Гармонический осциллятор квантовые состояния

Рис. 7. Гармонический осциллятор а — сопоставление состояний осциллятора в квантовой и классич. механике (согласование 11)-функции внутри потенциальной ямы и вне ее возможно только для функции, изображенной сплошной линией, но невозможно для 11з-функции, изображенной пунктиром) б — ход 111 при малых (п = 0,1,2) и больших (п = 10) квантовых числах. Штриховые линии изображают распределение вероятностей (р) обнаружения классической частицы в разных точках ж в состояниях с такой же энергией.

III. Одномерный гармонический осциллятор. Квантовое состояние одномерного гармонического осциллятора, который имеет одну степень свободы, определяется одним квантовым числом у = 0,1,2,. ... Уровни энергии заданы соотношением [c.79]

Для квантовомеханической системы, заключенной в конечном объеме, доступен дискретный набор состояний, и можно говорить о числе квантовых состояний AI2 в заданном интервале значений энергии или других физических параметров. Для гармонического осциллятора, например, квантовая механика допускает изменения энергии, лишь кратные величине hv. В квазиклассическом вариа нте это соответствует тому, что фазовые траектории осциллятора (эллипсы на рис. 6) располагаются дискретным образом, причём площадь между соседними эллипсами равна, в согласии с соотношением (П.46), величине h. Эту площадь можно считать элементарной ячейкой, отвечающей в фазовом пространстве осциллятора одному квантовому состоянию. Для AQ квантовых состояний выделится площадь (фазовый объем) Ау = AQ/г. Аналогичные соотношения получаются и для других видов движения (см. гл. VH, 3). В общем виде связь между числом квантовых состояний AQ и соответствующим фазовым объемом Ау в х-пространстве определится квазиклассическим приближением следующим образом [c.41]

Молекулярная система не может иметь непрерывный спектр энергетических состояний, а может занимать только определенные (дискретные) квантованные энергетические уровни. В частности, колебательную энергию молекулы, являющейся простым гармоническим осциллятором, описывают в квантовой механике уравнением [c.164]

Совершенно иная картина получается при рассмотрении вопроса с квантово-механической точки зрения. Решение уравнения Шредингера для гармонического осциллятора приводит к системе волновых функций, которые являются математическим описанием состояния системы, и к ряду энергетических уровней, определяемых простым выражением [c.294]

Классическая механика, действительно, оперирует со средними значениями квантовой механики, и при больших квантовых числах квантовые законы приближаются к классическим. Однако это достигается введением определенных ограничений или запретов (правила отбора). Так, гармонический осциллятор (электрон) согласно квантовым представлениям может находиться в различных дискретных состояниях и испускать определенный набор волн с различными частотами. Допустим, что квантовые числа осциллятора возрастают— соответственно уменьшается интервал между уровнями если наложить ограничение на переходы, потребовав, чтобы разрешенными были только переходы между соседними уровнями, то при больших квантовых числах осциллятор будет испускать излучение лишь одной частоты, т. е. будет вести себя как классический осциллятор. Поэтому правила отбора по существу представляют собой мост между классической и квантовой механикой. [c.50]

Прямой подсчет колебательных состояний активированного комплекса возможен лишь в гармоническом приближении. Как правило, все алгоритмы прямого вычисления полного числа колебательных квантовых состояний активированного комплекса основаны на систематическом переборе всех возможных распределений заданной энергии по квантовым осцилляторам и затем подсчете числа таких возможностей. Эти алгоритмы очень [c.253]

В модели Райса — Рамспергера — Касселя (РРК) для распада молекул предполагается, что полная энергия, распределенная среди п слабо связанных гармонических осцилляторов, составляющих молекулу , имеет полную свободу перераспределения. В этом смысле п — 1 осцилляторов, связанных со слабым осциллятором, выполняют по отношению к нему роль энергетического резервуара. Эта модель была подвергнута критике Слетером [6], который высказал предположение, что процесс передачи энергии между осцилляторами может быть медленным, поэтому скоростью передачи энергии нельзя пренебречь. Как на крайний случай он указал, что осцилляторы, принадлежащие к молекулярным колебаниям различных классов симметрии, не могут обмениваться энергией . Дальнейшее ограничение, налагаемое на обмен энергии, обусловливается дискретностью энергетических уровней квантовой системы. Дело в том, что молекула может изменять свое внутреннее энергетическое распределение только между состояниями, полная энергия которых [c.199]

Пусть 1>1, 1>2.....— набор частот квантовых гармонических Осцилляторов, тогда энергия данного состояния определяется набором квантовых [c.254]

Волновые функции, приведенные выше, являются нормированными. Вероятность того, что координата х гармонического осциллятора находится в области между х и х- -йх, определяется выражением ф йiд , поскольку волновые функции действительны. Если рассматривается большое число идентично построенных систем, то их часть, имеющая координату между X п X йх, равна этой вероятности. Плотность вероятности г з в зависимости от х для первых трех уровней энергии представлена на рис. 12.7, в. В основном состоянии (у = 0) наиболее вероятное межъядерное расстояние соответствует положению минимума в потенциальной яме. Это противоречит случаю классического гармонического осциллятора, который большую часть времени должен находиться в точках поворота. Однако при увеличении квантового числа квантовомеханическая функция плотности вероятности приближается к соответствующей функции для классического гармонического осциллятора. Это представляет собой пример действия принципа соответствия (разд. 12.13), согласно которому квантовомеханический результат для бесконечного квантового числа в пределе должен приближаться к классическому результату. При возрастании квантового числа область, для которой значительна вероятность нахождения частицы, увеличивается, что аналогично увеличению амплитуды колебания классического гармонического осциллятора при более высокой энергии. Можно удостовериться в том, что при увеличении квантового числа функция плотности вероятности приближается к функции, предсказываемой классической механикой. [c.382]

Число степеней свободы f для частицы, движущейся в трехмерном потенциальном ящике, 3, для ротатора 2, для линейного осциллятора 1. Таким образом, каждому квантовому состоянию можно сопоставить ячейку объема в ц-пространстве величина ДЙ дает число таких ячеек в объеме Ду. Если для описания квантового осциллятора пользоваться классическим фазовым пространством, то эллипсы, изображенные на рис. П. 1, надо располагать дискретным образом, так чтобы площадь кольца между соседними эллипсами равнялась Л. Это кольцо и есть элементарная ячейка в фазовом пространстве одномерного гармонического осциллятора. [c.81]

Модель жесткий ротатор — гармонический осциллятор , однако, является лишь первым приближением. Хотя эта модель хорошо объясняет основные свойства инфракрасных и комбинационных спектров, для описания некоторых тонких деталей спектров она недостаточна. Модель не годится для описания энергетических уровней -молекулы с высокими квантовыми числами, в особенности состояний, близких к диссоциации (в приближении гармонических колебаний нельзя объяснить и самого явления диссоциации). Поэтому, если для сравнительно низких температур, когда переходы происходят практически только между состояниями с небольшими квантовыми числами, использование модели жесткий ротатор — гармонический осциллятор допустимо, то для высоких температур необходимо пользоваться более строгими приближениями. [c.215]

Колебательная энергия, как и вращательная, квантована. Это означает, что осциллятор может находиться только в определенных энергетических состояниях. На низшем уровне молекула не покоится, а колеблется с некоторой частотой около положения равновесия. В квантовой механике энергия гармонического осциллятора выражается как [c.141]

Для гармонического осциллятора разрешены только переходы между состояниями, квантовые числа которых различаются лишь на единицу, т. е. переходы с Дг = 1. Энергия перехода при поглощении равна [c.614]

В 1819 г. французские физикохимики П. Л. Дюлонг и А. Пти открыли закон, гласящий, что мольная изобарная теплоемкость всех элементов, за исключением легких элементов с атомной массой до 40 г/моль, равна 26-27 Дж/(моль-К). Последующие термохимические эксперименты выявили сложный характер температурной зависимости мольной изобарной и близкой к ней мольной изохорной теплоемкости С кристаллических тел (рис. 49). С повышением температуры изохорная теплоемкость всех элементов в кристаллическом состоянии стремится к пределу, равному Зi = = 25 Дж/(моль-К). Такой характер зависимости был впервые объяснен А. Эйнштейном в 1907 г. с квантово-химических позиций. Эйнштейн исходил из допущения, что все атомы в кристалле колеблются с одинаковой характеристической частотой V и являются гармоническими осцилляторами. В таком случае к ним применимы уравнения (117) и (118) для колебательной энергии и изохорной теплоемкости. Все зависимости на рис. 49 с.пиваются в одну, если по оси абсцисс вместо Т откладывать Г/0, где 0 = ку/к — температура, характерная для каждого кристалла. Для веществ. [c.335]

Определим стационарные состояния гармонического осциллятора мегодами квантовой механики. Заменяя в (26,2) классические величины соответствующими операторами в координатном представлении, получим уравнение Шредингера [c.120]

Теоретическое вычисление сил осцилляторов требует знания волновых функций состояний, между которыми происходит переход. Такие функции хорошо известны только для гармонического осциллятора, атома водорода и некоторых других простейших квантовых систем. В случае более сложных атомных систем эти функции могут быть вычислены приближенными методами, с которыми мы познакомимся в следующих главах. [c.470]

Оператор Гамильтона уравнения (129,13) представляет сумму операторов Гамильтона гармонических осцилляторов с частотами (Озт- Таким образом, состояние системы в адиабатическом приближении характеризуется квантовыми числами т (определяющими состояние движения электронов) и квантовыми числами V. Последние мы используем для краткого обозначения набора квантовых чисел п , каждое из которых указывает состояние гармонического осциллятора, соответствующего нормальному колебанию типа 5, т. е. [c.617]

В этом отношении гармонический осциллятор подобен движению частицы в потенциальной яме, когда ряд допустимых значений квантового числа начинается единицей и оно никогда не равно нулю (см. стр. 24). Совершенно иными свойствами обладает ротатор (см. следующий раздел), который может занимать бесконечное число равновесных ориентаций на плоскости, и поэтому его основное состояние может отвечать нулевой энергии. [c.34]

Здесь 5(9, р)—промежуток времени между активацией до состояния д, р) и пересечением критической поверхности, Q — колебательная статистическая сумма. Уравнение (1.91) записано в классической форме соответствующие квантовые уравнения приводятся в работах [120, 121]. Величину з д,р) можно определить с помощью расчетов траекторий при решении уравнений внутримолекулярного движения. Это впервые проделано для модели гармонических осцилляторов [120, 122]. Другие потенциалы применялись при расчетах скоростей диссоциации [123] и процессов обмена энергией [124] по методу Монте-Карло. В частности, таким способом после соответствующего усреднения по временам з д,р) рассчитаны удельные константы скоростей [c.87]

Сумма состояний колебательной энергии Оу для гармонического осциллятора, за который мы в первом приближении принимаем двухатомную молекулу, энергия которого связана с квантовым числом колебаний V уравнением [c.117]

Для гармонического осциллятора имеем нижеследующее правило отбора для комбинационного рассеяния. Допустим, что гармонический осциллятор находится первоначально в состоянии а с квантовым числом п. Тогда матричный элемент [c.163]

Квантовые состояния гармонического осциллятора [c.328]

Полосы, связанные с возбуждением колебательных уровней энергии, расположены в области спектра примерно от 200 ..300 до 4000...5000 см , что соответствует энергии квантов от 3 до 60 кДж/моль. Поэтому при обычных температурах энергетическое состояние молекул, как правило, характеризуется основным колебательным уровнем. Простейшей моделью, которая используется при рассмотрении колебаний двухатомной молекулы, является модель гармонического осциллятора. Это система из двух масс, связанных упругой силой. Кривая потенциальной энергии гармонического осциллятора обычно аппроксимируется параболой (рис. 3.4, кривая /). Применение квантовой теории к такой системе показывает, что ее энергия может быть найдена по уравнению [c.55]

Из квантово-механического выражения для энергии (111,48) и общего определения суммы по состояниям получаем для одной колебательной степени свободы гармонического осциллятора сумму по состояниям [c.79]

Величина I пропорциональна давлению, а поскольку 21, о — число соударений, необходимых для релаксации энергии данного типа,— величина постоянная, истинное значение р обратно пропорционально давлению. Из соображений удобства времена релаксации обычно приводятся к давлению, равному 1 атм. Уравнение (4.1) является приближенным, и требуется его модификация в связи с обратимостью перехода энергии между квантовыми состояниями О и 1 например, строгое уравнение для колебательной релаксации простого гармонического осциллятора основной частоты V имеет вид [c.216]

Леггетт и его сотрудники провели детальный анализ этой модели в ряде статей [103]. Используя эти результаты, попробуем рассмотреть вероятности квантовых переходов между начальным и конечным собственными состояниями квантовой системы в термостате. Как было сказано выше, термостат представляет собой огромное число уровней гармонических осцилляторов, линейно связанных с соответствующими уровнями с помощью констант сопряжения С. Число уровней энергии термостата (т. е. число частот осцилляторов) очень велико, и они образуют почти непрерывный спектр, который включает измененные собственные функции исходной системы. Вероятность перехода <г/- //> определяется с помощью золотого правила Ферми [103] [c.127]

Гармонический осциллятор даже на нулевом колебательном уровне совершает колебания с так называемой нулевой энергией оло. не исчезающей и при температуре О К. В классической механике осциллятор при самом низком энергетическом состоянии покоился бы. Различие квантовомеханического гармонического осциллятора и классического хорошо иллюстрируют графики волновых функций г цл и их квадратов 1 1>к0л1 (рис. 75). Последние указывают плотность вероятности того, что межъядерное расстояние равно г. В классической механике скорость ядер в точках возврата равна нулю, и вероятнее всего можно найти ядра именно в этих точках. В квантовой механике для нулевого колебательного уровня вероятность нахождения ядер в точках возврата очень мала, а наиболее вероятное положение ядер отвечает равновесному расстоянию (рис. 75). Для уровня с [c.158]

Введем в рассмотрение функцию / , ( ) — число состояний системы с энергией Е, распределенной по / квантовым осцилляторам. Поясним рекурренту, позволяющую определять эту функцию для системы из / гармонических осцилляторов, зная ее значение для системы из (/ — 1) гармонических осцилляторов [c.254]

Для того чтобы закончить вывод основного соотношения теории РРКМ, необходимо вычислить значения N и В, входящие в (2.67). Проиллюстрируем этот расчет и найдем Л ( ) — число квантовых состояний А в единичном интервале энергий активных степеней свободы. Предположим вначале, что активные стгпени свободы носят колебательный характер. Тогда для /-го гармонического осциллятора число энергетических состояний в энергетическом интервале екол, . I + кол, г Равно [c.40]

Она симметрична относительно вертикальной оси г = Гравн и имеет на ней минимум. Квантовая механика показывает, что молекула, ведущая себя как гармонический осциллятор, может находиться в дискретных энергетических состояниях (рис. 6.34) [c.268]

Покажите, что для состояния с квантовым числом V гармонического осциллятора соо7ношение неопределенностей записывается в виде равенства АхуАр у=( + Ь, где У = 0, 1, 2. ... [c.22]

Квантовая механика играет важную роль в микроскопическом описании большинства физических систем. При мезоскопическом описании мы также много раз обращались к ней. В большинстве случаев квантовая механика была нужна для определения множества состояний. В качестве примера можно указать теорию одномолекулярных реакций, обсуждавшихся в 7.5, или лазеры из 6.4. Кроме того, квантовая механика оказывается полезной, если мы интересуемся истинными значениями вероятностей перехода (например, гармонический осциллятор из 6.4). [c.307]

Квантовая механика оказывается на вторых ролях в связи с тем, что мезоскопическое описание является огрубленным. Каждое мезоскопическое состояние состоит из такого большого количества квантово-механических состояний, что перекрестные корреляции между амплитудами вероятностей этих состояний разрушаются и остаются только сами вероятности. Естественно, это оказывается правильным только в специфическом представлении. До сих пор правильное представление, в котором перекрестные корреляции являются действительно пренебрежимыми, было довольно очевидным и выбиралось неявно. В упомянутых примерах эти представления определялись числом фотонов, колебательными состояниями молекулы или гармонического осциллятора. [c.307]

Описывая колебания кристалла, мы исходили из классических уравнений движения атомов (или молекул), расположенных в узлах кристаллической решетки. Но хорошо известно, что внутренние движения в системе взаимодействующих атомов или молекул должны описываться не классической, а квантовой механикой. Поэтому на первый взгляд может показаться, что классическое описание колебаний кристалла является слишком грубым приближением и с самого начала следовало бы исходить из квантовых законов. Однако малые колебания идеального кристалла представляют собой тот редкий случай физической системы, квазиклассическое рассмотрение которой приводит к результатам, совпадающим с таковыми при строго квантовом рассмотрении. Это связано с тем, что механика малых колебаний кристалла эквивалентна механике системы независимых гармонических осцилляторов. А классификация состояний и расчет энергетического спектра гармонического осциллятора на квазиклассическом уровне, как известно, являются квантовомеханически точными. [c.119]

Леггетг анализировал динамику перехода между начальными < / и конечными состояниями квантовой системы, находящейся в диссипативном равновесном окружении (термостат, физический вакуум). Окружение авторы представляют виде сообщества гармонических осцилляторов, образующих почти непрерывный частотный (т. е. энергетический) спектр. Осцилляторы окружения взаимодействуют с уровнями энергии квантовой системы через равновесные флуктуации окружения. Это взаимодействие приводит к расщеплению и смещению уровней квантового состояния и уровней соответствующих осцилляторов. Это означает, что совокупность гармонических осцилляторов должна содержать все состояния, соответствующие любому квантовому состоянию исследуемой системы. Оценка вероятности перехода проводится при предположении о том, что переход происходит из статистически усредненного уровня начального состояния на все уровни конечного состояния. Чем больше разница между энергиями начального и конечного уровней, тем меньше вероятность перехода. Поэтому [c.125]

СОСТОЯНИЯ равповеспя, происходящие под действием ква и упругоп силы, — так наз. линейпый гармонический осциллятор. Примером осциллятора могут служить малые колебания атомов в двухатомной молекуле. Интересно сопоставить поведение гармония, осциллятора в классич. механике и в К. м., т. к. это дает возможность вскрыть ряд специфич. свойств квантовых процессов. [c.258]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология