Ньютона второй

Вычислив приближенное значение искомого корня, мон по затем вычислить и значение многочлена / (а ) при х = х. , т. е. значение / х и применить потом к числам х ж I (Ж1) тот же способ Ньютона для вычисления второго приближения [c.150]

По второму закону Ньютона производная по времени от этой последней величины равна действующей силе, т. е. [c.118]

Методы решения задач динамики. При решении задач динамики механизмов, например при исследовании движения машинного агрегата или отдельных элементов машин, обычно применяют уравнения динамики в одной из трех форм второго закона Ньютона, уравнения кинетической энергии, уравнения Лагранжа второго рода. [c.43]

Второй закон Ньютона обычно используют для описания движения материальной точки или системы материальных точек. [c.43]

Свободные колебания. Рассмотрим свободные колебания упругой линейной консервативной системы с одной степенью свободы (см. рис. 3.1, а). В соответствии со вторым законом Ньютона тх = —Ру, где Ру — сила упругости или восстанавливающая сила, действующая на тело со стороны упругой связи (пружины). Полагая, что Ру = О при X =0, для линейной упругой системы с жесткостью с получим в произвольном положении Ру -.сх, и, следовательно, дифференциальное уравнение движения тела примет вид тх + сх = О или [c.47]

Физическая модель движения жидкости. Рассмотрим равновесие движущейся жидкости, непрерывно распределенной в пространстве (сплошная среда). Движение жидкости происходит под действием массовых (объемных) и поверхностных сил. Прн выводе уравнений за основу возьмем второй закон Ньютона, согласно которому сумма векторов всех сил (силы тяжести, силы от гидростатического давления, а для реальных жидкостей — силы трения), действующих на выделенный элемент жидкости, равна произведению его массы на ускорение. [c.276]

Однако макроскопические свойства системы могут быть выведены и иным путем — из анализа микроскопических свойств объектов и сил взаимодействия, существующих между ними. Наиболее простой и бесхитростный способ решения такой задачи состоит в том, чтобы, зная исходные данные (начальные условия), решить соответствующее уравнение связи для каждой частицы. Ситуация при этом носит достаточно общий характер — если объекты системы достаточно велики и подчиняются законам классической физики, то необходимо решать уравнения классической механики (Сравнения Ньютона) при знании начальных координат и импульсов каждого объекта если же речь идет о микрообъектах, подчиняющихся законам квантовой механики, то необходимо решать волновое уравнение Шредингера при знании начальных волновых функций и сил взаимодействия. Единственные затруднения такого прямолинейного анализа состоят в том, что, во-первых, число объектов в реальных системах весьма велико (например, при нормальных условиях Т = = 29.3 К, Р = 1 ат, в 1 см содержится N = 2,7-10 молекул — число Лошмидта, что означает необходимость решения 3-2,7-10 8-10 уравнений при 6-3-2,7 х X 10 5-10 значениях начальных условий) и, во-вторых, точные значения начальных условий неизвестны. Поэтому необходим иной подход [11]. [c.24]

В настоящее время предложена модификация метода Ньютона, которая натребует вычисления на каждой итерации матрицы частных производных, но этот метод не всегда сходится. Метод Вольфа при достаточно хорошем начальном приближении сходится примерно с такой же скоростью, как и метод Ньютона. Метод Вольфа выгодно отличается от метода Ньютона тем, что не требует вычисления матрицы частных производных. Однако в этом методе для начала работы требуется иметь п+1 начальных приближений, что неудобно в общем по двум причинам. Во-первых, при большом п может потребоваться большая вычислительная работа. Во-вторых, получение +1 начальных приближений — довольно трудная задача. Они могли бы быть определены, например, путем простой итерации. Но простая итерация может расходиться, и тогда полученные приближения могут расположиться далеко от решения. А в методе Вольфа очень важно, чтобы п- - начальных приближений располагались достаточно близко от искомого решения. [c.94]

Необходимо отметить, что для определения величин координируемых переменных я,- и 5/ на втором уровне можно использовать как различные градиентные методы, так и методы коррекции второго порядка по Ньютону — Рафсону. [c.235]

Другим способом линеаризации является разложение функции (уравнения баланса) в ряд Тейлора до членов первого или второго порядка. Полученная система уравнений решается методом Ньютона—Рафсона, обладающим квадратичной сходимостью. Методам этой группы свойственна высокая чувствительность к начальному приближению. [c.135]

МОЙ памяти. Использование итерационных методов (а они составляют большинство методов вычислительной математики) отвечает требованиям минимизации занимаемой памяти, однако не всегда обеспечивает требуемое быстродействие. Метод должен обеспечивать, во-первых, сходимость при любом начальном приближении и, во-вторых, с приемлемым быстродействием. Далеко не много методов удовлетворяют этим требованиям. Например, метод релаксации в общем случае обеспечивает сходимость решения при любом начальном приближении, но весьма и весьма медленно. Методы же типа Ньютона—Рафсона обладают квадратичной сходимостью, но не при любом начальном приближении. В связи с этим одной из сложных проблем при использовании итерационных методов является обеспечение сходимости решения в широком диапазоне изменения параметров процесса. [c.261]

Метод касательных метод Ньютона). Пусть / (а ) на интервале а, Ь) имеет простой корень, а / (х) и f" (х) ф О, т. е. в интервале а, Ь) первая и вторая производные функции / (ж) сохраняют постоянные знаки. [c.191]

Учет инерции. Масса жидкости в трубопроводе равна р18, где р — плотность, 8 — площадь поперечного сечения трубопровода, I — его длина. Сила, сообщающая жидкости ускорение, равна Р — Рз)8. Согласно второму закону Ньютона [c.169]

Рассчитать (Ах , ЛХ) - вторую коррекцию Ньютона [c.275]

Имеются два общих подхода к выводу уравнения состояния первый — это определение давления из теоремы вириала (кинетическое давление) и второй — расчет давления на основании функций распределения, применяемых в статистической механике (термодинамическое давление). Можно ожидать, что оба подхода равноценны, и этому легко дать общее доказательство. Сначала представим вывод теоремы вириала в классической механике. Это достаточно общий вывод, относящийся только к усредненным по времени уравнениям движения. Здесь же обсуждается несколько простых приложений указанной теоремы, включая упрощенный вывод второго вириального коэффициента. В следующем разделе показано, что теорема вириала будет справедлива и в квантовой механике, если уравнения движения Ньютона заменить уравнениями Шредингера, а вместо классических переменных рассматривать их квантовомеханические аналоги. Одна из причин, по которым приводится теорема вириала (это не дань истории, так как именно из названия этой теоремы взято название вириального уравнения состояния), заключается в том, что эта теорема является достаточно общей и дает более обширную информацию в том случае, когда степенной ряд по плотности оказывается бесполезным. [c.23]

Выразим массу по второму закону Ньютона [c.33]

Из второго закона Ньютона 1 Н =1 кг1 м/с = 1 кг м/с . Единица работы (энергии) — джоуль (Дж) — работа, производимая силой 1 Н при перемещении точки ее приложения на расстояние 1 м в направлении действия силы [c.21]

Неизвестными параметрами во втором и третьем уравнениях (VII. 121) являются температура на выходе из реактора и температура перегретого пара /з на выходе из верхнего теплообменника. Эти два параметра могут быть определены путем решения системы из двух нелинейных уравнений теплового баланса методом Ньютона с использованием соответствующей стандартной программы. [c.214]

Практическое применение метода Ньютона сопряжено с некоторыми вычислительными трудностями. Во-первых, на каждом шаге итерации нужно решать линейную систему уравнений. Во-вторых, на каждом шаге нужно определять не только значения функций fi i =. .., п), но также п элементов матрицы F x и если частные производные fl.xj не имеют простого аналитического вида, то часто желательно обойтись без их вычисления. [c.68]

Программа позволяет генерировать системы уравнений и допускает использование различных подпрограмм. Она состоит из трех основных блоков, которые используются последовательно один за другим. Первый блок формирует уравнения из структуры ХТС в форме / (д ) = 0. Второй блок определяет оптимальную совокупность выходных переменных с учетом одного из критериев минимального числа итерируемых переменных или критерия чувствительности. Третий блок предназначен для решения систем уравнений (в том числе и уравнений для элементов ХТС с распределенными параметрами) методами простой итерации с модификациями или методом Гаусса— Ньютона. В этом же блоке имеются подпрограммы для оптимизации ХТС и расчета ХТС с учетом неопределенности некоторых параметров математических описаний ХТС. [c.108]

Методы первых и вторых производных Рассмотрим методы оптимизации без ограничений," использующие производные критерия оптимальности — сначала метод наискорейшего спуска на основе первых производных, а потом метод Ньютона на основе вторых производных. Хотя эти методы не очень эффективны для минимизации произвольных функций, рассмотрение их представляет интерес, поскольку они являются основой для методов сопряженных градиентов и переменной метрики. [c.208]

Метод наискорейшего спуска сходится слишком медленно, если целевая функция имеет овражный характер. Иногда он может вообще не сойтись за приемлемое время. В этом отношении более совершенны методы оптимизации, в которых используются вторые производные критерия оптимальности, например, метод Ньютона. [c.209]

Отметим, что метод Ньютона (см. У.86) в силу двух существенных недостатков ограниченно применяется в практических расчетах. Первый из них — это необходимость вычисления гессиана целесой функции в каждой точке. Поскольку критерий оптимальности обычно имеет довольно сложную форму, гессиан может быть вычислен только с помощью конечных разностей второго порядка- [c.210]

Последовательность матриц Я,- в этом случае определяется характером применяемого метода, причем Я,- могут зависеть от производных функции f х) не выше первого порядка. Методы второго порядка допускают зависимость Я,- в (1,43) от вторых частных производных минимизируемой функции. Например, классический метод Ньютона соответствует выбору Я,- = т. е. [c.27]

Отсюда для того, чтобы решение реальных задач оптимизации ХТС могло быть выполнено в приемлемые сроки, нужно использовать самые эффективные методы оптимизации. В Приложении описаны один из наиболее эффективных методов минимизации — метод Ньютона и некоторые его модификации. Итерации в методе Ньютона строятся на основе применения квадратичной аппроксимации минимизируемой функции. Основной недостаток метода Ньютона — это необходимость использования вторых производных минимизируемой функции, получение которых в реальных задачах чрезвычайно затруднено. [c.33]

Начнем рассмотрение с метода Ньютона [148], являющегося основой для построения различных методов второго порядка. [c.268]

Модификации метода Ньютона можно подразделить на две группы к первой относятся методы, уменьшающие количество вычислений на каждой итерации, ко второй — методы, увеличивающие область сходимости метода. [c.269]

Перейдем теперь ко второй группе методов. Часто используемый прием — это соединение метода Ньютона с одним из методов, имеющих более широкую область сходимости, например, с методом градиента. Тогда вначале работает метод градиента, а метод Ньютона применяется на последнем этапе минимизации, когда с помощью метода градиента уже получено хорошее начальное приближение. [c.269]

Наличие ограничений на фазовые переменные, как правило, значительно усложняет решение оптимальных задач. Существуют два пути решения задач с фазовыми ограничениями. Первый путь состоит в получении точных необходимых условий оптимальности и построении на их основе вычислительных процедур. Необходимые условия оптимальности при наличии фазовых ограничений получены в работе [19, с. 285—347], а также в работе [3, с. 130]. Использование метода Ньютона для построения вычислительной процедуры на основе указанных необходимых условий обсуждается в работе [23]. Однако считается, что вычислительные процедуры, найденные на основе необходимых условий для задач с фазовыми ограничениями, достаточно сложны и трудно применимы. Поэтому чаще применяется второй путь, при котором задача с фазовыми ограничениями посредством метода штрафов сводится к задаче без фазовых ограничений 24, 25]. Это делается таким образом. [c.118]

В методах первого порядка вектор направления обычно определяется из соотношения (1,41). В этом случае последовательность матриц Я определяется характером применяемого метода, причем в формировании Я участвуют производные функции / (х) не выше первого порядка. Методы второго порядка допускают зависимость Я,-в выражении (I, 42) от вторых частных производных минимизируемой функции. Например, классический метод Ньютона соответствует выбору Не = т. е. [c.17]

В методе Ньютона с разностной аппроксимацией матрицы Якоби можно выделить два этапа на каждом шаге это сбор информации для построения аппроксимации матрицы Якоби и собственно поиск. На первом этапе поочередно даются приращения всем аргументам функции / (х), причем функция / (х) вычисляется в (л + 1) точках, и вычисляются элементы матрицы Якоби с помощью уравнения (II, 21). Второй этап — это собственно поиск, при котором в начале определяется направление поиска с помощью выражения (II, 15), а затем делается шаг в этом направлении. Благодаря тому, что эти два этапа разделены, на каждом шаге приходится вычислять функции / (х) Б (л + 1)-й точке. В этом заключен большой недостаток метода, особенно существенный, когда размерность системы (II, 8) велика. [c.31]

Метод Ньютона, обеспечивающий минимизацию произвольных функций, описан в работе [11, с. 268]. Основным недостатком этого метода является необходимость на каждом шаге вычислять матрицу вторых производных (гессиан) функции / (х). Это обстоятельство явилось побудительной причиной развития квазиньютоновских методов, в которых на основе информации о значениях функции и ее производных в точках поиска строится некоторая аппроксимация либо самого гессиана Bi, либо обратного гессиана Hi i — номер точки). [c.86]

После появления термодинамики, которая рассматривает разнородные явления в их взаимной связи, были сделаны попытки включить в нее и механику. Однако первые же шаги в этом направлении оказались неудачными и завели теорию в тупик. С целью использования закона сохранения энергии (первого начала термодинамики) предстояло выбрать экстенсор для кинетического явления. Из двух возможных величин, подчиняющихся закону сохранения,— импульса и массы предпочтение было оказано импульсу. Этот неудачный первоначальный шаг повел термодинамику по неверному пути в частности, он наложил запрет на возможность осуществления так называемого безопорного движения — за счет внутренних сил системы. Чтобы не скучать, исследователям пришлось заняться проблемой двух масс (инерционной и гравитационной), которая возникла на основе раздельного рассмотрения Ньютоном второго закона механики и закона всемирного тяготения. [c.397]

Шло время, и алхимия после многообещающего начала стала вырождаться в третий раз (в первый раз у греков, второй — у арабов). Поиск золота стал делом многих мошенников, хотя и великие ученые даже в просвещенном XVII в. (например, Бойль и Ньютон) не могли устоять от соблазна попытаться добиться успеха на этом поприще. [c.24]

Размер производных единиц принимается в соответствии с физическими законами, устанавливающими соответствующую связь между физическими величинами. Так, например, единица силы—ньютон (н) устанавливается на основании второго закона Ньютона как сила, сообщающая покоящейся массе в 1 кг ускорение, равное 1 м1сек . Очевидно, 1 и = 10 дин. [c.22]

Методы второго типа — это методы градиента, наискорейшего спуска, Ньютона—Рафсона и их модификации. Методы третьего типа, связанные с вычислением вторых производных, не находят широкого применения из-за трудностей вычисления вторых производных. Здесь можно упомянуть лишь метод Флетчера—Пауэлла, который является методом первого порядка, но использует оригинальную аппроксимацию вторых производных Дэвидона, чем обеспечивает более высокую скорость сходимости, чем градиентные методы. [c.179]

Однако если разорвать потоки 14 — 10 и 7—8, для согласования условно-выходных и условно-входных переменных нужно решать систему нелинейных уравнений (27Уз + 2)-го порядка. Тако разрыв схемы позволяет значительно снизить порядок решаемой системы, что особенно сказывается при наличии большого числа параллельных агрегатов. Например, для схемы одного из заводов, СК где N<2 = 1, а Л з = 2, при разрыве первым способом получается система 20-го порядка, вторым — 6-го. При реализации процесса в одну техноло1 ическую цепочку эта разница не так значительна (системы 6-го и 4-го порядков). Однако опыт расчета подобной схемы на машине Минск-22 показал, что при одинаковых начальных условиях и методе решения системы уравнений (метод Ньютона) число итераций сократилось незначительно, а время расчета — в 1,5—2 раза за счет уменьшения объема вычислений на. каждой итерации. С увеличением значений ТУз преимущество второго способа разрыва схемы перед первым по числу итераций и времени расчета существенно возрастает. [c.303]

Методы решения систем нелинейных уравнений можно р азбить на три группы. К первой относятся метод простой итерации и его модификации, а также методы, ускоряющие сходимость простой итерации (методы DEM [22], GDEM [23]) ко второй — метод Вольфа и его модификации [3, с. 35 1, с. 84] к третьей — квази-ньютоновские методы. Здесь мы рассмотрим только метод Ньютона и квазиньютоновские методы решения систем нелинейных уравнений, идейно очень близкие к методу Ньютона и квазиньютоновским методам оптимизации. В дальнейшем будем говорить, что метод обладает р-шаговым свойством линейного окончания, если он обеспечивает решение системы линейных уравнений при числе шагов, не превышающем р. [c.29]

Система (II, 6) должна быть близка к линейной это условие будет выполняться, если начальное приближение находится достаточно близко от решения системы (И, 6). Действительно, при этих условиях шаг в соответствии с (II, 14), (II, 23) будет почти ньютоновским, примененным к системе, близкой к линейной, а, как мы видим, метод Ньютона дает решение системы линейных уравнений за один шаг. При невыполнении этих условий трудно ожидать хорошей сходимости метода. А поскольку при плохом начальном приближении второе условие часто не вьшолняется, то и метод в этих случаях сходится не очень быстро. И, действительно, типичная картина зависимости нормы правых частей системы от номера итерации проиллюстрирована на рис. 9. Вначале достаточно долго наблюдается очень медленная сходимость, и только в конце итерационного процесса норма начинает очень быстро уменьшаться, т. е. сверхлинейная сходимость появляется только в конце итерационного процесса, когда выполняются оба условия, матрица Я становится близкой обратной матрице Якоби, а система (II, 6) вследствие близости итерационной точки к точке решения становится близкой к линейной. [c.71]