Больцмана связь с уравнениями гидродинамики

Связь между уравнением Больцмана и уравнен гидродинамики [c.158]

Если обратиться к рис. 1.1, то в настоящий момент мы находимся в области, схематически обозначенной вторым усилителем. Он ведет от БИ к теории кинетических уравнений. Само уравнение БИ1 важно для нас тем, что оно является предшественником всех кинетических уравнений — уравнений для одной неизвестной функции Fi (более полное определение будет дано ниже). Исключительное значение функции Fi заключается в том, что из нее следует большая часть гидродинамики. Связь с гидродинамикой мы подробно обсудим в начале гл. III, а в конце ее выясним, какое значение для гидродинамики имеет функция 2- Вопрос о соотношении между гидродинамикой и кинетической теорией снова встретится в гл. IV в связи с интегралом столкновений в уравнении Больцмана и, наконец, в гл. V при рассмотрении анализа Чепмена — Энскога уравнения Больцмана. [c.113]

Для уяснения положения дел укажем на следующее обстоятельство. В уравнении Больцмана носителем информации является функция распределения, а основной временной масштаб связан со средним временем свободного пробега (10 с в нормальных условиях). С другой стороны, в гидродинамике временной масштаб определяется временем распространения звуковой волны на макроскопически конечное расстояние (обычно 10 3 с), а вся существенная информация определяется небольшим числом макроскопических параметров плотностью, гидродинамической скоростью и температурой. Иными словами, переходу от кинетической теории к гидродинамике соответствует сокращение формального описания. Такая ситуация напоминает ситуацию, рассмотренную в гл. 3. Там сначала проводилось динамическое описание задачи N тел с помощью ТУ-частичной функции распределения, удовлетворяющей уравнению Лиувилля, которое затем сводилось к описанию с помощью сокращенного числа переменных путем перехода к одночастичной функции распределения, удовлетворяющей (обобщенному) уравнению Больцмана. Удовлетворительное решение проблемы рассматриваемого здесь сокращения описания было впервые получено Гильбертом в 1912 г. в работе [100], посвященной существованию и единственности решения уравнения Больцмана. Рассматривая ограниченный соответствующим образом класс функций, в котором ищется решение уравнения Больцмана, Гильберт доказал наличие для любого момента времени взаимооднозначного соответствия между решением для функции распределения / и первыми пятью моментами этой функции плотностью, тремя компонентами гидродинамической скорости и температурой. Необходимо отметить, что тем самым устанавливается связь единственности любого решения уравнения Больцмана с решением уравнений гидродинамики. Теория Гильберта будет рассмотрена в 5.1. [c.117]

В Предыдущих главах мы рассмотрели теорию Чепмена—Энскога, которая весьма успешно применяется для получения уравнений газо- и гидродинамики и устанавливает связь значений кинетических коэффициентов В газах с силами, действующими между молекулами. Хотя еще осталось кое-что доделать, в целом можно считать, что разработка теории уже завершена. Существенно, правда, что при построении этой теории использованы допущения, которые сильно ограничивают возможность ее применения. Большая часть ограничений фактически присуща самому уравнению Больцмана, и прежде всего они связаны с тем, что это уравнение описывает лишь поведение газов, состоящих из одно-атомных молекул при малых плотностях. Теория для многоатомных и плотных газов пока еще весьма далека от завершения, хотя интенсивно развивается во многих направлениях. В этой области уже достигнут значительный прогресс мы попробуем описать современное состояние теории и укажем, каких результатов разумно ожидать в ближайшие годы. Хотя обе проблемы достаточно сложны, задача исследования многоатомных газов, по-видимому, все-таки более проста, чем плотных газов, поскольку здесь можно в большей степени положиться на интуицию (которая, правда, может и подвести). Поэтому мы вначале обсудим проблему многоатомных газов, а к плотным газам перейдем в следующей главе. Дальнейшее обобщение теории — на случай ионизованных и разреженных газов — мы отложим до последних глав. [c.297]

Структура главы такова. В 13.1 мы напоминаем некоторые результаты гл. 3 и формулируем обобщенное уравнение Больцмана. Затем с помощью вывода макроскопических законов сохранения и определения векторов потоков (т. е. тензора напряжения и вектора теплового потока) мы устанавливаем связь между кинетической теорией плотных газов и гидродинамикой. Чтобы решить обобщенное уравнение Больцмана с точностью до первого порядка по пространственным градиентам, в 13.2 мы развиваем метод, похожий на метод Чепмена—Энскога, и выводим выражения для коэффициентов переноса. Результаты этого параграфа все еще носят общий характер, поскольку при их выводе не используется никакая конкретная форма функциональной зависимости двухчастичной функции распределения от одночастичной. В 13.3 эти результаты развиваются применительно к сне- [c.369]

В завершение этой главы мы рассмотрим связь уравнения Больцмана с уравнениями гидродинамики. Эта связь чрезвычайно своеобразна, во-первых, из-за столь существенного различия между переменными, используемыми для описания газа в этих двух подходах, а во-вторых, из-за того, что временные масштабы обоих способов описания обычно совершенно различны. Для строгого математического исследования этого аспекта необходимо доказать сильную теорему существования в целома именно это и не удалось пока сделать. В пространственно однородном случае подобную теорему существования для твердых сфер удалось доказать Карлеману [19], а для обрезанного максвелловского межмолекулярного потенциала — Вайлду [222], доказательство которого позже было модифицировано Моргенштерном [16]. Кроме того, Повзнер [174] доказал теорему существования для некоего искусственного уравнения, переходящего в пространственно однородном случае в уравнение Больцмана с произвольным короткодействующим потенциалом межмолекулярного взаимодействия. Однако с физической точки зрения пространственно однородный случай не представляет особого интереса, так как при этом не может происходить изменения макроскопических переменных, а гидродинамика без пространственной неоднородности вообще не имеет смысла. С другой стороны, чрезвычайные затруднения, возникающие при попытках доказательства существования и единственности в нелинейной неоднородной кинетической теории, не должны нас удивлять, так как эта теория должна быть по крайней мере не проще соответствующей нелинейной теории уравнений Навье—Стокса (представляющей частный предельный случай), которую также пока полностью построить не удалось. Разумеется, всегда следует иметь в виду, что нет априорных причин для того, чтобы надеяться на существование решений произвольного нелинейного уравнения в целом. [c.158]

Поскольку большая часть задач о потоках газа при нормальных температурах и давлениях адекватно описывается уравнениями гидродинамики, важно понять связь между уравнением Больцмана и, скажем, уравнениями Эйлера или Навье—Стокса. Здесь следует упомянуть исследования Грэда, который в серии статей доказал, что уравнения гидродинамики эквивалентны асимптотической форме уравнения Больцмана. И в этом случае фундаментальную роль играет существование различных временных масштабов в гидродинамическом описании используется гораздо более грубый временной масштаб, чем в кинетической теории. В этой области еще многое предстоит сделать в частности, требуется тщательно изучить тесно связанные между собой вопросы о существовании и единственности решений начальных и граничных задач кинетической теории. [c.20]

Прежде чем приступить к изложению, заметим, что теория существования решений нелинейного уравнения Больцмана чрезвычайно сложна и полученные результаты пока очень скромны (см. 5.10). Для линеаризованного уравнения Больцмана задачи менее сложны, в связи с чем в последнее время был представлен целый ряд строгих доказательств существования и единственности решений различных задач с начальными и граничными условиями (см. работы [24—26, 94, 95, 177]). Можно надеяться, что изучеш1е этих доказательств поможет глубже понять структуру нелинейного оператора столкновений уравнения Больцмайа. Попутно заметим, что теория существования решений линеаризованного уравнения Больцмана имеет значение и сама по себе, поскольку это уравнение широко используется при изучении потоков сильно разреженных газов при малых скоростях, когда несправедливы обычные уравнения гидродинамики (см. гл. 15). [c.106]

Поскольку было показано, что для газов, находящихся при нормальных температурах и давлениях, уравнение Больцмана может быть решено с любой степенью точности, были предприняты попытки выйти за рамки некоторых ограничений, налагаемых уравнением Больцмана. В частности, предположение о парных столкновениях, на котором основан эвристический вывод интегро-дифференциального уравнения, данный впервые Больцманом, не позволяет применить результаты кинетической теории к плотным газам и жидкостям. Разумеется, у нас нет оснований априори утверждать, что для плотных газов должно вьшолняться обобщенное уравнение Больцмана. Однако существование связи между кинетической теорией и гидродинамикой, которая была наглядно продемонстрирована методами Чепмена и Энскога, позволяет предполагать, что подобное обобщенное уравнение Больцмана существует (хотя сам больцмановский вывод не содержит ни малейших указаний на пути построения подобного обобщения). Наиболее успешная попытка обобщения уравнения Больцмана на более высокие плотности принадлежала Энскогу (1917 г.) [66]. Однако она [c.19]

Из газовой динамики известно, что в большинстве встречающихся задач нет необходимости использовать детальное микроскопическое описание газа с помопдью функции распределения. Поэтому естественно поискать менее детальное описание, используя макроскопические гидродинамические переменные (плотность, гидродинамическую скорость, температуру), введенные в гл. 2. Поскольку-эти переменные определяются через моменты функции /, мы сталкиваемся с проблемой анализа различных моментов уравнения Больцмана. Особый интерес, разумеется, представляют моменты, соответствуюпще инвариантам столкновений, так как с ними непосредственно связаны гидродинамические переменные. Фактически мы покажем ( 4.1), что уравнения переноса для инвариантов столкновений идентичны гидродинамическим законам сохранениям тем самым будет установлена формальная связь между кинетической теорией и гидродинамикой. [c.71]

Прежде чем пытаться решить обобщенное уравнение Больцмана, установим формальную связь между кинетической теорией плотных газов и гидродинамикой. Мы проделаем это на основе цепочки уравнений ББГКИ [в частности, на основе уравнений (13.1.12) и (13.1.13)], т. е. без привлечения функциональной гипотезы. [c.373]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология