Метод Эйлера для систем дифференциальных уравнений

Для нахождения приближенного решения системы дифференциальных уравнений можно использовать метод Рунге — Кутта и метод Эйлера. [c.123]

Это преобразование улучшает обусловленность якобиана системы, т.е. уменьшает жесткость задачи. Затем полученная в результате преобразования система уравнений решается по неявной схеме Эйлера методом Ньютона. При такой конструкции алгоритма в преобразованном уравнении правые части быстрых переменных содержат члены с большими константами и называются авторами алгоритма быстрыми комбинациями. У медленных переменных в слагаемых скоростей будут отсутствовать члены с большими константами. Однако надо отметить, что константа скорости химической реакции сама по себе не является оценкой характерного времени би- и тримолекулярных процессов. Для такой оценки необходимы скорости элементарных стадий, а эти скорости могут быть получены только в процессе решения системы кинетических уравнений. Поэтому в некоторых случаях предложенный алгоритм может не привести к желаемому разделению на быструю и медленную подсистемы и фактически сведется к интегрированию неявным методом Эйлера системы обыкновенных дифференциальных уравнений, практически не отличающейся от исходной по жесткости. [c.133]

В связи с тем, что при расчете стационарных режимов работы технологических схем точное решение динамической модели не является необходимым, целесообразно при интегрировании системы дифференциальных уравнений использовать различные временные шаги интегрирования для каждой перемены, что в случае применения метода Эйлера запишется как [c.404]

Блок-схема алгоритма приведена в работе [36]. Для численного интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих процесс каталитического риформинга, первоначально использовался метод Рунге—Кутта. Разработанная программа позволила эффективно интегрировать дифференциальные уравнения. Однако, как показала практика, на расчеты затрачивалось много времени. Для сокращения времени счета была составлена другая программа, использующая более быстрый метод Эйлера. Сравнение точности вычислений по этим двум методам решения системы дифференциальных уравнений приведено в таблице III. 2. Данные таблицы показывают, что [c.126]

Система дифференциальных уравнений шага 4 интегрируется любым численным методом, например методом Эйлера, для выбранного Ар [c.277]

Вариационные методы позволяют в этом случае свести решение оптимальной задачи к интегрированию системы дифференциальных уравнений Эйлера, каждое из которых является нелинейным дифференциальным уравнением второго порядка с граничными условиями, заданными на обоих концах интервала интегрирования. Число уравнений указанной системы при этом равно числу неизвестных функций, определяемых при решении оптимальной задачи. Каждую функцию находят в результате интегрирования получаемой системы. [c.32]

После того как оптимальное управление в начальный момент определено опт( (0)) становится возможным с применением любого численного метода интегрирования системы дифференциальных уравнений сделать один шаг интегрирования, т. е. найти значения функций x(t) и Я (0 "При f= tf°)-f-Af- Например, при использовании простейшего метода интегрирования — метода Эйлера получим - [c.346]

Такое поведение, типичное для жестких систем, мы рассмотрим на примере системы дифференциальных уравнений, описываю-шей кинетику химической реакции, причем эту систему можно решить также и аналитическими методами. Как поведет себя численный алгоритм, например алгоритм Эйлера, при решении такой системы (На данном примере будет показано, как решить эту проблему с помощью неявного метода Эйлера.) [c.395]

Рассматриваемая задача представляет собой двухточечную краевую задачу для системы дифференциальных уравнений первого порядка. Используем для решения метод Ньютона, а в качестве промежуточных звеньев в программе — модифицированный метод Эйлера для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений и метод Гаусса для решения систем алгебраических уравнений. [c.309]

IV. Для определения времени, требуемого для отгонки водно-спиртовой смеси, необходимо решить систему дифференциальных уравнений (5), (6) и (9). Решение системы дифференциальных уравнений осуществляется методом Эйлера [3] [c.182]

Для условий, рассмотренных в примере 1, составим программу интегрирования системы дифференциальных уравнений, описывающей динамику тарельчатой ректификационной колонны, используя формулы усовершенствованного метода Эйлера — Коши. [c.368]

Лля решения системы нелинейных алгебраических уравнений (1-2) использовался переход к нестационарной задаче с последующим решением полученной системы обыкновенных дифференциальных уравнений методом Эйлера. [c.159]

Решение указанной системы дифференциальных уравнений проводилось по программе, составленной применительно к универсальной цифровой машине Урал . Для решения был применен метод Эйлера, заключающийся в автоматическом нахождении шага интегрирования, отвечающего заданной величине точности расчета. Этой величине соответствует максимальное отклонение интегральных кривых, получаемых при численном решении задачи, от истинных значений величин, характеризующих изменение концентрации жидкости на тарелках колонны во времени. [c.238]

Метод Эйлера. Для функций ху, Х2, Хп системы дифференциальных уравнений (III. 44) вычисляются последовательно приближенные значения функций j [c.123]

Аналитическое решение этой системы по методу стационарных концентраций дает известное уравнение Михаэлиса — Ментен. Если же решать эту систему уравнений, не привлекая гипотезу о стационарности концентрации фермент-субстратного комплекса, то необходимо воспользоваться одним из численных методов. Для наглядности обсудим сначала метод Эйлера. Чтобы не усложнять задачу, ограничимся пока системой из двух дифференциальных уравнений. (Для сравнения справа приведено решение одного дифференциального уравнения методом Эйлера.) [c.231]

Метод вариационного исчисления — используется в случаях, когда критерии оптимальности представляются в виде функционалов, решением которых являются искомые функции. Метод позволяет свести решение оптимальной задачи к интегрированию системы нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка (дифференциальных уравнений Эйлера) с граничными условиями, число которых равно числу неизвестных функций. Значение каждой функции находят в результате интегрирования данной системы. [c.175]

Если уменьшать длину рассчитываемой короткой секции колонны, то мы приблизимся в пределе к бесконечно малому отрезку. Дифференциальные уравнения материального и теплового балансов и межфазного переноса для любой точки колонны представлены уравнениями (38. 27) и следующим за ним. В гл. 38 единственным рассматривавшимся растворенным веществом был компонент А если присутствуют другие растворенные вещества, например В и Е, то нужно просто добавить к системе дифференциальных уравнений уравнения типа (38. 28) и (38. 30) для />, Я и т. д. Систему дифференциальных уравнений следует решать численными методами, такими как метод Эйлера или Рунге — Кутта. Такие расчеты теперь редко производят вручную используют электронную счетную машину. [c.687]

Для расчета констант скоростей реакций используются данные исследования кинетики химической реакции, то есть опытные значения изменяющихся во времени кош1ентраций компонентов в реакционной среде. Эти данные позволяют установить предполагаемый механизм реакции, составить уравнения кинетики реакции в форме системы дифференциальных уравнений, и в ходе решения этой системы уравнений с различными подставляемыми значениями констант скоростей реакции подбирают такие значения констант скоростей реакции К, при которых расчетные значения кинетических кривых наиболее хорошо совмещаются с опытными в сходственных (реперных) временных точках (рис.2.1). Решение дифференциальных уравнений можно выполнить достаточно простым методом Эштера. Напомним, что в методе Эйлера искомая функция изменения параметра С (например, концентрации) во времени г задается дифференциальным уравнением (1С/(1т = (С) и в любой момент времени г,- расчетная величина С,- находится по уравнению [c.13]

Исследуя устойчивость модели (см. рис. 3.20) с помощью системы дифференциально-разностных уравнений и используя классический метод Эйлера — Лагранжа, авторы получили условие сплошности композита, связывающее модули упругости арматуры и полимера [55, 63] [c.137]

Обобщение методов Эйлера интегрирования систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами позволило представить интеграл линеаризованной системы (1) в виде формулы, удобной для расчетов концентраций м,- любого числа взаимодействующих частиц. В эту формулу входят величины щ, ai, , и корни ф< > (или ф(">) характеристического уравнения системы она имеет вид [c.207]

Хотя система уравнений (5.18) имеет несколько необычную форму, она может быть решена с помощью стандартного метода интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. В нашем случае, когда ищут одно стационарное решение, нет необходимости использовать методы интегрирования со специально настраиваемыми параметрами, поскольку глобальная устойчивость и квадратичная сходимость может быть получена и без них. Некоторые исследователи проводили эксперименты с интефаторами относительно высокого порядка, но их опыты подтвердили ранее сделанное предположение о том, что для получения решения достаточно простого явного интефирования методом Эйлера. [c.270]

При составлении программы для второго этапа решения задачи обратить внимание на возможность использования программы для первого этапа с незначительной переделкой в первую очередь з астка программы, ответственного за решение системы дифференциальных уравнений методом Эйлера, [c.131]

Сведение системы уравнений в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, естествепно, существенно упрощает процедуру численного решения задачи и позволяет использовать методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Вычислительный алгоритм решения уравнений направления и совместности обычно включает итерационный процесс, при этом первая итерация соответствует методу Эйлера, а вторая и последующие — методу Эйлера с пересчетом, что обеспечивает второй порядок точности численного решения. [c.67]

Установление равновесия сопровождается изменением значения а на границе раздела и возникновением равновесного значения Г растворенного вещества. Связь между этими двумя важнейшими параметрами, характеризующими энергию и состав слоя, можно получить путем рассмотрения системы, которая включает две объемные фазы и один поверхностный слой. Воспользуемся методом, предложенным Гиббсом, и запишем для поверхностного слоя уравнение (V. 6) dU = Т dS а dsЭто дифференциальное уравнение однородно и первой степени относительно экстенсивных величин, стоящих под знаком дифференциала. Согласно теореме Эйлера, такое уравнение можно интегрировать при постоянных значениях коэффициентов (интенсивных величин). Физически это соответствует конечному увеличению 5 при постоянных сг, Т и л, т. е. без изменения состава поверхностного слоя [c.73]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология