Гармонический осциллятор, плотность состояний

Волновые функции, приведенные выше, являются нормированными. Вероятность того, что координата х гармонического осциллятора находится в области между х и х- -йх, определяется выражением ф йiд , поскольку волновые функции действительны. Если рассматривается большое число идентично построенных систем, то их часть, имеющая координату между X п X йх, равна этой вероятности. Плотность вероятности г з в зависимости от х для первых трех уровней энергии представлена на рис. 12.7, в. В основном состоянии (у = 0) наиболее вероятное межъядерное расстояние соответствует положению минимума в потенциальной яме. Это противоречит случаю классического гармонического осциллятора, который большую часть времени должен находиться в точках поворота. Однако при увеличении квантового числа квантовомеханическая функция плотности вероятности приближается к соответствующей функции для классического гармонического осциллятора. Это представляет собой пример действия принципа соответствия (разд. 12.13), согласно которому квантовомеханический результат для бесконечного квантового числа в пределе должен приближаться к классическому результату. При возрастании квантового числа область, для которой значительна вероятность нахождения частицы, увеличивается, что аналогично увеличению амплитуды колебания классического гармонического осциллятора при более высокой энергии. Можно удостовериться в том, что при увеличении квантового числа функция плотности вероятности приближается к функции, предсказываемой классической механикой. [c.382]

Тогда ZqP может быть вынесена из-под знака интеграла. Для оценки интефала сделаем ряд предположений молекула А не вращается, она может быть представлена как система гармонических осцилляторов, плотность колебательных состояний р(е) остается равной р(Ео) при е> q. В рамках этого приближения [c.75]

Квантованный гармонический осциллятор, взаимодействующий с полем излучения. Пусть л -0, 1, 2,. .. — состояния осциллятора, обладающие энергией /iv(n- -l/2). Вероятности перехода пропорциональны матричным элементам дипольного момента, которые равны нулю всегда, за исключением переходов между соседними состояниями следовательно, это одношаговый процесс. Матричный элемент перехода между состояниями п— w п пропорционален п. Вероятность скачка за единичное время из п— в п есть = где р—множитель, который зависит от плотности излучения р с частотой V, но не зависит от п. Вероятность скачка из R в л — 1 есть [c.143]

Простейшее приближение для числа и плотности колебательных состояний получается при рассмотрении молекулы как набора классических гармонических осцилляторов, и, подобно предыдущему рассмотрению вращательных состояний (разд. 5.2), классическая формулировка легче всего выводится как предельный случай квантовой. [c.138]

И в плотность состояний гармонического осциллятора при энергии, равной энергии барьера Ео [c.195]

В заключение покажем, как выражается когерентное состояние осциллятора через матрицу плотности. Для гармонического [c.158]

Для вероятности резонансного излучения гамма-кванта без отдачи f расчеты дают выражение, полностью аналогичное формуле (1.36), причем под х ) нужно понимать средний квадрат проекции амплитуды колебания излучающего ядра на направление вылета гамма-кванта. Выражение (1.34) является общим для случая гармонического приближения и справедливо для любых кристаллов, содержащих произвольное число атомов в элементарной ячейке, но обладающих строго регулярной структурой. В этом случае, как показано в работах [37—39], вероятность перехода без отдачи практически определяется вероятностью перехода без изменения состояния решетки при любых температурах . Отметим, что Шапиро [41] получил для величины / выражение, аналогичное формуле (1.36), исходя из классических соображений о тепловых колебаниях излучающих атомов (тепловые колебания атомов становятся источниками модуляции гамма-излучения вследствие эффекта Допплера). Вероятность эффекта Мессбауэра, как это видно из формулы (1.34), связана с параметрами твердого тела через величины а (р, т) и < г(Р. " ))- Последние имеют простой физический смысл а (р, т) 1 — плотность распределения частот осцилляторов или так называемый фононный спектр твердого тела, т (р, т)) — средний квадрат амплитуды колебания отдельного осциллятора, который зависит от степени его возбуждения, т. е. от температуры твердого [c.30]

Гармонический осциллятор даже на нулевом колебательном уровне совершает колебания с так называемой нулевой энергией оло. не исчезающей и при температуре О К. В классической механике осциллятор при самом низком энергетическом состоянии покоился бы. Различие квантовомеханического гармонического осциллятора и классического хорошо иллюстрируют графики волновых функций г цл и их квадратов 1 1>к0л1 (рис. 75). Последние указывают плотность вероятности того, что межъядерное расстояние равно г. В классической механике скорость ядер в точках возврата равна нулю, и вероятнее всего можно найти ядра именно в этих точках. В квантовой механике для нулевого колебательного уровня вероятность нахождения ядер в точках возврата очень мала, а наиболее вероятное положение ядер отвечает равновесному расстоянию (рис. 75). Для уровня с [c.158]

Для систем с большим числом степеней свободы, таких, как рассматриваемые, число состояний в диапазоне энергий от до ( + dE) весьма велико и распределение энергии может быть представлено функцией плотности Q E)dE. Состояния, соответствующие активированному комплексу, определяются полной энергией между Е и (Е + dE) потенциальной энергией во и кинетической энергией 8 (рассматриваемой в реакционных координатах), измеряемой от начального момента реакции распределение этих энергий может быть представлено функцией плотности q ( , ео, 8()с1 . Потенциал появления каждого осколка должен быть равен потенциалу появления молекулярного иона плюс бо, соответствующее переходному состоянию потенциал появления может быть больше термодинамической величины, если существует энергия активации для реакции рекомбинации. На практике точный расчет Q и Q не может быть сделан, но Розенсток и сотрудники упростили задачу, приняв, что колебания ядер должны быть одинаковыми во всех допустимых электронных состояниях молекулярного иона и что любая энергия выше минимума на потенциальной поверхности переходит в движение ядра. При этих допущениях для системы с N слабо связанными гармоническими осцилляторами с избыточной энергией Е скорость разложения определяется выражением [c.254]

Колебательная частота всегда кратна характеристической собственной частоте (см. рис. 3.8). Наинизшая колебательная энергия, энергия нулевого уровня, ол (0) = /гУкол/2 отлична от нуля (вследствие принципа неопределенности Гейзенберга). Эти положения справедливы для всех электронных состояний молекулы, в которых сохраняется связь между данными атомами. Точки пересечения с потенциальной кривой разрешенных согласно уравнению (3.7) уровней полной энергии (например, точки А, В на рис. 3.8) можно сопоставить в модели классического гармонического осциллятора с точками, соответствующими максимальной амплитуде. В этих точках вся кинетическая энергия осциллятора превращается в потенциальную. В других точках горизонтальных прямых кинетическая энергия отлична от нуля, состоит из кинетической и потенциальной частей, которые взаимосвязаны. На рис. 3.8 указано схематически также распределение плотности вероятности нахождения ядра Y на определенном межъядерном расстоянии, вычисленное квантовомеханически. Можно легко заметить, что при повышении колебательной энергии возрастает вероятность нахождения ядра вблизи потенциальной кривой, причем эта вероятность отлична от нуля да же за пределами интервала гху, ограниченного потенциальной кривой. Согласно классической теории это невозможно. Наибольшее отклонение от классической модели имеет место на уровне кол(0). Распределение плотности вероятности нахождения ядра представляет собой для этого уровня плавную кривую с максимумом при гху = о- [c.75]

При выводе простых выражений для плотности и числа колебательных состояний естественно взять хорошо известные выражения для классических гармонических осцилляторов (разд. 5.4.1) и ввести модификации, позволяющие применять эти выражения для квантованных колебаний. Эти модификации приводят к приближениям, которые в целом могут быть названы полуклассическими, хотя этот термин часто используется по отношению к одному определенному выражению такого типа, выведенному в разд. 5.4.2. В разд. 5.4.3 обсуждается более удовлетворительная формулировка Виттена — Рабиновича, а ее обобщение на колебательно-вращательные системы дается в разд. 5.4.4. [c.138]

И Форета и Прашила [32] для гармонических осцилляторов, связанных со свободными вращениями. В частности, последние авторы дали полезный обзор различных выражений для числа и плотности состояний колебательно-вращательных систем и указали на некоторые ошибки и несоответствия в более ранних работах. [c.156]