удовлетворительное представление уровней энергии одноэлектронного спектра, мы можем использовать собственные функции этого поля для того, чтобы вычислить радиальные интегралы, [c.146]

Во-вторых, существуют члены, представляющие собой интегралы типа функции г, умноженной на квадрат радиальной собственной функции для валентного электрона. Все вместе они имеют вид [c.182]

Этим исчерпывается задача при одной декартовой координате с граничными условиями, требующими, чтобы ) было конечным в области —со х<]-]-оо. В атомной теории мы больше интересуемся уравнением для радиальных собственных функций, когда область изменения координаты от О до - -с , а граничные условия Р(0) = Я(оо) 0. Эта задача была рассмотрена Крамерсом следующим образом. Уравнение имеет вид [c.332]

Задав приближенно потенциальную функцию, можно определить собственные значения и собственные функции при помощи численного интегрирования радиального уравнения. Мы не будем пытаться дать полного изложения этого вопроса, так как он содержит различные технические детали, а дадим только набросок метода. [c.334]

Во-вторых, в методе Хартри радиальные функции не являются, как в гл. VI, собственными функциями одной и то й же задачи центрального поля. Поэтому на самом деле приходится вычислять величины [c.351]

Для растворов, содержащих частицы малых размеров (5—50 нм) радиальная функция распределения может дать сведения о форме частиц, например она позволяет оценить радиус вращения частиц. Такие исследования были проведены для некоторых сферических вирусов и многих белков, например для яичного альбумина [901. Чтобы получить данные о внутреннем строении частиц, таких, например, как наличие дискретных кластеров железа в растворе, необходимо определить собственную функцию рассеяния раство- [c.349]

Рис. 2.3. Радиальные составляющие собственных функций атома водорода

Подставляя это выражение в уравнение (13.52) и воспользовавшись для определения х уравнением (13.41), получаем нормированную радиальную часть собственной функции водородоподобного атома. [c.75]

НОРМИРОВАННЫЕ РАДИАЛЬНЫЕ СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ВОДОРОДОПОДОБНЫХ АТОМОВ [c.76]

В качестве общего правила следует указать, что собственные функции S и р 1 = 0 и 1) при одинаковых значениях п, например Л-оо, 2ю и фащ обнаруживают приблизительно одну и ту же зависимость от г, и поэтому различие между этими собственными функциями в основном обусловлено их зависимостью от углов 6 и ср. Другими словами, радиальные части этих собственных функций приблизительно одинаковы, но сферические собственные функции заметно отличаются. Это обстоятельство имеет важное значение в квантовомеханической теории валентности —см. параграф 20а. Путем комбинации значений Угт(б) с действительными значениями Z ( p), приведенными в табл. 3, можно легко определить полные сферические функции [c.79]

Приведенные функщш 2 (ф) и У (0) суть решения первоначального волнового уравнения, дающие распределение электрона по сфере при фиксированном радиусе, и поэтому называются сферическими собственными функциями. Радиальная часть волновой функции дается уравнением [c.165]

А различия в значениях квантового числа т/ при одних и тех же п и / обозначены нижними индексами справа от букв. Для графического представления атомных орбиталей (зависимость Ф от г, 9 и р) требуется четырехмерное пространство, что практически невозможно. Поэтому в соответствии с табл. 1 разобьем полную собственную функцию на радиальную и угловую части и воспользуемся двумя типами графической зависимости. Вероятность нахождения электрона на различных расстояниях от ядра можно наглядно выразить при помощи так называемого графика радиального распределения. Это мера нахождения электрона в сферическом слое между расстояниями г и г + г от ядра вдоль линии с заданными значениями углов в и /р. Объем, лежащий между двумя сферами, имеющими радиусы г и г + г, равен 4жг г1г, а вероятность пребывания электрона в этом элементарном шаровом слое пропорциональна 4 гг2[Л (г)]2, На рис. 13 приведено радиальное распределение величины 4ят2[Яп (г)]2, которая характеризует плотность вероятности нахождения электрона на различных расстояниях от ядра. [c.31]

Интересно сравнить эти результаты с результатами, полученными другими методами, например с численными решениями полной системы гидродинамических уравнений. В качестве базового варианта для сравнения примем центрифугу, исследованную в разд. 4.2.4 и 4.3.4 при соответствующем скоростном параметре Л = 25, в которой поток возбуждается диском, расположенным на одной крышке и вращающимся с угловой скоростью, несколько меньшей, чем ротор. На рис. П.2 приведены радиальный профиль осевой скорости в среднем сечении центрифуги (2/а = 5), полученный численным методом, а также первая собственная функция по Гингу, умноженная на постоянную, которая выбрана из условия совпадения максимума скорости на оси ротора. Приведенные профили различаются значительно, но следует отметить, что осевое расстояние 2/а=5 от источника возмущения недостаточно, чтобы собственные функции Гинга более высоких порядков полностью затухли. С другой стороны, разделительный КПД согласно решению Гинга составляет 30%, в то время как наш метод оптимизации дает 43%. Это различие объяснимо, если принять во внимание механизм возбуждения в расчетах Гинга возбуждение затухает с удалением от крышки, а при методе оптимизации, описанном в разд. 4.3.4, различные типы возбуждения налагаются друг на друга и оптимизируются. [c.232]

Дальнейщее сравнение собственных функций оператора квадрата углового момента, т. е. равенства (4.72), с собственными функциями атома водорода (см. табл. 3.1) показывает, что угловые части этих функций (сферические гармоники) в обоих случаях одинаковы. Поскольку для операторов и S z радиальная часть волновых функций атома водорода ведет себя как постоянная, на основании теоремы 4 можно сделать вывод, что операторы 5 , и S z попарно коммутируют. К такому же выводу можно было прийти путем исследования коммутационных соотнощений для рассматриваемых операторов, представленных в аналитическай форме. Отсюда следует, что для атома водорода все три измеряемые величины Е, D- и Lz) — постоянные движения, и читатель может убедиться самостоятельно, какое значение имеет взаимная коммутативность трех указанных операторов с учетом рассмотренных выще теорем. [c.64]

Если при вычислении матричного элемента взаимодействия // используются точные волновые функции, т. е. собственные функции оператора /У, то все три формы записи И ь соверишнно равноправны и должны приводить к одному результату. В случае же приближенных функций результаты могут оказаться совершенно различными. Основной вклад в радиальные интегралы (33.7) — (33.9) дают различные области значений г. Очевидно, что лучшие результаты получаются в том случае, если функции Р , будут определены с наибольшей точностью именно для тех значений /, которые наиболее важны при вычислении интегралов [c.402]

Радиальные функции (г) и R pir) не будут сильно различаться друг от друга если мы возьмем собственные функции типа Слэйтера, то они будут идентичны. Полагая, что радиальные функции идентичны, и выписывая только угловые части волновых функций, имеем [c.293]

Прежде чем перейти к обсуждению численных результатов применения метода Хартри, заметим, что поле каждого электрона зависит от рассмотренной конфигурации. Поэтому полученные для различных конфигураций ( > не ортогональны друг другу и, следовательно, не могут служить для вычисления меж-конфигурационного взаимодействия по теории возмущений. С другой стороны, различные полные наборы квантовых чисел, принадлежащие к одной и той же конфигурации, имеют взаимно ортогональные собственные функции, так как их ортогональность зависит попросту от шаровых и спиновых функций. Поэтому мы можем применять радиальные функции, найденные при помощи метода самосогласованного поля, для расчета структуры термов данной конфигурации методами, развитыми в предыдущих главах на основе более точного приближения центрального поля, изложенного в гл. VI. [c.346]

Для неионизованного атома имеется лишь ограниченное число решений уравнения Шрёдингера, удовлетворяющих всем сформулированным выше требованиям. Такие дозволенные решения называются собственными функциями, и каждое из них описывает состояние — орбиталь, на которой в атоме могут находиться два электрона. Приемлемые решения для первых трех оболочек атома водорода приведены в табл. 1-2. Орбитали отличаются нижними индексами при г) каждая орбиталь однозначно определяется набором квантовых чисел п, I н т, где п соответствует основному номеру оболочки (мы еще остановимся на квантовых числах более подробно). Уравнения для г з р разделяются на радиальную часть г (г) (зависящую от расстояния г) и угловую часть г 3(е,(являющуюся функцией углов 0 иф). Полная волновая функция представляет собой просто произведение этих двух частей, т. е. гр = г1з(е,ф) 13(г).Выражения для 5-орбиталей не включают никакой зависимости от углов, и поэтому они обладают сферической симметрией. [c.21]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология