Ячейка Вигнера—Зейтца

Рис. 33. Объемноцентрированная кубическая решетка а — ячейка Бравэ б — ячейка Вигнера—Зейтца

Рис. 34. Гранецентрированная кубическая решетка а — ячейка Бравэ б — ячейка Вигнера —Зейтца

Наряду с элементарной ячейкой обратной решетки часто бывает удобным построение аналога ячейки Вигнера — Зейтца в обратной решетке. Такая ячейка носит название зоны Бриллюэна (или первой зоны Бриллюэна). Рассмотрим для примера зону Бриллюэна для ГЦК кристалла. Очевидно, в обратном пространстве она ограничена многогранником, изображенным на рис. 8, б. [c.17]

Рис. 1.3. Ячейки Вигнера — Зейтца для плоской косоугольной, ОЦК и ГЦК тре.хмерных решеток Браве.

Рис. 8. Объемноцентрированная кубическая решетка а схема расположения атомов б — ячейка Вигнера—Зейтца.

Сделанный нами выбор [см. (35а) ] базисных векторов обратной решетки, так же как и в случае решетки кристалла [см. (33) ], не является единственно возможным. В частности, всегда можно построить элементарную ячейку с максимально высокой для данной обратной решетки симметрией, т. е. ячейку Вигнера-Зейтца. Ячейку Вигнера—Зейтца в обратной решетке принято называть зоной Бриллюэна. [c.81]

Ячейка Вигнера—Зейтца [c.79]

На рис. 7 показано построение ячейки Вигнера — Зейтца для двухмерной гексагональной решетки, элементарная ячейка которой изображена на рис. 4, б. Основным элементом симметрии гексагональной решетки можно считать поворотную ось шестого порядка. Наличие этого элемента симметрии проявляется при первом же взгляде на симметричную ячейку на рис. 7, так как последняя есть правильный шестиугольник. [c.13]

Следует заметить, что в отличие от элементарной ячейки ячейка Вигнера — Зейтца в трехмерной решетке, вообще говоря, не является параллелепипедом. Она есть многогранник, использование которого иногда удобно благодаря тому, что он содержит атом в своем центре. [c.13]

Но все же наиболее существенным свойством ячейки Вигнера — Зейтца можно считать то, что она как геометрическая фигура обладает всеми элементами симметрии кристалла по отношению к поворотам и отражениям. [c.13]

Нелишне подчеркнуть здесь, что зона Бриллюэна однозначно определяется структурой кристаллической решетки (точнее, ее решеткой Бравэ). Из определения зоны Бриллюэна следует, в частности, что все обратное пространство может быть плотно заполнено зонами Бриллюэна данного кристалла. Поскольку мы уже имеем рецепт построений ячейки Вигнера—Зейтца и знаем, как построить обратную решетку, то определение зоны Бриллюэна любого кристалла сводится к известным и уже решенным задачам. Так, зоной Бриллюэна г. ц. к. решетки является ячейка Вигнера—Зейтца о. ц. к. решетки, причем если ребро элементарного куба г. ц. к. решетки равно а, то ребро элементарного куба в обратной (о. ц. к.) решетке равно 2яа 1 следовательно, чтобы построить зону Бриллюэна в этом случае, нужно взять о. ц. к. решетку с ребром элементарного куба 2яа 1 и построить в ней ячейку Вигнера—Зейтца. Она и даст нам искомую зону Бриллюэна. Понятие зоны Бриллюэна, как увидим ниже, является чрезвычайно важным в физике кристаллов. [c.81]

Термины ячейка Вигнера — Зейтца и приведенная зона Бриллюэна относятся к одному и тому же объекту — симметричной ячейке минимального объема. Однако первый из них обычно употребляют, когда говорят о прямой решетке, связанной с какой-либо кристаллической структурой, а второй используют для соответствующей обратной решетки. Например, поскольку обратной для ОЦК решетки является ГЦК решетка, то зона Бриллюэна ОЦК решетки есть ГЦК ячейка Вигнера— Зейтца. Наоборот, первая зона Бриллюэна ГЦК решетки есть ОЦК ячейка Вигнера — Зейтца. [c.55]

Это соотношение подтверждено в [38] на основе скачкообразного изменения плотности электронов на границе ячейки Вигнера - Зейтца. [c.351]

Рис. 66. Объемноцентрирован-ная кубическая решетка а) кубическая элементарная ячейка б) базисные векторы решетки Бравэ в) ячейка Вигнера — Зейтца.

В 1.3 мы рассмотрели различные виды элементарных ячеек решетки Браве, отметили неоднозначность выбора векторов основных трансляций, определяющих минимальную по объему ячейку. Для классификации электронных и колебательных состояний кристалла по неприводимым представлениям его группы симметрии несущественно, является ли элементарная ячейка примитивной или ячейкой Вигнера — Зейтца вполне достаточно требования минимальности ее объема. Если это [c.92]

В неприводимом представлении группы Га с номером к трансляции на вектор решетки tл соответствует число ехр(— ка) (с.м. (1.14)). В неприводимом представлении с номером к =к- Ь, где Ь — вектор обратной решетки, опе-рации /а соответствует число ехр(— к а) = ехр(—гка) X X ехр(—1аЬ)=ехр(—/ка). Следовательно, представления Ок п В к эквивалентны. Поэтому в качестве области изменения вектора к достаточно рассмотреть только элементарную ячейку обратной решетки минимального объема, т. е. область, внутри которой не содержатся эквивалентные (отличающиеся на вектор обратной решетки) векторы к, а для произвольного вектора обратной решетки к в этой области найдется эквив.а-лентный вектор. В качестве области изменения вектора к, удовлетворяющей этим условиям, удобно выбрать симметричную ячейку минимального объема в обратной решетке, т. е. ячейку Вигнера — Зейтца. В центральном узле ее помещают начало координат (точка с к = 0), которое обозначают символом Г (тождественное представление группы трансляций, в котором всем трансляциям /а соответствует единица). Симметричную относительно преобразований точечной группы обратной решетки ячейку Вигнера — Зейтца называют первой или приведенной зоной Бриллюэна. [c.55]

В качестве примера трехмерной симметричной ячейки рассмотрим ячейку Вигнера — Зейтца для объемноцентрированной кубической решетки. Схема расположения атомов в объемноцентрированной кубической решетке дана на рис. 8, а, симметричная ее ячейка изображена на рис. 8, б. Квадратные грани симметричной ячейки суть участки плоскостей внешних граней куба на рис. 8, а, перпендикулярных естественным для этого кристалла осям симметрии [c.13]

Это уравнение представляет собой условие Вульфа — Брэгга для электронных волн. Как отмечено выше, решеткой, обратной ГЦК-решетке, является ОЦК-решетка. Поэтому в силу условия (VI.2) зоной Бриллюэна алмаза будет ячейка Вигнера — Зейтца ОЦК-решетки. [c.78]

Построить ячейку Вигнера — Зейтца для базоцентрированной [c.139]

Такое разложение используется и для кристаллов вне ячейки Вигнера — Зейтца. [c.138]

Вместо кубической элементарной ячейки можно взять изображенную на рис. 66, в ячейку Вигнера — Зейтца , [c.368]

Для ячейки Вигнера — Зейтца, имеющей форму многогранника, как мы видим, симметрия формы обеспечивается при минимальном объеме. Для ячеек в форме параллелепипеда этим двум требованиям одновременно удовлетворяют не все решетки Браве. [c.24]

При построении матрицы гамильтониана циклической системы надо учитывать взаимодействия центрального атома с теми атомами, которые попадают внутрь ячейки Вигнера — Зейтца, что и определяет Кц Яп = а для /У=3,4 и Нц=2а для N=5. Введение Яц позволяет обеспечить эквивалентность атомов, расположенных в центре и на краях Л -атомной цепочки. При этом некоторые взаимодействия приходится исключить вообще. Например, при Л =4 (рис. 1.9, в) = а и матричный элемент Нц следует положить равным нулю (атом 3, эквивалентный атому 3, не попадает в сферу радиуса Я = а с центром в атоме /). [c.48]

В обычной схеме приведенных зон число значений N волнового вектора в первой зоне Бриллюэна равно числу примитивных ячеек в основной области кристалла. При этом, как отмечалось, несущественно, какая именно элементарная ячейка минимального объема выбрана в прямой решетке кристалла —-примитивная (выбор которой вообще неоднозначен) или симметричная (ячейка Вигнера — Зейтца), важно лишь, что путем трансляции выбранной элементарной ячейки получается весь кристалл (точнее, его основная область), а объем ячейки — минимально возможный. Внутри элементарной ячейки минимального объема содержатся только неэквивалентные точки [c.99]

Рис. 1.16. Ячейки Вигнера-Зейтца в обратном цространстве для а) простой кубической, б) ГЦК, в) ОЦК решеток

Для всех 14 прямых решеток Браве на рис. 1.12—1.16 показаны соответствующие приведенные зоны Бриллюэна, т. е. ячейки Вигнера — Зейтца обратной решетки, имеющие в общем случае форму многогранника, обладающего точечной симметрией решетки. Число зон Бриллюэна различной формы не 14, [c.57]

Для точки симметрии Р звезда волнового вектора состоит из двух неэквивалентных векторов (каждая из шести вершин правильного шестиугольника принадлежит одновременно трем ячейкам Вигнера — Зейтца обратной решетки). Группа Ор изоморфна точечной группе шестого порядка Сз , имеющей два одномерных представления и одно двумерное. Следовательно, для звезды вектора Р возможны представления Р , Р2 (размерности 2) и Рз (размерности четыре). [c.66]

Для описания пространства кристалла относительно действующих на него и в нем сил графическое представление его, как системы точек, полезно заменить графическим представлением его в качестве трансляционно повторяющегося объема ближайшего действия одной частицы или узла. Для этого расстояния между соседними точками решетки делят пополам и через эти деления перпендикулярно векторам связи проводят плоскости, ограничивающие новую ячейку (Вргнера — Зейтца), в центре которой и располагается единственная для ячейки частица или узел. Грани такой ячейки представляют как бы границы раздела областей воздействия соседних частиц или узлов (рис. 3.4, а). В прямом кубическом пространстве ячейки Вигнера — Зейтца представляет куб, если система трансля-цйй примитивная, поскольку трансляции принадлежат к пучку [c.84]

Но минимальная ячейка может быть построена и таким образом, что относящийся к ней узел находится в центре ячейки. К ячейке такого рода относится ячейка Вигнера — Зейтца (см. рис. 1. 1, ). Последняя определяется как область решетки Браве, включающая те ее точки, которые расположены ближе (не дальше) к фиксированному узлу (центр ячейки), чем ко всем остальным узлам. Ячейку Вигнера — Зейтца называют также симметричной ячейкой, так как она всегда имеет симметрию соответствующей решетки Браве, т. е. переходит в себя при всех операциях точечной симметрии, переводящих узлы решетки в узлы решетки. Эти операции образуют точечную группу Од, называемую голоэдрией. Для построения ячейки Вигнера — Зейтца леобходимо соединить прямыми узел решетки, принятый за центр, с другими узлами и через середины полученных отрезков провести перпендикулярные к ним плоскости. Наименьший мно- [c.23]

Ячейка Вигнера — Зейтца обеспечивает одновременно минимальность объема (объем ее совпадает с объемом примитивной ячейки) и максимально возможную в решетке симметрию формы элементарной ячейки. На рнс. 1.3 показаны ячейки Вигнера — Зейтца для некоторых решеток. Видно, что в случае косоугольной решетки ячейка Вигнера — Зейтца является шестиугольником (плоский случай), для объемно-центрированной (ОЦК) решетки — четырнадцатигранником (усеченный октаэдр), для гранецентрированной кубической (ГЦК) решетки — ромбододекаэдром. [c.24]

На рис. 1.3 показаны для трех кубических решеток симметричные ячейки Вигнера — Зейтца. Для простой кубической решетки си.мметричная ячейка имеет форму куба, для центрированных решеток, как уже отмечалось в 1.3, она является [c.32]

На рис. 1.4 для всех 14 решеток Браве показаны кристаллографические ячейки (параллелепипеды Браве). Как видно пз этого рисунка, для центрированных (непримнтивных) решеток кристаллографическая ячейка содержит целое число минимальных ячеек —4 для гранецеитрироваиных решеток, 2 для объемно-центрированных, 2 для базоцентрированных. Так, для кубических решеток кристаллографическая ячейка является кубом и содержит 4 минимальных для гранецентрированной и две для объемно-центрированной решеток. При этом примитивная ячейка является ромбоэдрической (см. рнс. 1.5), а ячейка Вигнера— Зейтца представляет собой многогранник сложной фор- [c.33]

В качестве второго примера рассмотрим плоскую модель слоистого кристалла типа графита (или ВМгекс) с двумя атомами в элементарной ячейке, расстояние между которыми обозначим Я. На рис. 1.10—1.11 показаны циклические системы, содержащие 2X2, 3x3, 4x4 примитивных элементарных ячеек, т. е. 8, 18 н 32 атома. Соответствующие РЭЯ могут быть получены как растяжением вдоль векторов основных трансляций Я], аг, так и расширением симметричной ячейки Вигнера — Зейтца. При определении числа атомов в циклической системе надо учитывать, что атомы на границах относятся сразу к нескольким ячейкам (атомы в вершинах шестиугольников— к трем, на сторонах — к двум, атомы в вершинах параллелограммов— к четырем ячейкам). Очевидно, атомный состав расширенных ячеек одинакового объема не зависит от того, построены ли они расширением примитивной или симметричной ячейки. [c.48]

Для групп Та, 01, 0 /, обратная решетка Браве относится к ОЦК типу, ячейка Вигнера — Зейтца (приведенная зона Бриллюэна) показана на рис. 1.16. К точкам симметрии этой зоны кроме ее центра Г относятся точки X, L н W, звезды которых содержат три. четыре и шесть векторов соответственно. Для направления симметрии А (ГХ) звезда содержит шесть векто ров, для направления А ГЬ)—четыре вектора (группа Та) и восемь векторов (группы Ол, 01), для направлений Б (ГК), S (XU), Z (XW)—двенадцать векторов. Отметим, что расположенные на направлениях S и S точки К я U не обладают более высокой симметрией, чем другие точки соответствующих направлений, и поэтому не являются в соответствии с определением из 1.7 точками симметрии зоны Бриллюэна. Звезда вектора к на направлении Q содержит 24 вектора, в группе Та столько же векторов входит в звезду общего типа, в группах О/,, 01 звезда общего типа содержит 48 векторов. Соответственно неприводимая часть зоны Бриллюэна для группы Т вдвое больше, чем для групп Ол, Оа. [c.71]

Широко применяемая ячейка Вигнера-Зейтца строится сле-дуюшим образом. Узел решетки соединяется с ближайшими соседями прямыми, и через середины полученных отрезков прово- [c.34]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология