Интерполирование функций

Статистическое описание основано на обработке экспериментальных данных. Исследуемый объект характеризуется вектором факторов, определяющих целевую функцию или выходные параметры. Планируя эксперимент, набираются данные для определения коэффициентов зависимости между входными и выходными параметрами процесса. Имеется, по существу, бесконечное число вариантов установления такой зависимости на основе статистического анализа. Основная трудность заключается в выборе вектора состояния, элементы которого действительно характеризовали бы поведение реального процесса, а также в получении зависимости, допускающей не только интерполирование, но и экстраполирование решения за пределы области определения коэффициентов этой зависимости. [c.17]

Таблицы разностей используются при обработке экспериментальных данных и, в частности, при интерполировании и экстраполировании функций. [c.305]

Если интерполяционный многочлен строится в виде (11—26), то получается формула Ньютона для интерполирования вперед, если же в виде (11—27), то формула Ньютона для интерполирования назад. Выбор формулы определяется той частью табличных значений, которая будет интерполироваться впоследствии. Формула (11—26) более удобна для интерполирования начальных значений функции, а формула (И—27) — наоборот, конечных. [c.306]

Оценка точности формул интерполирования. Интерполяционный многочлен независимо от способа его получения аппроксимирует исходную функцию с некоторым приближением. Поэтому естественно поставить вопрос о степени его приближения к функции в точках, отличных от узловых, т. е. оценить остаточный член интерполяции [c.310]

На функциях uix) е IO, 1] зададим операторы интерполирования [c.157]

Способ интерполирования. Некоторые ограничения способа Ньютона можно обойти применением способа интерполирования (1Д4). Преи де всего выбирают два произвольных значения х и вычисляют отвечающие им значения функции. Допустим, что х = 2, а X., = 0,5 это соответственно дает / (2) = —8 и / (6,5) [c.20]

Очевидно, способ интерполирования, приемлем даже в случае непригодности способа Ньютона, т. е. если взято значение х, дающее f х) = 0. Если же функция линейна, искомое значение х определяется, так же как и при способе Ньютона, уже после [c.20]

В данной главе описано применение способов Ньютона и интерполирования для решения функций f (Т) п Р (Т) с целью определения температур кипения и точек росы смеси. Нижний предел точности расчета, который может потребоваться в этом случае, равняется примерно 10 . Другими словами, расчет температуры кипения смеси следует продолжать до тех пор, пока не будет найдено значение Т, при котором [c.30]

Искомым значением 0 является положительный корень, при котором (0) = 0. График функции д, (0) в окрестности положительного значения корня показан на рис. 1У-1. Положительный корень можно определить несколькими способами, два из которых (Ньютона и интерполирования) описаны в главе I. При применении итераций Ньютона необходимо знать первую производную 0 [c.92]

Начальные сведения о методе сеток даны в первых двух главах книги. Сначала (глава 1) рассматриваются основные применения метода сеток для функций одного иеременного интерполирование, численное интегрирование и численное дифференцирование, численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.11]

Наиболее употребительными методами нахождения аналитической функции, мало отличающейся от заданной, являются интерполирование и приближение. При интерполировании искомая аналитическая зависимость Р(х) в ряде указанных точек должна принимать те же значения, что и данная функция у(х), т. е. в заданных точках разность Р х) —у х) должна обращаться в нуль. Для приближения характерна минимизация некоторого функционала, характеризующего различие Р х) и у х) во всем промежутке изменения независимого переменного. В приложениях чаще всего используется квадратичное приближение, при котором минимизируемый функционал имеет вид [c.94]

Однако при интерполировании статических характеристик степень интерполяционного многочлена, как правило, оказывается слишком большой, что затрудняет в дальнейшем его использование при расчетах. Уменьшение числа узлов интерполирования, а значит и степени интерполирующего полинома, может быть достигнуто, если в качестве узлов взять средние значения экспериментально полученной функции на некотором интервале изменения независимого переменного (метод средних). Если порядок к аппроксимирующего полинома выбран, то вся совокупность экспериментальных данных Xi и г/г (/ =1,2,. .., п) делится на й + 1 группу [1,г,], [2,+ 1,г2],..., [г +1, ] (V = 1, 2.. .й) [c.95]

Подбор простейших аппроксимирующих функций. Число слагаемых аппроксимирующего выражения в методах интерполирования и приближения может быть зачастую существенно уменьшено, если из функции у(х) первоначально выделить достаточно простую составляющую f(x), а остаток г/о(х) = у(х) —f(x) аппроксимировать тем или иным из изложенных выше способов. [c.98]

Этот способ преобразования неточен, так как функция (IX. 42) существенно зависит от случайной помехи (О, наложенной на у (0, и от выбора узлов интерполирования. [c.240]

Порядок расчета на цифровых машинах соответствует изложенному на стр. 266 сл. Табличные значения эмпирических функций Уа=( х, У) и г/в= р(х, ) при этом могут быть заложены в память машины должна быть заложена также программа для интерполирования табличных значений. Возможно также представление указанных функций в виде эмпирических уравнений. [c.284]

Метод Маллера (нелинейное интерполирование). В качестве секущей используется квадратичная зависимость — кривая, проходящая через три точки рассматриваемой функции / (г). Для начальных условий принимают точки 2 , 2а, 2з. Интерполяционная формула имеет вид / [c.154]

Пусть функция у = /(х) задана таблицей. Часто оказывается необходимым вычислить значение функции при значении х, не поме-, щенном в этой таблице. Эта задача называется интерполированием. [c.561]

Обычно при интерполировании достаточно иметь четыре значения определяемой функции — по два с обеих сторон от места искомого значения в таблице. В соответствии с этим составляем табл. Х1Х-23. [c.563]

При вычислении термодинамических функций газов по уравнениям (11.161) и (11.162) величины Ф .о/ и 8г.о Н вычисляются интерполированием по таблицам термодинамиче- [c.109]

Система т/ е/и-бутиловый спирт— вода была весьма подробно исследована группой финских ученых [17]. Значения термодина-.мических функций при 50 и 70° С авторы вычисляли по данным СВОИХ измерений равновесия между жидкостью и паром и теп-.,лот смешения жидкостей (калориметрическим методом). Включенные в табл. 6 значения функций при 60° С определены нами интерполированием данных работы [17]. [c.148]

Пусть на некотором отрезке заданы значения некоторой функции f(xo), f(x ), f Xn). Необходимо найти интерполирующую функцию Р х), принимающую в точках Jfo,. .., Хп (узлах интерполирования) эти же значения. Заметим, что в общем случае таких функций может быть много. Обычно принято задачу сужать и искать интерполирующую функцию только среди определенного класса функций. [c.226]

Если в качестве интерполирующей функции искать полином, то ограничение степени полинома сверху числом п приводит к единственности решения. Если полученную функцию используют для нахождения точек внутри интервала интерполяции [л о, Хп], то принято говорить об интерполировании. Если же эту функцию используют для нахождения точек вне этого интервала, то вместе с термином интерполирование , понимаемом в широком смысле, употребляется и термин экстраполирование . [c.226]

Для решения такой задачи существуют различные интерполяционные формулы, как-то первая и вторая Ньютона, Гаусса, Стирлинга и Бесселя. Формулы Ньютона используют информацию о значениях функции, лежащих лишь по одну сторону от искомой точки, причем первая из них употребляется для интерполяции вперед от начального значения или экстраполяции назад, тогда как вторая — для интерполяции назад или экстраполяции вперед. Информация в две стороны учитывается при интерполировании по формулам Гаусса, Стирлинга и Бесселя. [c.226]

Поскольку в реальном эксперименте далеко не всегда удается получать значения функции в точках с постоянным шагом, рассмотрим более интересный случай — интерполирование для произвольных узлов. [c.227]

Видно, что погрешность интерполирования зависит как от свойств самой функции [максимум (п + 1)-й производной], так и от расположения узлов. Наиболее удачное расположение узлов будет минимизировать максимальное на промежутке интерполяции значение произведения [c.227]

Рис. 5. График интерполирования Z как функция ti) и

Ошибка, обусловленная большой величиной высших производных, не может быть изменена, она определяется характером функциональной зависимости. Для функций, заданных таблично и не имеющих аналитического представления, ее подчас невозможно оценить. Однако, как следует из выражения (11—34), ошибка, вызванная неудачным выбором узловых точек, также может быть существенной. Если, например, узлы интерполяции будут выбраны вблизи одного из концов интервала интерполирования, то для значений Xi у второго конца интервала при (х — Тц) 1 разности будут значительными, соответственно их произведение может быть сравнимо со значением производной. Поэтому при интерполировании с неравноотстоящими узлами выбор узловых точек необходимо производить таким образом, чтобы значение полинома в правой части соотношения (И—34) для различных значений аргумента было возможно малым по абсолютной величине. [c.311]

В сводке, выпущенной Келли в 1960 г. приведены данные о высокотемпературных составляющих энтальпии (Яг — Ягэз) и энтропии (S7-— Sms) для 893 неорганических веществ в конденсированном или газообразном состояниях как в аналитической форме (т. е. в форме уравнений, выражающих эти величины как функции температуры), так и в форме таблиц, содержащих интерполированные значения, рассчитанные по уравнениям для соответствующего интервала температуры. Кроме того, в книге приведены параметры фазовых переходов и уравнения для расчета высокотемпературной теплоемкости тех же веществ. [c.77]

Следовательно, задача сводится к нахождению ряда положительных величин и при которых одновременно / (Г, ,У у) = = О. Эти значения можно определить несколькими способами, например способом Ньютона—Рафсона или способом интерполирования. Для решения уравнений (VIII,21) и (VIII,25) был применен способ интерполирования. При атом сначала выбирают произвольное значение которое обозначают как У затем находят соответствующее ему значение 7 , при / = 0. Исходя из этих величин Уи Т , нахОдят значение для функции Р, которое обозначают через р . Процедуру повторяют для другого значения обозначаемого как в результате чего получают величину р2- Следующее, корректированное, значение Vвычисляют но формуле интерполирования [c.194]

Для нахождения величин Фг, о, 5г. о, а также Нт— Нд) JT и Ср , рядом авторов составлены таблицы значений этих величин как функций от значений б/Г. По этим таблицам составляющие гармонического осциллятора могут быть найдены путем простого интерполирования. Вильсон [4291] составил таблицы величин Фг. о. Нт — Н ) JT и т. д. как функции от значений со/Г, а в работе Торкингтона [4004] эти величины были представлены в виде функций двух переменных (со и Г) [c.94]

H N. Термодинамические функции синильной кислоты, приведенные в табл. 208(11), вычислены по постоянным, найденным в работе Дугласа и Шарма [1383] и приведенным в табл. 189. Расчет колебательно-вращательных составляющих был выполнен по методу Касселя [см. уравнения (11.210), (II.211)], поправки в значениях Фг на ангармоничность колебаний молекулы H N, взаимодействие вращения и колебаний и центробежное растяжение при вращении вычислялись по этим уравнениям для температур 298,15 500, 700, 1000, 1500, 2000, 2500, 3000, 4000, 5000 и 6000° К- При Т< 4000° в суммах 2 UnkYuk вычислялись члены со значениями + fej 2 при 4000, 5000 и 6000°К — члены с г -f / + 4. Для остальных температур значения а в уравнениях (II.210) и (II.211) были получены интерполированием. Соответствующая поправка в значениях вычислялась при помощи численного дифференцирования величин i ln а. [c.653]

Несколько в ином положении находится решение [58], поскольку оно представляет собой не бесконечную совокупность, а лишь одну операцию нахождения мнимой части изотермы при отрицательных давлениях. Однако для его применения невозможна непосредственная подстановка экспериментальных данных, а необходимо предварительное составление интерполяционной функции Ф (р), удовлетворяющей условиям Неванлинна. Затруднения, которые при этом возникают, достаточно подробно освещены в предыдущем параграфе. Следует только добавить, что для полного решения задачи в этом случае также необходимо интерполирование, а, следовательно, и экспериментальное измерение изотермы до заполнений б, близких к единице. [c.293]

Система этиловый спирт — вода изучалась рядом авторов [4, 6—12 и др.] В табл. 2 приведены данные Митчелла и Вину-Джонса [4] о значениях избыточных функций для этой системы при 25° С, вычисленные ими на основании данных Добсона [12] и Бозе [6], и рассчитанные нами значения полных функций. Значения термодинамических функций для температуры 60° С вычислены на основании точных данных о равновесии жидкость — пар Удовенко и Фаткуллиной [11] и интерполирования данных Бозе. [c.146]

Из исходной таблицы у(У ) исключается одна точка. Интерполяцией методом Ньютона по 2, 3 и 4 окрестным точкам вычисляется значение функции в исключенной точке. Далее выбирается интерполированное значение функции, полученное линейной, квадратичной или кубической интерполяцией, имеющее минимальное отклонение от табличного значения функции. Ёсли отклонение меньше заданной абсолютной погрешности сглаживания, умноженной на 1,5 /правило трех сигц/, то табличное значение заменяется в рабочем массиве на величину /Угабл + Уинт/ / в противном случае в промежуточную таблицу заносится интерполированное значение. Эта процедура проводится последовательно с каждой точкой исходной таблицы за исключением двух первых и двух последних. В результате выбирается [c.16]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология