Инварианты математические

Более совершенным является метод физического моделирования, который позволяет получить структурную модель. В основе физического моделирования лежит возможность сформулировать условия, при которых явления в образце и в модели будут подобными. Эти условия — определенное число инвариантов подобного преобразования, которые принято называть критериями подобия. Критерии подобия могут быть получены или путем использования теории размерностей, или путем математического описания процессов. При этом нет нужды в аналитическом решении уравнений, характеризующих тот или иной процесс, так как это решение получается экспериментально путем построения гидравлических, тепловых, а также аналоговых электрических моде- лей реального процесса. Результаты эксперимента на моделях, представленные в виде графиков, затем превращаются в формулы связи между безразмерными комплексами — критериями. Невозможность создания точных физических моделей заставляет прибегать к упрощениям, и поэтому полученная таким образом математическая модель для использования в практических целях должна быть идентифицирована с образцом. [c.15]

Итак, математически условия подобия физических процессов могут быть записаны с помощью соответствующих констант или инвариантов подобия. [c.80]

Основные каталитические процессы в нефтехимической и химической промышленности характеризуются многостадийностью собственно химических превращений при значительном числе участвующих в них реактантов. Последнее является причиной многомерности и сложности математических моделей, в которые входят большое количество уравнений, в первую очередь материального и теплового балансов. Практическое использование подобных моделей затруднительно, ибо для получения на ЭВМ полей концентраций реагентов и температуры в реакторе требуются большие затраты машинного времени. Это приводит во многих практических ситуациях к чрезмерному усложнению процедур структурной и параметрической идентификации и к невозможности научно обоснованного выбора математической модели каталитического процесса, отражающей результаты промышленного эксперимента в широком диапазоне изменения технологических параметров. Эффективный путь преодоления этих трудностей состоит в сокращении размерности уравнений модели за счет априори построенных уравнений инвариантов физико-химических (реакторных) систем. Инварианты позволяют также осуществить предварительную оценку параметров реакторных моделей, проверить обоснованность выбора граничных условий. [c.242]

Это приводит во многих практических ситуациях к чрезмерному усложнению процедур структурной и параметрической идентификации и к невозможности научно-обоснованного выбора математической модели каталитического гфоцесса, отражающей результаты промышленного эксперимента в широком диапазоне изменения технологических параметров. Указанные выше трудности могут успешно преодолены, если резко сократить размерность уравнений модели за счет априори построенных моделей инвариантов физико-химических реакторных систем. Последние позволяют также осуществить предварительную оценку параметров реакторных моделей и проверить обоснованность выбора граничных условий. [c.110]

Уравнения Навье — Стокса можно привести к безразмерному виду с помогцью методов теории подобия. Поскольку система дифференциальных уравнений (3-22) — (3-24) представляет собой математическую модель движения вязкой сжимаемой жидкости, то их подобное преобразование означает подобие моделей явления. В результате подобного преобразования дифференциальные уравнения заменяются критериальными уравнениями, так как входящие в них инварианты физического подобия являются критериями подобия (см. стр. 23 и 35). [c.81]

НИЯ является важным фактором, определяющим его свойства. В 1866 г. Броди [3] предложил представить химическую структуру с помощью математических инвариантов, а в 1868 г. Герман [4] утверждал, что не только природа сродства, но и остальная часть состава молекулы влияет на ее теплоту образования . Распространение же основной идеи на область биохимии было осуществлено в том же году Крамом Брауном [5], утверждавшим о существовании соотнощения между физиологическим действием вещества и его химическим составом и строением, понимая под последним термином взаимные связи атомов в структуре . Исследования, таким образом, объединились для того, чтобы найти удобные представления химических структур с помощью математических инвариантов. [c.184]

Прежде всего отметим общность метода. Сравнимость структур является математической частью анализа и зависит от 1) выбора инвариантов (структурных) графа для характеристики молекул [c.233]

Инварианты в подпространствах /, и будут называться кинематическими инвариантами, потому что их существование не зависит от функций скорости Р,(с). Поскольку = / /2, число независимых реакций в системе (назовем его s) равно п — (/, -t--I- 12). Ортогональное дополнение нуль-пространства называется реакционным подпространством или, правильнее, кинематическим подпространством, определяемым механизмом. Пересечение смежного класса через точку Сд е с R является замкнутым подмножеством / , называемым симплексом реакции через точку q, и обозначается как i2( ). Это симплекс в- математическом смысле, когда он ограничен и, следовательно, компактен. [c.334]

Высокоэластичность, — пожалуй, единственное проявление механических свойств полимеров, которое удовлетворительно может быть описано в рамках хорошо разработанной молекулярной теории. Формальный математический подход имеет здесь целью представить упругий потенциал как функцию инвариантов деформации и соответствующих молекулярных параметров. Теория основывается на статистической термодинамике, а происходящие процессы считаются обратимыми в термодинамическом смысле. Поэтому изложение теории удобно проводить в том же плане, как зто было сделано в разделе 3.4.1. [c.63]

Выборы формы предоставления информации о структуре химического вещества во многом определяет ее соответствие структуре. Форма представления — это совокупность соглашений относительно того, как оценивать исследуел1ые объекты. Совокупность соглашений зависит от типа каталитического процесса и может основываться на использовании физико-химических, математических, структурных характеристик вещества. При этом для представления структуры могут быть использованы как ее локальные характеристики (наличие определенного типа индексных групп, определенные значения констант заместителей), так и интегральные (теоретико-информационные инварианты, потенциал ионизации и т. п.). [c.93]

Мы не будем доказывать, что величина X является топологическим инвариантом, но если принять это как известный математический факт, то мы сразу приходим к выводу, что для любой односвязной замкнутой поверхности % = I. Действительно, это равенство элементарно проверяется для сферы, а потому оно верно для любой поверхности, топологически эквивалентной сфере. [c.56]

При решении вопроса о предпочтительности на первом этапе целесообразна оценка с помощью одного из универсальных критериев. В дальнейшем желательно провести сопоставление конструируемых на основе общности правомерного подхода моделей конкурирующих приборов. Следует заметить, что критерии, предложенные для сравнения спектральных приборов различных классов, как правило, предполагают единственный способ сравнения — численный (инварианта, составленная из параметров или характеристик прибора, количество информации, отношение сигнала к шуму), тогда как такие показатели, как воспроизводимость спектра по шкале волновых чисел, форма аппаратной функции, динамический диапазон и другие, вряд ли могут быть охвачены единой математической моделью и войти в ту или иную константу в качестве составных компонент. При обосновании соответствия спектрального прибора спектроскопической задаче именно эти характеристики могут приобрести первостепенное значение или оказаться решающими при ответе на вопрос о предпочтительности при прочих равных условиях. В связи с этим наряду с оценкой посредством критерия и сопоставлением математических моделей необходимо в каждом конкретном случае выявить специфические требования и провести сравнение с установленной точки зрения. [c.149]

Попытки математического углубления теории строения соединений с точки зрения топологии [250] и символической теории инвариантов [251] были предприняты тогда, когда все главное в теории строения соединений было уже сделано. Для органической химий они представляли непосредственный интерес разве только при нахождении числа изомеров предельных углеводородов. Лишь квантовой химии удалось выяснить глубокий смысл инвариантов Гордана [251] и Алексеева [252] как инвариантов спина относительно вращений в пространстве. [c.200]

Рассуждения принимают математически более отчетливый вид, если воспользоваться обозначениями символической теории инвариантов [251, 252, 265—267], которым квантовая химия придает смысл молекулярных инвариантов спинов электронов относительно вращения в пространстве [267]. Тогда состав и строение молекулы будут однозначно определены молекулярным спиновым инвариантом М (ф), который является функцией от элементов ф. Он изобразится как произведение мономов вида [c.239]

Вывод условий обмена и олистомерии. Существенно, что условия появления обмена и олистомерии, данные выще, можно доказать математически на основе структурной теории реакций (так мы к ним впервые и пришли). Напомним, что при этом молекула изображается совокупностью связей. Молекуле соответствует инвариант /, совокупности молекул — произведение /. Связи между а кЬ соответствует моном инварианта [аб]. [c.365]

Подобное преобразование дифференциальных уравнений. Так как дифференциальное уравнение представляет математическую модель описываемого им физического явления, то его подобное преобразование означает подобие моделей явлений. Границы соблюдения этого подобия устанавливаются опытным путем. В результате подобного преобразования дифференциальных уравнений последние заменяются так называемыми критериальными уравнениями, так как инварианты физического подобия носят также название критериев подобия. [c.127]

Указанные выше свойства уравнения Больцмана (наличие сумматор-ных инвариантов и Я-теорема) являются, по-видимому, наиболее важными с физической точки зрения. Рассмотрение математических свойств оператора столкновений в форме Больцмана проводится в ряде работ (см. [31] и цитированную там литературу), однако оно дает возможность лишь некоторого упрощения вычислений, по не выявляет каких-либо новых физических эффектов. Поэтому мы не будем более останавливаться на этой стороне дела. [c.126]

В [9] была показана возможность моделирования решения традиционной математической модели с помощью новой модели динамики в случае простейших реакций первого и второго порядка. На рис. 4 показана зависимость концентрации Zab от t, полу-ченпая в результате решения закона дехгствия масс (штрихпунк-тир) и решения новой модели динамики для физико-химической реакции А + В = АВ. Как видно, решения отличаются незначительно (погрешность менее 5 %). Нри этом инвариант системы [c.180]

Инбариаит I. Серия опытов обнаруживает свойство инварианта I, если при линейном уменьшении масштаба по оси с в соответствии с начальными концентрациями получается единственная кривая, т.е. математически [c.92]

МОЩЬЮ концепции линейной комбинации инвариантов графов (ЛКИГ) Гордон и сотр. [301, 302] дали корректное математическое обоснование различных аддитивных схем, использующихся для предсказаний стандартных термодинамических данных. Концепция ЛКИГ позволила объяснить оценки стандартных энтальпии и энтропии в алканах [301]. Было показано, что различия в энтропии отдельных изомерных структур можно интерпретировать с помощью так называемой комбинаторной энтропии [303] — абстрактного понятия в рамках теории графов. С помощью представления о комбинаторной энтропии была также проанализирована связь между третьим законом термодинамики и явлением изомерии [304]. [c.88]

В книге описаны некоторые математические приемы, основанные на применении теории инвариантов, пригодные для расчета того, какие продукты могут получиться при всевозможных дублетных реакциях данных молекул на неспецифических катализаторах и при пиролизе углеводородов. На основании указанных соображений выделен особый класс так называемых олистомерных реакций, для которых возможно несколько реакционных путей, и математически выведено условие появления олистомерии. Рассмотрение всех этих вопросов сопровождается обсуждением близких работ других авторов по сложным реакциям. [c.6]

Уравнение неразрывности является универсальным. Его использование для описания течения расплавов полимеров приводит к математическим уравнениям нелинейной вязкости. Подобные уравнения содерлсат множество материальных функций, которые зависят от инвариантов тензоров скоростей деформаций. При этом из характера функций нельзя делать определенных выводов. Указанные функции должны быть определены с учетом характера течения. [c.20]

Как было показано выше, математическое обоснование этих постулатов может быть проведено на базе результатов Гильберта Физическим аргументом в их пользу является то обстоятельство, что через малый промежуток времени (в несколько раз превышающий длительность столкновения) после начального момента становится возможным сокращенное описание состояния газа, при котором эволюция состояния во времени определяется значительно меньшим числом переменных. Причиной того, что в роли таких переменных выступают макроскопические переменные п, V и Т (иными словами, компоненты вектора /9), является, конечно, то обстоятельство, что они соответствуют моментам функции распределения относительно столкнови-тельных инвариантов. Следовательно, столкновения не оказьгоают прямого влияния на изменение макроскопических переменных. В течение времени порядка среднего времени свободного пробега эти величины остаются без изменения, и в этом смысле в кинетической шкале времени их можно считать константами движения. Изменение макроскопических переменных со временем происходит только секулярно и связано с изменением функции распределения по скоростям. Следовательно, в макроскопической шкале времени эти переменные полностью описывают эволюцию состояния газа. [c.125]

Наряду с размерами идипольными момоптами важнейшими характеристиками малых и больших молекул являются их поляризуемости. Поляризуемость выражает способность электронной оболочки молекулы смеш аться под действием электрического поля — статического или переменного. Поляризуемость математически представляется симметричным вещественным тензором второго ранга (вне области поглощения световых волн) инварианты этого тензора — его след и анизотропия— определяют соответственно молекулярную рефракцию вещества и его двойное лучепреломление, вызванное действием различных силовых полей. Анизотропия поляризуемости ответственна, кроме того,, за деполяризацию рассеянного света [ ]. [c.318]

Пожалуй, Лихтенбергу удалось решить самую трудную задачу — сделать книгу интересной для максимально широкого круга читателей. С одной стороны, физическая простота основной концепции, наглядность изложения и отсутствие сложного математического аппарата позволяют рекомендовать ее студентам-физи-кам, тем более что в отечественной учебной литературе уделяется очень мало внимания столь важным в прикладном отношении разделам механики, как теорема Лиувилля, адиабатические инварианты, канонические преобразования и т. д. С другой стороны, усвоив основную концепцию книги, даже опытный инженер и физик-экспериментатор получат в свое распоряжение дополнительный мощный инструмент для быстрых качественных оценок в ситуациях, требующих, казалось бы, долгих и утомительных выкладок. Наконец, читатель, интересующийся современной теорией ускорителей и магнитных ловушек, найдет в книге немало методически ценных разделов и ряд глубоких физических аналогий между различными разделами теории. [c.3]

Мультиплетная теория с помощью специального математического аппарата, в котором А. А. Баландиным были применены теория матриц и теория инвариантов, позволила дать новую классификацию в органическом катализе [171], предвидящую неизвестные прежде реакции (так А. А. Баландиным и Н. Ф. Глушневым было найдено и кинетически изучено за-мошение галоида водородом в N-бромацетамиде и в хлорноватистом эфире треметилкарбинола над катализаторами Ni и Pt [158]). Тем же путем оказалось возможным находить совокупность направлений разложения и конденсации слон ных молекул [172] (так, оказались предвидимыми все побочные продукты до s в заводском синтезе каучука из спирта, числом более 20) и др. [c.173]

Ландау решил в общем виде вопрос о том, какие из НП исходной группы не могут приводить к фазовому переходу второго рода [2]. Как бьшо видно уже из первого раздела данного параграфа, наличие кубических членов в термодинамическом потенциале неизбежно приводит к фазовому переходу первого рода. Следовательно, условие [1], ограничивающее список НП, описывающих фазовый переход второго рода, состоит в требовании, чтобы НП не допускало инвариантов третьего порядка. Поскольку величины третьего порядка, составленные из коэффициентов с, преобразующихся по НП О", сами преобразуются как симметричный куб этого представления, условием отсутствия инвариантов третьего порядка является отсутствие в этом представлении единичного представления группы С. Математически сформулированное условие можно записать в виде [c.15]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология