Собственные функции сферические

Сферическая симметрия атома будет учтена более полно, если конфигурация будет представлена базисом, состоящим из общих собственных функций операторов и Такие представления называют УМу-пред-ставлениями. [c.128]

Мы указывали, что наряду с насыщаемостью типичным свойством валентности является ее направленность. Она может возникнуть в том случае, когда собственная функция электрона не обладает сферической симметрией. В гл. XXI было показано, что s-электроны описываются функциями, обладающими этой симметрией, и поэтому не могут привести к направленной валентности. [c.476]

Направленность ковалентной связи. Геометрическая направленность ковалентных связей соответствует направлению максимальных значений собственных орбитальных функций, так как в этих направлениях возможность перекрывания орбитальных собственных функций является наибольшей. Отсюда следует, что причина направленности химической связи заключается в зависимости атомных волновых функций, кроме п5-орбиталей, от сферических углов и ф (см. с. 54). [c.85]

Вероятность нахождения электрона в какой-либо точке пространства определяется не только значением г, но также и величинами углов 0 и ф и, следовательно, зависит как от радиальной / пг(г), так и от угловой У(т(0, ф) частей атомной орбитали. Рассмотрим более подробно сферические гармоники Угт(0, ф) Функции (2.27) являются комплексными, что ясно из вида Ф-функций (2.19). Между тем в большинстве случаев удобнее работать с действительными функциями. Так как функции Угт(0, ф) иУг-т(0, ф) вырожденные, можно воспользоваться свойством вырожденных собственных функций, согласно которому их линейная комбинация также является решением уравнения Шредингера с тем же собственным значением (см. с. 13). Функции У и У(ж" будут решениями уравнения (2.9) [c.32]

Собственные функции водородоподобного атома получены нами в сферических координатах, поэтому целесообразно интегралы (2.60) также вычислять в этих координатах. Рассчитаем сначала последний из интегралов (2.60). Учитывая, что 2 = г os 0, его можно записать в виде [c.40]

При доказательстве учесть, что собственными функциями оператора квадрата момента количества движения являются сферические функции УJ М] обладающие, в частности, следующими свойствами [c.35]

Для химии первостепенное значение имеет угловое распределение плотности электронного облака. Как это видно из табл. 1, пз-ор-битали не зависят от сферических углов их собственные функции не содержат членов, зависящих от углов д и ф. Поэтому все атомные м5-орбитали обладают сферической симметрией. На рис. 16 показаны формы электронных облаков, соответствующие различным атомным орбиталям. Рис. 16 представляет собой геометрическое выражение квадрата угловой части собственной функции [c.45]

Для электронов металла характерно иаличие двух различных областей — между и вблизи ионов. В методе присоединенных плоских волн (ППВ) вводятся различные потенциалы — внутри сфер некоторого радиуса потенциал, обладающий сферической симметрией, а между ионами — постоянный. Собственные функции для одинаковой задачи, отвечающие этим потенциалам, сходятся на границах. Этот метод еще существенно снижает число членов в разложении. [c.645]

Как видно из табл, 24 и рис. 227, а, собственные функции я-орбиталей нв зависят от углов А и ф и, следовательно, обладают сферической симметрией. Три р-орбитали похожи на гантели. Они имеют ясно выраженный направленный характер, причем [c.191]

Другими словами, Р ф) [а значит, и полная волновая функция 1])(0, ф)] есть собственная функция оператора г, принадлежащая собственному значению МН. Этот вывод тоже является общим для квантовомеханической задачи об угловом моменте. Всякая приемлемая волновая функция для системы, находящейся в стационарном состоянии, должна быть собственной функцией полных операторов Р и 1г для этой системы. Если система обладает сферической симметрией, то соответствующие уравнения на собственные значения имеют вид уравнений (3.72) и (3.74). [c.54]

В сферически симметричном случае решения уравнения (7.15) могут быть представлены в виде произведения радиальных и угловых функций. Переход от уравнения (7.15) к уравнению для радиальной собственной функции в точности повторяет соответствующий переход в уравнении Шредингера для движения частицы в сферически симметричном внешнем поле (см., например, [44]). При этом уравнение для радиальной части собственной функции уравнения (7.15) имеет вид, полностью идентичный уравнению для радиальной части волновой функции частицы в сферически симметричном внешнем поле [c.85]

Таким образом, мы приходим к заключению, что собственные значения оператора квадрата углового момента определяются квантовыми числами / = О, 1, 2,. .. с помощью выражения (8,12), а собственные функции этого оператора совпадают со сферическими функциями Угт(0ф) порядка I. При этом каждому собственному значению L , т. е. каждому значению квантового числа I, которое принято называть орбитальным квантовым числом, соответствует 21 -)- I сферических функции Y m. Эти функции отличаются значениями второго квантового числа т, называемого магнитным квантовым числом, принимающим при заданном I значения [c.37]

Сферические функции (как и собственные функции других операторов) определяются с точностью до произвольного фазового множителя, модуль которого равен 1. Например, вместо функций (8,13) иногда употребляются функции [c.38]

Итак, сферическая функция Ylm в, ф) является собственной функцией оператора квадрата углового момента, соответствующей собственному значению [c.38]

Из (34,9) следует, что сферические функции являются собственными функциями оператора инверсии. Все состояния с четными I [c.164]

В этом случае собственные функции оператора углового момента в координатном представлении совпадают со сферическими функциями от полярных углов [c.185]

Обобщенные сферические функции как собственные функции оператора момента [c.198]

Формулы (44,8), (44,19) и (44,23) указывают, что обобщенные сферические функции -Отк являются собственными функциями операторов и соответствуют собственным значениям квадрата момента й /(/+1). проекции момента Ьгп на ось 2 лабораторной системы координат и проекции момента й/г на ось вращающейся системы координат. [c.203]

Собственные функции У/гт операторов Я и Л называются векторными сферическими функциями. Векторные сферические функции, следовательно, удовлетворяют уравнениям [c.378]

Собственные функции связанного углового момента (тензорные сферические гармоники) равны [c.467]

Собственными функциями операторов V, являются сферические функции (О, ф), определенные выше формулами (1.14), (1.15), причем [c.83]

Это есть матричный элемент функции /, усредненный по всем направлениям в пространстве, вычисленный таким образом, как будто все собственные функции состояний, принадлежащих к оболочке п1, были сферически симметричны, и умноженный на полное число электронов в оболочке. [c.178]

Мы покажем сейчас, что собственные функции, построенные нами для приближения центрального поля, также являются собственными состояниями Геометрически очевидно, что в сферических координатах [c.183]

Третий и четвертый члены приблизительно равны и противоположны по знаку вследствие сферической симметрии собственной функции соответствующее ей поле подобно полю заряда, сконцентрированного в центре. Эти два члена не компенсируются полностью, потому что часть распределения заряда Р п1) проникает на более малые значения радиуса, чем часть заряда 15. [c.340]

Относительно характера отклонения от закона Кулона неизвестно ничего определенного. Рака сделал простое предположение, что ядро имеет сферическую форму и потенциал внутри яара остается постоянным, равным значению на поверхности ядра. Розенталь и Брейт использовали модель, имеющую разрыв потенциала на поверхности ядра, отвечающую модели потенциального барьера, употребляемую в теориях а-распада. Расчеты Розенталя и Брейта проводились при помощи релятивистского уравнения Дирака (раздел 5 гл. V). Результаты первой работы, в предположении, что радиусы ядер изменяются пропорционально кубическому корню из атомного веса (постоянная плотность ядра), дали значения изотопических смещений в спектрах таллия, свинца и ртути, значительно превышающие экспериментальные. Наиболее неопределенным элементом, входящим в расчет, является значение атомных собственных функций в ядре. В другой статье Брейт показывает, что значительная часть противоречия устраняется, если принять для 4 (0 ) полуэмпирическую формулу, предложенную Гаудсмитом, взамен значений, принимавшихся в первой статье. [c.400]

Для растворов, содержащих частицы малых размеров (5—50 нм) радиальная функция распределения может дать сведения о форме частиц, например она позволяет оценить радиус вращения частиц. Такие исследования были проведены для некоторых сферических вирусов и многих белков, например для яичного альбумина [901. Чтобы получить данные о внутреннем строении частиц, таких, например, как наличие дискретных кластеров железа в растворе, необходимо определить собственную функцию рассеяния раство- [c.349]

Собственная функция ф атома или молекулы не имеет физического смысла. В отличие от этого ее квадрат представляет собой плотность вероятности нахождения электрона в определенной части пространства (распределение электронной плотности). Волновая функция нормируется таким образом, чтобы вероятность нахождения электрона во всем пространстве составляла 1 (одноэлектронные волновые функции называют орбиталями). Расчеты показывают, что орбитали а-электронов сферически симметричны, орбитали /7-электронов по форме подобны гантелям, а для -электронов найдено более сложное распределение в пространстве. Кроме того, существуют гибридные орбитали, например s/J зр , зр. [c.22]

Из квантовой теории атома [Б П, стр. 167] вытекает, что собственные функции 5 и р при одном и том же главном квантовом числе п различаются зависимостью от углов 6 и ср (в сферических коор- [c.211]

Представления индивидуальных квантовых чисел просты. Диагона лизация секулярной матрицы дает сразу все уровни конфигурации Однако неполный учет сферической симметрии атома ограничивает слож ность конфигураций, которые могут быть исследованы. Второе следст вие неполного учета симметрии — это безликость состояний и энергий получаемых при диагонализации секулярной матрицы. Приходится дополнительно решать задачу их идентификации. /Л/у тредставления свободны от этих недостатков. Однако собственные функции оператора [c.135]

Существует изящный прием, с помощью которого можно вычислить энергию однократных уровней (термов), не прибегая к фактическому построению собственных функций Я (или и в случае термов). Этот прием, предложенный Слейтером, назван методом диагональных сумм, он заключается в следующем. В представлении индивидуальных квантовых чисел (точнее п1тц и nljmj -представление) секулярная матрица имеет характерную для сферически симметричного оператора квазидиагональную структуру (см. рис. 4). Кроме того, для каждо- [c.160]

А различия в значениях квантового числа т/ при одних и тех же п и / обозначены нижними индексами справа от букв. Для графического представления атомных орбиталей (зависимость Ф от г, 9 и р) требуется четырехмерное пространство, что практически невозможно. Поэтому в соответствии с табл. 1 разобьем полную собственную функцию на радиальную и угловую части и воспользуемся двумя типами графической зависимости. Вероятность нахождения электрона на различных расстояниях от ядра можно наглядно выразить при помощи так называемого графика радиального распределения. Это мера нахождения электрона в сферическом слое между расстояниями г и г + г от ядра вдоль линии с заданными значениями углов в и /р. Объем, лежащий между двумя сферами, имеющими радиусы г и г + г, равен 4жг г1г, а вероятность пребывания электрона в этом элементарном шаровом слое пропорциональна 4 гг2[Л (г)]2, На рис. 13 приведено радиальное распределение величины 4ят2[Яп (г)]2, которая характеризует плотность вероятности нахождения электрона на различных расстояниях от ядра. [c.31]

Состояние 1з является невырожденным Состояние с гаавным квантовым числом, равным двум, является четырехкратно вырожденным Одно состояние 25 также, подобно 1з, сферически симметричное Его собственная функция У1/2 (2-г/а)ехр(-г/2а) [c.42]

Используя (8,13), легко убедиться, что сферические функции одновременно являются собственными функциями оператора Гг = — /й — проекн ии углового момента на ось г, так как они удовлетворяют уравнению [c.38]

В следующих параграфах мы убедимся, что обобщенные сферические функции являются не только неприводимыми представлениями трехмерной группы вращения, позволяюпшми преобразовывать собственные функции операторов моментов количества движения от одной системы координат к другой, повернутой относительно первой, ио также являются функциями, играющими большую роль при описании вращения твердого тела. [c.198]

Собственные функции, удовлетворяющие приведенному характеристическому уравнению, называются сферическими гармониками У/, т(0, Ф) и могут быть зэписаны путем разделения переменных в виде [c.36]

Дальнейщее сравнение собственных функций оператора квадрата углового момента, т. е. равенства (4.72), с собственными функциями атома водорода (см. табл. 3.1) показывает, что угловые части этих функций (сферические гармоники) в обоих случаях одинаковы. Поскольку для операторов и S z радиальная часть волновых функций атома водорода ведет себя как постоянная, на основании теоремы 4 можно сделать вывод, что операторы 5 , и S z попарно коммутируют. К такому же выводу можно было прийти путем исследования коммутационных соотнощений для рассматриваемых операторов, представленных в аналитическай форме. Отсюда следует, что для атома водорода все три измеряемые величины Е, D- и Lz) — постоянные движения, и читатель может убедиться самостоятельно, какое значение имеет взаимная коммутативность трех указанных операторов с учетом рассмотренных выще теорем. [c.64]

Итак, согласно (1.15), (1.16) функция является собственной функцией квадрата полного момента количества движения и его проекции па ось г. Входящие в определение сферические функции Уг , УГГ являются согласно (1.11) собственными функциями угловых момептов Ц, Ьхг и а, Аг- Как известно, в квантовой механике построение собственных функций и из произведений собственных функций Ц, и Ь , Ьзг осуществляется с помощью коэффициентов Клебша — Гордана [13, 15, 16]. Отсюда следует, что величины F ( 1, т) должны с точностью до миолштеля, пе зависящего от т, совпадать с коэффициентами Клебша—Гордана [c.83]

Для задачи с п электронами порядок этого уравнения равен 2 , так что задача будет практически разрешимой только в том случае, если можно разлолсить вековой детерминант на произведение детерминантов низшего порядка. В атомной задаче это делалось при помощи операторов М , М , 8 и 8 , коммутирующих с гамильтонианом. Из-за отсутствия сферической симметрии в большинстве молекулярных систем операторы и больше не будут коммутировать с гамильтонианом, и, таким образом, они теряют свою полезность. В рассматриваемом нами приближении, которое не учитывает спиновых взаимодействий, операторы 8 и 8 коммутируют с гамильтонианом и могут быть использованы, чтобы понизить порядок векового уравнения. Каждая из собственных функций ср является уже собственной функцией 8 , так как каждый член в разложении детерминанта (р является собственной функцией 8 с одним и тем же собственным значением. Собственное значение любой из функций ср для 8 находится из соотношения [c.309]

Приведенные функщш 2 (ф) и У (0) суть решения первоначального волнового уравнения, дающие распределение электрона по сфере при фиксированном радиусе, и поэтому называются сферическими собственными функциями. Радиальная часть волновой функции дается уравнением [c.165]

Для неионизованного атома имеется лишь ограниченное число решений уравнения Шрёдингера, удовлетворяющих всем сформулированным выше требованиям. Такие дозволенные решения называются собственными функциями, и каждое из них описывает состояние — орбиталь, на которой в атоме могут находиться два электрона. Приемлемые решения для первых трех оболочек атома водорода приведены в табл. 1-2. Орбитали отличаются нижними индексами при г) каждая орбиталь однозначно определяется набором квантовых чисел п, I н т, где п соответствует основному номеру оболочки (мы еще остановимся на квантовых числах более подробно). Уравнения для г з р разделяются на радиальную часть г (г) (зависящую от расстояния г) и угловую часть г 3(е,(являющуюся функцией углов 0 иф). Полная волновая функция представляет собой просто произведение этих двух частей, т. е. гр = г1з(е,ф) 13(г).Выражения для 5-орбиталей не включают никакой зависимости от углов, и поэтому они обладают сферической симметрией. [c.21]