Стандартная программа решения уравнений

Используют стандартную программу решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (например, методом Рунге — Кутта или методом Адамса) с автоматическим выбором шага интегрирования в зависимости от требуемой точности вычисления. Эта программа позволяет определить значения концентрации х ( р, 0) и температуры < (Ьр, 0) в совокупности точек, на которые разбивается интервал (О — Ь) интегрирования. [c.151]

Нами выполнены расчеты результатов про-цесса по математическому описанию при тех же входных величинах, что и в промышленном аппарате с использованием стандартной программы решения системы дифференциальных уравнений методом Рунге—Кутта для ЭВМ М-20. Результаты расчетов при нескольких величинах ко показаны в табл. 8.2, где для удобства сравнения приведены и выходные опытные данные. При подборе ко в качестве исходного значения принята величина, рассчитанная на основании работы [147]. [c.181]

Все проблемы, рассмотренные в этой главе, сводятся к решению обыкновенных дифференциальных уравнений. Мы уже замечали, что в некоторых случаях аналитическое решение невозможно, н решать задачу приходится численными методами. Существуют стандартные программы решения уравнений такого типа на вычислительных машинах. Тем не менее, знакомство с численными методами интегрирования уравнений полезно химику-технологу по двум важным причинам. Во-первых, вопреки распространенному мнению, вычислительная машина не умеет думать , и потому небезопасно давать ей задание, не имея понятия о том, как она его будет выполнять. Во-вторых, иногда возможно и даже желательно проводить вычисления вручную. Метод, который мы сейчас рассмотрим, применим к решению любой системы обыкновенных дифференциальных уравнений, включая уравнения, описывающие неизотермические процессы. Проиллюстрируем этот метод на примере одного уравнения и системы двух уравнений. [c.114]

Существуют обширная литература по методам решения жестких дифференциальных уравнений (см., например, [5, 12]) и стандартные программы решения систем таких уравнений на языке Фортран [6, 8]. [c.27]

Математическое обеспечение любой ЭВМ имеет, как правило, пакет наиболее часто используемых программ для решения задач-вычислительной математики — пакет стандартных программ. К таким программам относятся, например, программы решения систем нелинейных алгебраических уравнений, систем дифференциальных уравнений и т. д. Эти программы находятся в библиотеке транслятора соответствующего языка программирования (в памяти машины). Аналогичные пакеты программ имеются и для решения определенного класса прикладных задач, например программы расчета реакторного узла, ректификационной колонны и т. д. Эти программы имеют меньшее распространение по сравнению со стандартными, однако объединенные в фонд алгоритмов, например отрасли производства, они находят широкое применение в проектных и научно-исследовательских организациях отрасли. Для ЕС ЭВМ характерно объединение пакетов прикладных программ в фонды алгоритмов различных структурных подразделений. [c.157]

Оператор решим является обращением к стандартным программам решения систем линейных уравнений порядка и 22 и вычисления корней многочленов степени п 38. [c.462]

Б математическое обеспечение современных ЭВМ входит стандартная программа решения системы линейных уравнений. [c.199]

Координаты точек разбиения, их число и значения концентрации и температуры в них должны храниться в памяти машины, поскольку в сечениях с этими координатами определяются переходные процессы, описываемые уравнениями (У,204) и (У,205). Начальными данными для указанных процессов являются храня-ш иеся в памяти машины (попарно) концентрации и температуры. Далее в точке Ь = О наносят то или иное возмущение (по температуре, концентрации или величине потока) , а затем в каждой точке разбиения длины реакционной зоны от р = 1 до р = т решают систему уравнений (У,204) и (У,205) с хранящимися в памяти машины начальными условиями. Это выполняется при помощи уже однажды использованной стандартной программы решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Полученное решение описывает переходный процесс в том или ином сечении. [c.153]

При сведении модели к математической задаче получаются линейные уравнения и неравенство. Это продиктовано в основном тем, что для массового решения пригодны в настоящее время лишь стандартные программы решения задач линейного программирования. [c.352]

Как следует из приведенного перечня уравнений, математическое описание модели ХТС представляет собой систему нелинейных алгебраических уравнений, число которых для больших ХТС может достигать от нескольких сотен до нескольких тысяч. Несмотря на простоту этих уравнений, решение такой задачи на ЭВМ по стандартным программам сопряжено с большим объемом работ, связанных с подготовкой исходной информации, вводом, выводом и упорядочением системы уравнений. [c.178]

В программе используется стандартная процедура решения системы уравнений (12—65) по формулам Рунге—Кутта четвертого порядка [4] с некоторыми изменениями, внесенными на стадии отладки (процедура Р 502), и процедура вычисления правых частей системы (процедура Р 1024). [c.375]

Как следует из формул (14—6), программа метода наименьших квадратов состоит из последовательности команд для определения коэффициентов матрицы системы уравнений и решения полученной системы. В стандартной программе для решения системы уравнений используется микропрограммная команда решения системы (РС) [47]. [c.443]

Как показывает анализ, решение системы (8.11) не может быть получено в форме интересующей нас явной зависимости площади поверхности теплопередачи от параметров процесса и конструкции. Поэтому с расчетной точки зрения непосредственное численное решение исходной системы имеет некоторое преимущество, состоящее в том, что для интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений имеются заранее разработанные стандартные программы. [c.270]

Неизвестными параметрами во втором и третьем уравнениях (VII. 121) являются температура на выходе из реактора и температура перегретого пара /з на выходе из верхнего теплообменника. Эти два параметра могут быть определены путем решения системы из двух нелинейных уравнений теплового баланса методом Ньютона с использованием соответствующей стандартной программы. [c.214]

Метод библиотечных программ. Состоит в том, что отдельные стандартные участки алгоритмов не программируются, а с помощью компилирующей или интерпретирующей программы вставляются в программу в том готовом виде, в котором они находятся в библиотеке стандартных программ (БСП) . Если стандартные участки имеют сложный характер и их настройка в программе зависит от структуры данных и других факторов, то создают специальные системы сборки и настройки библиотечных программ. Такими стандартными программами (СП) могут быть перевод исходных данных из десятичной системы счисления в двоичную, обратный перевод результатов решения, вычисление таких элементарных функций, как sin ji, ]пх, е , интегралы, решение систем алгебраических и дифференциальных уравнений и т. д. [c.63]

Задачу можно решить при помощи цифровой машины. Программы такого решения не приводятся, поскольку соответствующая математическая модель представляет собой обычные дифференциальные уравнения. Программы их решения даются в библиотеке стандартных программ каждой цифровой машины. [c.117]

Такой метод программирования подобен описанному ранее (см. гл. III) методу программного моделирования, предназначенному для решения сложной системы уравнений на основе отдельных стандартных подпрограмм расчета элементарных математических функций (синуса, косинуса, экспоненты, логарифма и т. д.). Современные вычислительные машины автоматически осуществляют над ними различные математические операции в соответствии с полной программой вычислений. Удобство такого метода программирования очевидно — он позволяет ускорить программирование больших задач. Этот метод в настоящее время успешно распространяется в области моделирования технологических процессов. Создаются стандартные программы расчета отдельных типовых процессов. [c.163]

Решение системы линейных нормальных уравнений (3.15) можно выполнить на ЭВМ по стандартной программе на базе метода Гаусса, включаемой обычно в набор стандартных программ, входящих в программное обеспечение ЭВМ. Решение дает следующие значения оптимальных параметров процесса в кодированной форме [c.77]

Выполнение п. 18. Стандартная программа (СП) решения системы N линейных алгебраических уравнений с N неизвестными обычно имеется в библиотеке стандартных программ (БСП), поэтому в основной программе записывается только оператор обращения к требуемой СП. Здесь 34 — номер СП 5 — порядок системы Ь — идентификатор массива коэффициентов прн неизвестных — идентификатор массива свободных членов 52 — идентификатор массива корней системы. К моменту обращения к СП все элементы массивов Ь и 5У должны иметь конкретные численные значения [c.177]

Повышенный интерес к экстремальному подходу и виду минимизируемого функционала объясняется еще и тем, что задачу расчета потокораспределения можно тогда трактовать и как нелинейную сетевую транспортную задачу. Такая интерпретация имеет теоретическое и практическое значение. Первое заключается в том, что формальное применение теоремы о потенциалах позволяет установить двойственный характер гидравлических параметров (расходов на ветвях и давлений в узлах) и соответст-ственно систем уравнений первого и второго законов Кирхгофа, а также и вид функционала. Подобное рассмотрение проведено Ю31. Ермольевым и ИЛ1. Мельником [66]. Подробный содержательный и математический анализ применимости теории нелинейных сетевьк транспортных задач к сетям физической природы дан в книге EJii. Васильевой, Б.Ю. Левита и В.Н. Лившица [35]. Прикладная сторона здесь заключается в возможности применения методов и стандартных программ для решения сетевых транспортных задач или даже общих методов нелинейного программирования, например методов возможных направлений [74,211]. [c.44]

Широко используемый на практике для решения задач динамики метод Рунге—Кутта, стандартные программы которого имеются в настоящее время на всех современных ЭВМ, оказывается применительно к уравнениям МКЭ весьма неэкономичным из-за слишком малой требуемой величины At. [c.114]

Точные методы — это методы, которые за конечное число шагов, зависящее только от числа уравнений в сист(вме, дают (если игнорировать ошибки округления) точное решение системы. Наиболее известным и удобным для реализации на ЭВМ является метод Гаусса метод последовательного исключения). Число элементарных алгебраических операций при решении системы по методу Гаусса имеет порядок и , где п—число уравнений. Метод заключается в последовательном исключении неизвестных в уравнениях, в результате чего истема приводится к виду, в котором она разрешима. В настоящее время соответствующая стандартная программа имеется в любой библиотеке стандартных программ ЭВМ. [c.26]

Модели табл. 4.4 записаны для нестационарных условий движения потоков. Приравнивая нулю производную по времени, можно получить модели для стационарных условий. При этом существенно упрощается и соответствующее математическое описание. Так, для ячеечных моделей вместо системы дифференциальных уравнений описанием будет система нелинейных алгебраических уравнений. В общем случае весьма трудно получить аналитическое решение системы уравнений модели. Поэтому основными подходами к разработке алгоритмов решения являются аппарат передаточных функций и методы вычислительной математики. Эти методы по классам уравнений (дифференциальным в частных производных, обыкновенным дифференциальным, системам алгебраических уравнений) достаточно разработаны и обычно составляют эиблиотеку стандартных программ для решения задач вычислительной математики. [c.121]

Для расчета коэффициентов уравнения Редлиха — Кистера используется стандартная программа, включающая процедуры умножения матриц и нахождения обратной матрицы. Исходными данными являются N — число экспериментальных точек М — число неизвестных, А — матрица коэффициентов системы уравнений, включая столбец свободных членов. Решением нормальной системы уравнений является вектор X. Ее выходным параметром является массив А. Обращение к процедуре Р1221 производится только при включенном первом ключе на пульте управления. Для вычисления коэффициентов произвольной линейной зависимости достаточно заменить эту процедуру. При выключенном ключе вводится матрица коэффициентов переобусловленной системы уравнений и программа может быть использована в общем случае. [c.338]

Практически решение систем уравнений (1.32) и (1.37) возможни только численными методами на 3BU. Применимы итерационные методы, метод Ньютона - Рафсона и др. Универсальная методика решения системы нелинейных алгебраических уравнений заклвчается в следующем.Система линеаризуется путем логари рования уравнений. Неизвестными становятся lnP и уравнения разлагаются в ряд Тейлора по методу Ньютона. Членами разложения, содержащими производные второго и высших порядков, пренебрегают. Полученная линейная система алгебраических уравнений относитольно lnP может быть решена с помощью стандартных программ для ЭВМ. [c.25]

На языке АЬбОЬ составлена стандартная программа для решения этого дифференциального уравнения при любой кинетике реакции. [c.39]

Пример П1-2. В этом примере составляется MIDAS-программа решения совместных алгебраических уравнений. Для их решения используется подпрограмма неявной функции, которая, по существу, заставляет машину производить итерации до тех пор, пока относительная ошибка между двумя последовательными итерациями не станет меньше заранее выбранной величины, обычно принимаемой равной 5 10 -Вообще говоря, вычислительная машина может производить расчет любой величины, если все входы заданы или применена специальная итерационная подпрограмма. Машина не может решать системы совместных алгебраических уравнений без этой подпрограммы и подбор других стандартных подпрограмм в этом не поможет. В качестве примера рассмотрим следующие уравнения [c.54]

Связь между символической записью п уравнениями настолько очевидна, что никаких объяснений не требуется. Вычислительная машина, получившая закодированные подобным образом команды, будет автоматически подразделять программу на серии операционных шагов, а затем перейдет к решению уравнений для заданных начальных условий. Фактически ликвидирована необходимость кодировать части отдельных операций, хотя при желании это может быть сделано, Перечень стандартных подпрограмм, применяемых при программировании па MTMI , дан в табл. П1-3. Однако лишь тщательное изучение описания MIMI [3] даст читателю возможность оценить его по достоинству. [c.58]

Решение оиотемы линейных нормальных уравнений (з 16) можно вапо/шить на ЭВМ по стандартной программе на базе метода Гаусса, эключенной в набор стандартных программ, входящих в прох м- ное обеспачаиие ЭВ1 11. Решение дает следупцие значения оптвмалы1ых параметров процесса [c.67]

Уравнение Бенедикта — Уэбба — Рубина долгое время использовалось как стандартное для определения Ki обеих фаз, однако, как считают некоторые исследователи, оно слишком сложно, чтобы его имело бы смысл применять при повторяющихся расчетах, например при решении задач, связанных с дистилляцией. В настоящее время для решения такого рода задач разработаны более простые методы расчета, примером может служить программа Кристиансена и др. [222] для многокомпонентной дистилляции, включая уравнение Соава. Результаты, полученные по основному алгоритму с акцентом на критические области и зоны высокого давления, рассмотрены на основе уравнения Соава — Асселина и др. [165]. Схема дистилляции с применением уравнения Соава или Пенга —Робинсона для оценки АГ, в задачах криогенной техники превосходит метод Чао — Сидера [632]. Сим и Доберт [637] пришли к выводу, что метод Соава наиболее пригоден для расчетов процессов испарения нефтяных смесей. Они разделяли смесь на фракции с интервалом по температуре кипения в 25°С и соотносили среднюю точку кипения Ть и плотность S с молекулярной массой М и критическими характеристиками, необходимыми для решения уравнения Соава. Ниже приведены эти эмпирические зависимости [c.311]

Наиболее просто система уравнений (5.31) и (5.34) совместно с равновесньШи зависимостями может быть решена численным интегрированием на ЭВМ с использованием итерационной процедуры расчета конечных концентраций компонентов в потоках или стандартных программ для решения систем алгебраических и дифференциальных уравнений. [c.197]

Касаясь вычислительного аспекта предлагаемого метода,отметим, что полученные уравнения в принципе решаются стандартными программами с наперед заданной точностью. Однако посксль-в решении задачи Б имеет значение лишь конечная точка траектории, то здесь рационально использовать более грубые методы, которые могут дать выигрыш во времени на порядок и более без заметной потери точности конечного результата. Эта рационализация особенно целесообразна в данном слзгчае, поскольку уход от точной траектории легко контролщ)уется по точности выполнения на траектории равенств, дифференцированием которых получены соответствующие дифференциальные уравнения. [c.178]

Решение задач анализа легче автоматизировать, так как они представляют собой классические задачи решения систем алгебраических или дифференциальных уравнений. Если анализируемое звено содержит малое количество переменных, то часто для решения соответствующей задачи в математическом обеспечении ЭВМ имеется готовая стандартная программа. )Одйако при большом количестве неизвестных и уравнений возникает необходимость в создании специальных алгоритмов, основанных на декомпозиции или другом методе понижения размерности задачи. [c.61]

Далее, книга характеризуется тем, что по ней можно научиться производить расчеты самостоятельно, не прибегая к другим пособиям. Весь необходимый аппарат изложен в этой книге и может быть освоен без всякого труда. Конечно, читателю, который приступает к расчетам по методу молекулярных орбиталей впервые, необходимо повторить с карандашом в уках изложенные в книге расчеты типичных простых молекул и лишь после этого производить расчеты интересующих его систем. Освоить составление вековых уравнений и понижения их степеней по симметрии можно за очень короткий срок. Что касается решения самих уравнений, то для этого имеются стандартные программы расчетов с помощью электронных вычислительных машин, доступные всем химикам [c.6]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология