Интегрирование в числах

Числа единиц переноса Nи представляют собой результат совместного решения уравнений равновесия и рабочей линии процесса, задаваемой начальными и конечными концентрациями, являющимися пределами интегрирования. Число единиц переноса при диффузии в одном направлении (абсорбция, экстракция) определяется по уравнению [11] [c.220]

Для стабилизации величины переменной погрешности б необходимо проводить интегрирование уравнений (IX.3) с автоматическим подбором шага h. Зададимся допустимым интервалом [б, б ] изменения б и вычислим значения // (Ov при начальном шаге h = ho-2 f (у = О, 1, 2, 3,. .. ), где /lo — некоторый произвольный начальный шаг интегрирования. Число у выбирается таким, чтобы выполнялись два неравенства [c.233]

Вариационные методы позволяют в этом случае свести решение оптимальной задачи к интегрированию системы дифференциальных уравнений Эйлера, каждое из которых является нелинейным дифференциальным уравнением второго порядка с граничными условиями, заданными на обоих концах интервала интегрирования. Число уравнений указанной системы при этом равно числу неизвестных функций, определяемых при решении оптимальной задачи. Каждую функцию находят в результате интегрирования получаемой системы. [c.32]

Суммирование no k в (37.68) можно заменить интегрированием. Число [c.496]

Статистические суммы ( 2 и получаются из выражений (6.10) и (6.12). Можно вводить предварительно вычисленные значения, но, поскольку частоты и моменты инерции, по крайней мере исходной молекулы, необходимы в программе интегрирования [для М Е )], удобно рассчитывать Q2 и с использованием подпрограммы, включенной в программу интегрирования. Число столкновений 2 как функция температуры дается выражением [c.175]

Этот интеграл можно, конечно, найти численно, однако во многих случаях интегрирование можно провести и аналитически. Если, например, все числа у, — целые, то функция г ( ) представляет собой полином от и может быть представлена в виде [c.95]

Исследовать внутреннюю диффузию нри конечной скорости адсорбции гораздо труднее, поскольку мы сразу же сталкиваемся с нелинейными дифференциальными уравнениями. Общий метод, описанный в конце предыдущего раздела, можно применить к решению уравнений с кинетическими зависимостями типа (VI.20). Получить какие-либо общие результаты здесь, однако, трудно, вследствие большого числа параметров, входящих в кинетическую зависимость, и необходимости численного интегрирования. [c.141]

Интегрирование правой части уравнения (11.79) в пределах от начального Ь до конечного К числа кмолей жидкости в кубе и от начального нулевого расхода перегретого водяного пара до конечного, равного 2 кмолей, дает [c.101]

Следует отметить, что рассмотренные выше случаи относятся к процессам с простыми единичными реакциями. Для более сложных процессов, В частности, неизотермических и процессов с реакциями выше первого порядка, а также с параллельными и последовательными реакциями, интегрирование уравнений диффузионной модели с целью выявления влияния продольного переноса на время пребывания является сложной в математическом отношении задачей, зачастую теряющей свою однозначность. Это обусловлено тем, что при указанных условиях распределение компонентов по длине реактора зависит не только от продольного переноса, но и от температуры, от порядка реакции и т. д. Поэтому решение относительно числа Пекле становится неопределенным. [c.75]

Переход от точного определения единицы переноса (10-62, а) к приближенной зависимости (10-65) обусловливает новые возможности для расчета числа единиц переноса, благодаря которым становится излишним приведенное на рис. 10-10 графическое интегрирование. Вместо него можно использовать представленный на рис. 10-11 метод построения ступеней. Интерпретация этого метода, разработанная Бейкером [7], показана на рис. 10-12. Построение основывается на зависимости (10-65) и может быть применено также в тех случаях, когда (например, при дистилляции) рабочая и равновесная линии не являются прямыми, но их можно считать прямыми в пределах одной единицы переноса. [c.168]

Число зародышей г, образовавшихся с момента времени 9i, когда эти зародыши начали возникать, до момента 9г, когда новообразование зародышей, прекратилось, можно определить интегрированием уравнения (1.III), в результате чего будем иметь [c.109]

При численном интегрировании систем уравнений для начала процедуры нужно задать начальные значения всех без исключения неизвестных функций. Поскольку для систем уравнений (VII,1) и (VII,48) на любом конце траектории заданы только т значений функций x (1) и X (/) при общем их числе 2т, недостающие т значений должны задаваться до некоторой степени произвольно и затем уточняться по заданным значениям функций x (/) и (/) в конечной точке траектории. [c.354]

В случае реакций, протекающих с изменением числа молей температуры и давления, время контакта можно определить интегрированием с подстановкой величины из уравнения [c.29]

Температура является основным регулируемым параметром процесса каталитического риформинга. Ввиду высокой адиабатичности процесса, обусловленной протеканием реакций превращения углеводородов как с поглощением, так и с выделением тепла, температура на входе в реакторы не является истинной температурой процесса в реакторном блоке. Средняя температура процесса в реакторном блоке может быть рассчитана интегрированием температурных кривых, характеризующих температурное поле процесса в каждой ступени реакции (в каждом реакторе) с учётом высоты слоя катализатора в каждой ступени и числа ступеней. [c.6]

При более высоких температурах с ростом возрастает число значащих членов уравнения (X, 35) в этих случаях можно суммирование заменить интегрированием бесконечного ряда [c.338]

Общее число молекул Ы, очевидно, можно найти путем интегрирования уравнения (П1,28). Предел интегрирования по пространственным координатам л , у и 2 ограничен объемом системы, а предел интегрирования по скоростям — полной энергией системы [c.95]

Подставив выражение (ХП,88) в уравнение (ХИ, 87), получим выражение, удобное для интегрирования. Общий объем системы V — величина постоянная, так как процесс в статических условиях обычно ведут при постоянном объеме. Переход от парциальных давлений к числам реагирующих грамм-молекул, как видно из рассмотренного примера, очень прост, поэтому в дальнейшем это преобразование будем опускать. [c.319]

Если реагирующий газ адсорбируется умеренно, то площадь, занятая реагирующим веществом, определяется из выражения (XII, 82). Так как все последующие выкладки просты, то, чтобы не повторяться, сразу же запишем окончательную форму дифференциального уравнения после того, как парциальные давления в выражении, определяющем площадь, занятую реагирующим веществом, выражены через числа молей и приведем окончательный вид выражения для константы скорости, получаемого после интегрирования дифференциального уравнения. [c.326]

Строго говоря, получение точных решений уравнений (68) предполагает бесконечный базис функций, т. е. требует решения бесконечной системы уравнений. Но, как показал Рутан и как подтверждает обширная расчетная практика, удовлетворительного приближения можно достичь и при конечном базисе АО. При этом многое зависит от выбора базиса — его размеров и качества. Расширяя базисный набор путем добавления новых линейно-независимых функций, можно достичь такой ситуации, когда вычисляемые характеристики системы (орбитальные энергии, наборы коэффициентов и т. д.) окажутся нечувствительными к дальнейшему расширению базиса. В этом случае говорят о достижении хартри-фоковского предела. Предельный базисный набор АО дает очень точные результаты, почти такие же, как при численном интегрировании уравнений Хартри — Фока. Однако увеличение числа АО в базисе сопровождается существенным возрастанием вычислительных трудностей. Поэтому в реальных расчетах, особенно сложных многоатомных систем, используют базисы укороченные по сравнению с предельными. [c.180]

Элементы массива молекулярных масс М, массива, хранящего первоначальные номера компонентов, и массива начальных значений концентраций сдвигаются по формулам М (/) = Л/ (/ + 1) / = 1С, N0. Поскольку в многомерных кинетических системах для большинства компонентов начальные значения концентраций полагаются нулевыми (как, например, при пиролизе индивидуальных углеводородов), алгоритм сжатия уже при решении прямой кинетической задачи существенно сокращает объем вычислений (при пиролизе газообразных углеводородов до 1,5—2 раз). Особенно эффективно это сокращение при интегрировании уравнений чувствительности для системы, так как в данном случае число удаленных уравнений равно произведению числа удаленных стадий на число удаленных компонентов. [c.210]

Все эти недостатки исчезают, если выбран язык программирования, позволяющий создавать независимые модули. Как фортран, так и паскаль удовлетворяют этому требованию. Классические программы интегрирования на этих языках легкодоступны в большинстве научных библиотек программ. Поскольку они входят в подпрограммы, то данные передаются в виде списка аргументов, представляющих не только численные значения (начальные концентрации, время, шаг интегрирования, число уравнений и т. д.), но также и обозначения подпрограмм (вычисления производных, вывод результатов в процессе счета). Подпрограмма численное интегрирование включает цикл, в котором при каждом шаге осуществляется расчет нескольких производных, и блок хранения результатов интегрирования. Для обращения к этой подпрограмме пользователь должен написать две специальные подпрограммы, вычисляющие параметры, необходимые для программы интегрирования. Таким образом, мы обращаем внимание на тот факт, что использование коммерческой подпрограммы интегрирования требует знания языка программирования, в большинстве случаев это фортран. Пользователю придется также написать основную программу считывания данных и вызова подпрограммы интегрирования. Поскольку часть этих данных должна быть также приемлема для подпрограмм, занятых вычислением производных и выводом результатов, необходимо использовать зоны OMMON (на фортране) или обобщенные переменные (в паскале). [c.179]

Учет иеперпепдикулярного движения молекул под углом О к стенке приводит к интегрированию числа молекул пс Й/4л но эл0мента м телесного угла йО,= [c.12]

Прп рассмотрении условий однократной перегонки многокомпонентных дискретных систем степень отгопа и составы равновесных фаз определялись путем суммирования. Для сложных нефтяных систем, представляющих континуум неопределенно большого числа составляющих, при расчетах исходят из тех же основных принципов, по простое суммирование заменяется интегрированием. Так, уравпенио парожидкостпого равновесия для компонента сложной нефтяной фракции запишется в следующей форме [c.104]

Интегрирование правой части (111.68) в продо-ггах от начального Л до конечного В числа молей /кндкости в кубе и от начального нулевого расхода водяного пара до конечного, равного Z молей, дает [c.118]

Пределы интегрирования в соотноигенин (У,7) могут быть известными конечными числами, но возможны также случаи, когаа один или оба предела бесконечны. Кроме того, целый ряд задач вариационною исчисления сводится к рассмотрению функционалов, у которых пределы интегрирования неизвестны. [c.193]

Принципиально можно рассматривать непрерывный процесс как дискретный с достаточно большим числом стадий N и, таким образом, применять описанную в предыдущих разделах методику оптимизации для этого процесса. Зачастую именно такой путь оптимизации непрерывных процессов и используется, тем более, что при решении оптимальных задач на вычислительных машинах интегрирование дифференциальных уравнений обычно выполняется с применением разностных методов, по существу заменяющих непрерывньп процесс его дискретным приближением. Однако получаемые при применении принципа оптимальности уравнения для непрерывного процесса могут иметь самостоятельный интерес, поскольку при этом появляется возможность их решения иными методами. [c.308]

Это суммирован но весьма трудоемко, есош ряд сходится медленно и должно учитываться большое число членон, что имеет место при низких температурах. Значительно проще воспользоваться том, что уровни вращательной энергин расположены очень близко друг к другу, п можно заменить суммирование интегрированием. Это приближение н соответствии с хшассической теорией равносильно рассмотрению уровней вращательной энергии без учета их квантовой природы. Таким образом, получаем [c.310]

Понятие о числе единичных реакторов iV представляет также некоторый интерес при сравнении размеров реакторов, необходимых для получения различной степени превращения при условиях, для которых ВЕР должна быть постоянной. Тот же результат может быть достигнут и прямым интегрированием уравнения скорости. Чтобы упростить такие сравнения, Каддель и Харт построили обобщенные графики для как функции степени превращения /, на которых основана табл. 78. [c.351]

Очевидно, что выражение (X, 27) есть не что иное, как С —число ячеек фа-зэвого объема, соответствующего энергии молекулы / в уравнениях (X, 1), (X, 9) и (X, И). Различие заключается в том, что суммирование в уравнении (X, 11) по дискретным уровням энергии должно быть заменено интегрированием по шаровым слоям с интервалом анергии е от О до оо [c.335]

Найдем сначала число молекул dA i,, составляющая скорости которых и вдоль оси X лежит в пределах от и до u + du, независимо от значений других составляющих скоростей, а также от положения молекул в пространстве. Исходя из общего закона распределения в наиболее удобной для данного случая форме [см. уравнение (111,38)], можно, во-первых, сразу же опустить интегрирование по пространственной координате во-вторых, следует учитывать изменение одного лишь импульса Ри, поскольку значення двух других импульсов для нас безразличны. С учетом этих допущений вырансение (И1,38) можно записать так [c.101]

Решим теперь более сложную задачу определим число мо лекул dJV , полная скорость которых лежит в пределах от с до +d . Для этой цели перепишем закон распределения (111,38), опуская, как и раньше, интегрирование по пространственным координатам (поскольку положение молекул в пространстве для нас безразлично), но учитывая изменение уже трех импульсов [c.102]

Опыт показывает, что уравнению (VIII, 67) подчиняется бол1,шое число цепных реакций. После интегрирования этого уравнения будем иметь [c.222]

Индекс т указывает на то, что значение данной величины берется в точке максимума. Результаты численного интегрирования уравнений (П1,267) и (01,268) для большого числа различных параметров приведены в цитированной работе Баркелью в виде многочисленных графиков. Однако определить область устойчивой работы реактора по этим графикам непросто. На рис. П1-54 представлена зависимость Ттах/5 от N/S для р = О, то = О при различных значениях S. [c.294]

В реальных кинетических системах подобная разномасштабность может достигать величин 10 . Физически это означает, что i-й компонент уже почти достигает своей околоравновесной области, в то время как [i + 1)-й — еще нет. Сказанное хорошо иллюстрирует рис. 18 — концентрации исходных веществ практически не начинают меняться, в то время как концентрации промежуточных веществ уже близки к своим максимальным значениям. Именно такая ситуация наиболее характерна для кинетических систем. С вычислительной точки зрения это означает, что интервал интегрирования определяется значением самого малого коэффициента скорости, а шаг интегрирования — значением самого большого коэффициента скорости, и общее число шагов пропорционально их отношению, т. е. алгоритм рещения становится недопустимо неэкономичным [86, 114]. [c.172]

Поскольку в Л-устойчивых методах шаг интегрирования значительно больше, чем в традиционных способах Рунге — Кутта или Адамса, то интервал решения покрывается за меньшее число шагов, что и приводит к общему выигрышу во времени счета по сравнению с традиционными способами. Однако на одном шаге интегрирования Л-устойчивые методы требуют гораздо больших временных затрат. И если на интервале решения имеются нежесткие зоны, то с целью повышения экономичности алгоритма и уменьшения времени счета их предпочтительнее проходить традиционными способами. Взаимное рас- [c.191]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология