Интегрирование методом Эйлера

После того как оптимальное управление в начальный момент определено опт( (0)) становится возможным с применением любого численного метода интегрирования системы дифференциальных уравнений сделать один шаг интегрирования, т. е. найти значения функций x(t) и Я (0 "При f= tf°)-f-Af- Например, при использовании простейшего метода интегрирования — метода Эйлера получим - [c.346]

Интегрирование методом Эйлера [c.76]

Общая проблема с интегрированием методом Эйлера состоит в том, что это может привести колеблющуюся модель к отклонению - не из-за структуры модели, а из-за неточного интегрирования. [c.80]

Такое представление полезно в случае необходимости получения точных результатов моделирования, как, например, в случае интегрирования методом Эйлера с шагом 1. [c.85]

В связи с тем, что при расчете стационарных режимов работы технологических схем точное решение динамической модели не является необходимым, целесообразно при интегрировании системы дифференциальных уравнений использовать различные временные шаги интегрирования для каждой перемены, что в случае применения метода Эйлера запишется как [c.404]

Для интегрирования системы уравнений (IV, 202), — (IV, 207) используется метод Эйлера с постоянным шагом. Величина шага Дх определяется из условия [c.320]

Интегрирование по методу Эйлера заключается в последовательном применении формулы (12—17) к уравнению (12—8), начиная = 1. При наличии начального условия = для [c.353]

При интегрировании по методу Эйлера полагается, что производная по X от Х) до — постоянная величина, что соответствует кусочно-линейному представлению интегральной кривой на отдельных участках интегрирования. Из формулы (12—12) следует, что для получения решения используется ряд Тейлора с точностью до членов первого порядка малости по к, поэтому ошибка на каж- [c.353]

Модифицированный метод Эйлера. В отличие от обычного метода Эйлера, когда для вычисления следующей точки интегральной кривой требуется информация только о предыдущей точке, модификация метода заключается в использовании прогноза поведения интегральной кривой в последующих точках. Модифицированный метод основан на усреднении положения концевой точки отрезка, которым заменяется интегральная кривая. Усреднение производится с учетом тангенса угла наклона в некоторой промежуточной точке, например в точке, отстоящей от начальной на половину шага интегрирования. Порядок построения решения в модифицированном методе Эйлера представлен на рис. 54 и заключается в следующем. Проводится касательная через точ-г/г) с тангенсом угла наклона / х , / ) до пересечения с прямой л = XI /г/2 и в точке пересечения вычисляется производная, равная [c.354]

Таким образом, при использовании модифицированного метода Эйлера на каждом шаге интегрирования необходимо иметь информацию о текущей и предшествующей точках. Поэтому этим методом нельзя воспользоваться на первом шаге интегрирования [c.354]

В зависимости от знака величины А один из корней характеристического уравнения (12—28) оказывается по модулю большим единицы. Поэтому при I оо общее решение неоднородного уравнения и, следовательно, модифицированный метод Эйлера является неустойчивым. Так же как и для простой формулы Эйлера, ошибка может быть уменьшена только за счет уменьшения шага интегрирования. [c.358]

Для условий, рассмотренных в примере 1, составим программу интегрирования системы дифференциальных уравнений, описывающей динамику тарельчатой ректификационной колонны, используя формулы усовершенствованного метода Эйлера — Коши. [c.368]

Очень важным аспектом метода дифференциальной гомотопии является стратегия выбора размера щага на стадии интегрирования, где единичный тангенциальный вектор и умножается на размер щага 8 для определения начальной точки у (в точке Л" предсказанной методом Эйлера), корректируемой в по- [c.273]

Дискретизация вектора состояния Хх определяется в результате интегрирования (У.192). Для этого можно, например, использовать методы Эйлера или Рунге—Кутта. [c.232]

Это преобразование улучшает обусловленность якобиана системы, т.е. уменьшает жесткость задачи. Затем полученная в результате преобразования система уравнений решается по неявной схеме Эйлера методом Ньютона. При такой конструкции алгоритма в преобразованном уравнении правые части быстрых переменных содержат члены с большими константами и называются авторами алгоритма быстрыми комбинациями. У медленных переменных в слагаемых скоростей будут отсутствовать члены с большими константами. Однако надо отметить, что константа скорости химической реакции сама по себе не является оценкой характерного времени би- и тримолекулярных процессов. Для такой оценки необходимы скорости элементарных стадий, а эти скорости могут быть получены только в процессе решения системы кинетических уравнений. Поэтому в некоторых случаях предложенный алгоритм может не привести к желаемому разделению на быструю и медленную подсистемы и фактически сведется к интегрированию неявным методом Эйлера системы обыкновенных дифференциальных уравнений, практически не отличающейся от исходной по жесткости. [c.133]

I После интегрирования ( 6.2 ) методом Эйлере что гре- [c.72]

Блок-схема алгоритма приведена в работе [36]. Для численного интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих процесс каталитического риформинга, первоначально использовался метод Рунге—Кутта. Разработанная программа позволила эффективно интегрировать дифференциальные уравнения. Однако, как показала практика, на расчеты затрачивалось много времени. Для сокращения времени счета была составлена другая программа, использующая более быстрый метод Эйлера. Сравнение точности вычислений по этим двум методам решения системы дифференциальных уравнений приведено в таблице III. 2. Данные таблицы показывают, что [c.126]

Состав сырья по компонентам, об. доли или мольные доли Масса 1-го компонента в 1 м реакционной смеси Значения N(0, занесенные в память ЭВМ для выполнения промежуточных операций по методу Эйлера Состав реакционной смеси по компонентам, % масс. Молекулярная масса сырья Плотность сырья при нормальных условиях, кг/м Давление пиролиза, ата Температура пиролиза, К Шаг интегрирования,С Конечная продолжительность пиролиза, С [c.138]

Поскольку точность рещения задачи по методу Эйлера зависит от величины шага интегрирования (чем меньше шаг, тем точнее решение, но больше продолжительность расчета) рассмотрим принципы [c.4]

Рещение данной подзадачи может проводиться одним из методов численного интегрирования (например, методом Эйлера, методом Рунге-Кутта). Это решение позволяет определить необходимую высоту колонны, обеспечивающую требуемую степень выделения целевого компонента. [c.275]

Решение указанной системы дифференциальных уравнений проводилось по программе, составленной применительно к универсальной цифровой машине Урал . Для решения был применен метод Эйлера, заключающийся в автоматическом нахождении шага интегрирования, отвечающего заданной величине точности расчета. Этой величине соответствует максимальное отклонение интегральных кривых, получаемых при численном решении задачи, от истинных значений величин, характеризующих изменение концентрации жидкости на тарелках колонны во времени. [c.238]

Известно, что наиболее устойчивыми для "жестких" систем даже при малых (по абсолютной величине) значениях шага ь являются неявные разностные схемы (или методы обратного шага) [4],[3]. Из методов, устойчивых при любом шаге интегрирования, известен неявный метод Эйлера. [c.28]

В работах [ 2 ], [ 5 ] описаны методы решения систеш (I), основанные на применении неявного метода Эйлера. Однако у этой разностной схемы ошибка на каждом шаге интегрирования длины 11 имеет порядок ъ. и по этой причине для достижения нужной точности все-таки требуется мелкий шаг. При моделировании химических процессов мы использовали неявную разностную [c.28]

Ясно подчеркнув необходимость тщательно учитывать физику проблемы при формулировании метода решения, мы можем теперь сказать, что это не всегда приведет к наиболее эффективным математическим методам решения. Например, существуют более хорошие методы интегрирования, чем метод Эйлера. Некоторые из них, такие, как методы Рунге — Кутта, не являются следствием физической цепи аргументов. [c.37]

Таким образом, в результате вычислений определяется некоторая ломаная линия, линейные отрезки которой имеют угол наклона, вычисляемый через производную в соответствующей точке интегральной кривой. Как следует из рис. 53, с ростом к ломаная линия все дальше отходит от истинного решения. Отсюда же из геометрических представлений легко заметить основной недостаток метода Эйлера если, например, кривая решения выпуклая, то ломаная кривая, вычисляемая на каждом шаге, будет отходить от нее вверх, поскольку для вычисления положения последующей точки используется производная в предыдущей. Очевидно, чем больше кривизна интегральной кривой и шаг интегрирования, тем значительнее это отклонение. Другим неприятным свойством этого метода является также то, что ошибка интегрирования накапливается, т. е. увеличивается с каждым шагом. [c.353]

Несмотря на простоту реализации, метод Эйлера относительно редко применяется при интегрировании дифференциальных уравнений, поскольку не обеспечивает достаточной точности вычислений и очень часто бывает неустойчив из-за накопления ошибок. Устойчивость метода увеличивается при уменьшении шага интегрирования, однако при интегрировании сложных уравнений уменьшение шага приводит к резкому увеличению объема вычислений и, как следствие,— к значительным затратам машинного времени. [c.354]

В приведенной ниже программе для интегрирования методом Эйлера с помощью бесконечного цикла число интервалов удваивается после каждой итерации. Каждое из вычисленных приближенных значений интеграла вы можете увидеть на экране и, сравнивая их, решить, удовлетворяет ли вас полученный результат. В соответствии с этим клавишей RUN/STOP можно прервать выполнение программы. [c.79]

Хотя система уравнений (5.18) имеет несколько необычную форму, она может быть решена с помощью стандартного метода интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. В нашем случае, когда ищут одно стационарное решение, нет необходимости использовать методы интегрирования со специально настраиваемыми параметрами, поскольку глобальная устойчивость и квадратичная сходимость может быть получена и без них. Некоторые исследователи проводили эксперименты с интефаторами относительно высокого порядка, но их опыты подтвердили ранее сделанное предположение о том, что для получения решения достаточно простого явного интефирования методом Эйлера. [c.270]

Ранее было показано, что метод Ньютона с линейным поиском эквивалентен методу дифференциальной гомотопии и задача решается интегрированием по методу Эйлера, но без шага коррекции. Таким образом, метод Ньютона с линейным поиском можно представить с помощью полиномиальной аппрокси- [c.280]

По предварительно уточненной дома, в ходе подготовки к лабораторной работе, программе с помощью ЭВМ анализируется кинетика биосинтеза паприна решением системы уравнений (1.1) по методу Эйлера. В ходе выполнения серии вариантов расчета необходимо выяснить влияние шага интегрирования на точность расчетов и обосновать конечный выбор шага интегрирования. [c.68]

Р1 Значения Р, заносимые в память ЭВМ для выполнения промежуточных операций при интегрировании дифференциальных еравнений по методу Эйлера на каждом шаге интегрирования как результат предыдущего расчета i [c.73]

Летный эксперимент по аэродинамическому торможению. Для решения ряда вопросов, связанных с созданием AOTV, было принято решение провести натурный эксперимент, названный Летным экспериментом по аэродинамическому торможению (AFE). В ходе этого эксперимента можно было бы, в частности, оценить влияние неравновесных процессов в газе и на поверхности на тепловые потоки к аппарату на траекториях AOTV. Также же, как и на аппарате Спейс Шаттл такая проверка могла быть выполнена с помош,ью сравнения тепловых потоков к стандартной плитке из R G с тепловыми потоками к поверхности материала с высокими каталитическими свойствами. Предварительные результаты расчетов тепловых потоков в окрестности высоко каталитического покрытия показали типичный скачок теплового потока по сравнению с низко каталитическим материалом R G [148]. В расчетах использовалась теория пограничного слоя с распределением давления, полученным интегрированием уравнений Эйлера методом интегральных соотношений. [c.129]

При интегрировании системы уравнений использова ися метод Эйлера-Коши с последующей итерацией по схеме трапеции с автоматическим выбором шага интегрирования. [c.170]

Интегрирование системы(1)+(4) проводилось разностным методом Эйлера по жесткой схеме.Это позволяло при сравиитель-но крупном шаге по 6 быстро и с достаточно высокой точностью вычислять значение минимизируемой функции. [c.213]

Так как требование устойчивости накладывает в случае интегрирования жестких систем стандартными методами большие ограничения на шаг интегрирования, то естественно попытаться найти метод, обладающий большей областью устойчивости.Численный метод называется А устойчивы л (по Далквисту), если его область абсолютной устойчивости содержит всю левую полуплоскость комплексной плоскости Xh. Примером такого метода яъ-ляется обратный метод Эйлера [c.14]

Эта система уравнений была проинтегрирована на ЦЭВМ по методу-Эйлера с предельными условиями температура 360—460° С с шагом в 20° С,, начальная концентрация ЦПД и ацетилена — 0,0258 моль/л и время контакта от О до 200 сек. Шаг интегрирования был выбран 0,1 сек. с записью па ленту через каждые 10 сек. Полученная графическая зависимость концентрации ЦГТ от времени при различной температуре показана на рис. 2. Из графиков видно, что максимально возможное содержание ЦГТ не превышает 65%, при этом выход на превращенный ЦПД составляет 80%. Достигнув максимума (при 360° С), через 60 и (при 380° С) через 120 сек., содержание ЦГТ в конденсате изменяется незначительно, вплоть до 200 сек. При более высокой температуре (400 и 420° С) происходит резкое возрастание концентрации ЦГТ, и максимум достигается примерно через 40 сек. После этого содержание ЦГТ быстро падает за счет побочных реакций в через 200сек. составляет для указанных температур 25 и 3% соответственно. [c.271]