Константа интегрирования независимость

Дифференциальное уравнение нестационарной теплопроводности (3.24) представляет собой уравнение второго порядка в частных производных при его интегрировании появятся три константы интегрирования, для определения которых необходимы три независимых условия однозначности. Такие условия (одно по времени и два по координате) должны быть сформулированы как независимая от самого дифференциального уравнения дополнительная физическая информация о рассматриваемом процессе. [c.222]

Для системы из N частиц будем иметь ЗЛ таких уравнений. В принципе можно решить эти уравнения, и тогда в каждом уравнении окажутся по две произвольные константы интегрирования. Для всей системы будет таких констант интегрирования, и, чтобы исключить эти константы, необходимо иметь независимых исходных величин. Это могут быть, например, координаты (З У) каждой точки в два различных момента времени . Ясно, что механическое поведение системы не определяется однозначно до тех пор, пока нет достаточных экспериментальных сведений для определения 6 N констант. Состояние такой системы будет полностью определено только тогда, когда такая внутренняя информация дается наряду с внешним описанием системы (т. е. массами частиц, положением и величиной силовых полей, положением границ, стенок и т. д.). В простейшем случае, представляющем интерес с физической точки зрения, скажем для моля гелия , мы должны [c.113]

Так как правая и левая части уравнения являются функциями различных независимых переменных (/ и t), то каждая должна быть постоянной, которую можно обозначить А. После подстановки мы найдем, что F t) = Fe , причем F является константой интегрирования, тогда как для N (г) имеем [c.387]

Дифференциальные уравнения, описывающие нестационарные поля температуры, для своего однозначного решения (нахождения констант интегрирования) требуют условий однозначности, число которых определяется порядком высшей производной по каждой из независимых переменных. Существенно, что сами условия однозначности должны быть сформулированы на основе дополнительной физической информации о процессе, не зависящей от основного дифференциального уравнения, описывающего процесс в каждой точке вещества. [c.229]

Это уравнение является одним из видов решения уравнения Рэлея с помощью уравнения Фенске для фракционированной разгонки [раздел V, уравнение(16)]. Размер промежуточной фракции, т. е. четкость разделения, в этом случае зависит лишь от а" и кЬ- Константа интегрирования к о, в свою очередь, зависит от состава загрузки и от так что последние две величины являются независимыми переменными для случая, когда предполагается полное орошение. Выбор пределов промежуточной фракции, как, например, Хо =0,9 и Хп =0,1, совершенно произволен. Могут быть выбраны и другие пределы, продиктованные теми или иными соображениями. Подобные же уравнения могут быть выведены для случаев частичного орошения и заметной величины задержки. При этом величина промежуточной фракции зависит от реального флегмового числа и задержки. [c.135]

Прежде чем перейти к интегрированию дифференциального уравнения (1.50), следует сформулировать два независимых условия однозначности, которые позволят определить две будущие константы интегрирования уравнения второго порядка. Такие условия формулируются как равенство нулю скорости на внутренней стенке трубопровода и как ограниченность искомой скорости на оси трубопровода [c.73]

Классический метод решения параболического уравнения в частных производных (8.23) с условиями однозначности третьего рода (по классификации, принятой в математической физике) состоит в разделении переменных т и г, в представлении уравнения в виде системы двух уравнений в полных производных, в их решении и определении трех констант интегрирования из трех независимых условий однозначности (8.24). Подобный алгоритм получения такого решения в форме бесконечного ряда Фурье рассмотрен в гл. 3 на примере решения задачи нестационарной теплопроводности тела плоской формы (см. решение (3.41) системы уравнений (3.28)). Задача (8.23), (8.24) сформулирована для тела шаровой формы, что не отражается на принципе и последовательности получения решения, а лишь несколько изменит конечный результат, который приводится здесь (без вывода) только для среднего по объему шаровой частицы значения концентрации С компонента [c.489]

Из проведенного обсуждения ясно, что парциальная степень поверхностного покрытия 0 и адсорбционная псевдоемкость С связаны простым соотношением [см. уравнение (3)]. Имеющиеся экспериментальные методы определения этих величин можно, следовательно, разделить на две группы а) методы, в которых степень заполнения определяется экспериментально в функции от потенциала, а емкость рассчитывается путем дифференцирования, и б) методы, в которых непосредственно измеряется емкость, а степень покрытия оценивается путем ее интегрирования по потенциалу. Последний метод позволяет определить лишь изменение степени покрытия, соответствующее данному изменению потенциала, если только независимым методом не измерена константа интегрирования, т. е. абсолютное значение парциальной степени заполнения при некотором потенциале сравнения. [c.395]

При интегрировании дифференциальных уравнений, о котором говорилось выше, появляется несколько констант интегрирования. Их находят, используя граничные условия , т. е. определенные физические соотношения при некоторых фиксированных значениях независимой переменной. Ниже приведены наиболее часто применяемые граничные условия. [c.46]

Трактовка констант интегрирования I (химических постоянных растворенных веществ) тоже сопряжена с трудностями. Можно, правда, тем же путем, как это сделал Нернст для газов, показать независимость этих величин от характера процесса, а также вообще их сходство с химическими постоянными газов, но такой способ доказательства не является строгим . Оценка этих величин [c.47]

Независимо от методов решения дифференциального уравнения для получения окончательного результата, пригодного для конкретных расчетов, наряду с дифференциальным уравнением необходимо иметь дополнительную информацию относительно искомой функции в виде так называемых условий однозначности, позволяющих найти значения констант интегрирования. Необходимое число условий однозначности определяется высшим порядком производных дифференциального уравнения по каждой из независимых переменных. Так, для уравнения (1.18), в котором искомая температура является функцией трех координат и времени Т (х, у, Z, т), число условий однозначности должно быть равно семи два по каждой из координат и одно условие по времени. Условия по координатам означают, что должны быть известны значения искомой функции или каких-либо величин, связанных с искомой функцией, при конкретных значениях координат (граничные условия). Аналогично условия однозначности по времени означают, что известно значение искомой функции в какой-то определенный момент времени. Чаще всего — это начальный момент времени тогда временное условие называют начальным условием. [c.14]

Далее, согласно уравнению (10), поверхностное натяжение дифференцируется по химическому потенциалу. Обе константы интегрирования обычно определяются из независимых измерений Е и у . До недавнего времени интегрирование проводилось графически, се ас для этой цели используются цифровые вычислительные машиньи Точность этой стадии анализа зависит лишь от качества экспериментальных данных. Точность определения поверхностного избытка ограничена операцией дифференцирования в уравнении (10), которую можно также выполнить графически или численными методами. На основе различных соотношений, следующих из урашения (1), были развиты иные методы обработки данных измерения емкости. Обсуждение этих методов не входит в задачу настоящей главы. Здесь достаточно лишь отметить, что в любом варианте такого анализа необходимо двойное интегрирование и одно1фатное дифференцирование. При этом, если интегрирование не приводит к ошибке, то дифференцирование существенно ограничивает точность, с которой могут быть получены значения поверхностных избытков. Подробное описание этих методов можно найти в обзоре Делахея [9]. [c.66]

Подставляя в равенство (7) различные значения V и соответствующие им значения С/, вычисленные по формуле (8) в предположении независимости С от концентрации 7, и решая для различных пар значений V системы двух уравнений относительно С1 и С2, мы убеждаемся в постоянстве значений С1 и С . Среднее значение констант интегрирования в уравнении (7) оказалось равным 1 — 8,0-10 Сг + 2,5-10 , [c.137]

Константа интегрирования кривой упругости пара, как видим, с полным основанием была названа в главе о давлениях паров химической постоянной . Она является не только величиной, характерной для данного вещества независимо от его агрегатного состояния, она определяет собой и способность его к реакциям, а следовательно, и сродство. Вот почему у химиков возник интерес к исследованию упругостей паров чистых веществ. [c.215]

Цел,ая функция второй степени содержит у (п 1) (п + 2) коэффициентов, а между тем общее решение системы дифференциальных уравнений (4) должно содержать только у и (п + 1) произвольных констант. Появление п- -1 излишних констант в формулах (XIV) показывает, что после выполнения дифференцирований в (XIV) коэффициенты функции объединяются в некоторые агрегаты, которые и будут собственно независимыми константами интегрирования. Сообразно с этим целесообразно придать формулам (XIV) такой вид, при котором функции glj выразятся через их значения g j в некоторой точке М (ж ). С этой целью используем то обстоятельство, что функции выражаются через про- [c.41]

Константа интегрирования в уравнении (П,28) называется химической постоянной. Замечательной особенностью этой величины является ее независимость от агрегатного состояния и даже модификации вещества. Каждое вещество характеризуется собственной химичес- [c.57]

Здесь подставлено также и численное значение газовой постоянной, выраженное в кал моль (1,98). Константа интегрирования в уравнении (УП,12) называется химической постоянной. Замечательной особенностью этой величины является ее независимость от агрегатного состояния и даже модификации вещества. Каждое вещество характеризуется собственной химической постоянной. Знание этих постоянных позволяет рассчитывать газовые равновесия. Однако широкое использование химических постоянных для расчетов, связанных с химическим равновесием, встретило ряд трудностей и не принесло практически ценных плодов. [c.270]

Не уменьшая общности, константу интегрирования мы приняли равной нулю, поскольку выражение для независимой переменной уже включает произвольную аддитивную постоянную. [c.103]

Действительно, совершенно очевидно, что правильно построенное количественное описание любого явления должно удовлетворять следующему основному требованию заданному значению величин, которые по постановке задачи рассматриваются как независимые переменные, могут отвечать только вполне определенные, единственно возможные значения всех искомых величин (т. е. величин, представляющих собой переменные зависимые). Именно такое строго однозначное соответствие между з ачениями различных величин создает полную определенность, характерную для конкретного явления. Между тем, если исследование основано только на уравнениях задачи (без учета дополнительных условий), то возможность прийти к однозначным зависимостям исключена. Решением уравнения является некоторое аналитическое выражение — общий интеграл уравнения, которым искомая величина определяется как функция независимых переменных. Раз меется, всякая функция, являющаяся решением уравнения, должна при подстановке обращать его в тождество — это единственное требование, которому она обязана удовлетворять. Но во всех случаях таких функций можно найти бесчисленное множество, и каждая из них, следовательно, должна рассматриваться как одно из решений уравнения. Общий интеграл включает в себя все эти решения, которые должны получаться из него как частные случаи (частные решения). Эта характерная многозначность отражена явным образом в самой структуре общего интеграла, так как в его состав входят постоянные (константы интегрирования), значения которых могут быть выбраны совершенно произвольным образом. Общий интеграл превращается в одно из частных решений, когда постоянным интегрирования приписываются некоторые определенные значения. Таким образом, уравнение имеет бесчисленное множество различных решений. Но лишь одно из них устанавливает такую связь между переменными, которая отвечает данному конкретному явлению, и, значит, именно оно (это единственное решение) представляет собой не только решение уравнения, ьо и решение задачи. [c.20]

При интегрировании уравнения (УИ.35), как и в уравнении (1.4), в первом приближении принимается независимость предэкспоненциального множителя константы скорости от температуры. [c.288]

Величина g может быть найдена для любого t методом численного интегрирования, если для данной системы полимер — инициатор известна константа С. Она в свою очередь может быть рассчитана по уравнению (29) на основании литературных данных о константах скоростей реакций Кг, Кг, К или найдена из независимого опыта с фракцией полимера известной степени полимеризации, сшитого данным инициатором. [c.24]

Двойной слой на границе ртуть- раствор можно изучать экспериментально путем измерения поверхностного натяжения, заряда или емкости. В принципе электрокапиллярные кривые содержат всю информацию, которую можно получить с помощью термодинамических методов, но практически наиболее точные результаты получают при измфении емкости. Следует, однако, еще раз подчеркнуть, что определение электродного заряда и поверхностных избытков при помощи емкости в общем случае требует двух постоянных интегрирования, найденных из независимых измерений (см. разд. II, В). Эти константы иногда можно найти нетермодинамически (например, по теории диффузного слоя [15]), однако при этом необходимо раздельное измерение электродного заряда и поверхностного натяжения по меньшей мере при одном значении потенциала. Точность получаемых величин может в конечном итоге оказаться зависящей от надежности определения констант интегрирования, что в особенности относится к измерению поверхностного натяжения. К прямому измерению электродного заряда в работах по двойному слою прибегают не очень часто, однако в большинстве исследований адсорбции на твердых электродах ку-лонометрия играет основную роль. [c.80]

Опытная проверка теоремы Нернста на газовых равновесиях. Для тех реакций, для которых достаточно хорошо измерены величины К, константа интегрирования onst может быть найдена, как уже отмечалось, обратным расчетом, независимо от теоремы Нернста. Сопоставляя полз енные таким образом onst с величинами Sy из табл. 71 и 72, мы можем проверить основную зависимость (228), к которой приводит теорема Нернста. [c.230]

Заранее следует обратить внимание на исключительную важность константы интегрирования / кривой упругости пара. Она оказывается (как это можно доказать) постоянной, независимо от афегатного состояния — твердого или жидкого, независимо от модификации для каждого данного химического вещества. Она постоянна, характеризуя собой его химическую природу. Далее (третье начало термодинамики) мы увидим, как эта же константа определяет собой и способность к реакциям, н вполне понятно поэтому ее название, предложенное Нернстом, — химическая постоянная . [c.121]

Рассмотрим теперь возможности хроматоскопического определения параметров И оь 02 и амин потенциальной функции внутреннего вращения молекул первой и второй групп на основе экспериментального определения констант Генри для их адсорбции на инертном неспецифическом адсорбенте с однородной плоской поверхностью (ГТС). Интегрирование по а для этих молекул в уравнении (10.1) велось от О до я/2. При независимом изменении угла амин от О до 90° и потенциальных барьеров и в достаточно широких пределах (от О до 200 кДж/моль) производился поиск такого сочетания этих трех параметров, для которого среднеквадратичное расхождение б [см. выражение (10.6)] минимально. [c.194]

Развитие во времени сложного химического процесса описывается системой дифференциальных уравнений, число которых равно числу независимых стадий. Чирленное интегрирование при известных значениях констант скоростей к, стадий позволяет решить прямую задачу — найти зависимости концентраций от времени С,,(О-Обратная задача — нахождение к., из полученных в эксперименте зависимостей (1) — задача на минимизацию отклонений расчетных значений от экспериментальных по значениям и связана с поиском глобального минимума. Для активных промежуточных частнц выполняется квазистационарное приближение, предполагающее равенство скоростей образования и расходования. Оно позволяет заменить часть дифференциальных уравнений на алгебраические, что упрощает решение прямо,т п обратной задач. [c.225]

Зависимость константы равновесия от температуры. Рассмотренный в 96 простейший способ интегрирования уравнения изобары (или изохоры) реакции, при котором делают допущение о независимости теплового эффекта от температуры, нередко оказывается недостаточно точным при необходимости охватить более значительные интервалы температуры. В этих случаях сначала устанавливают в аналитической форме зависимость теплового эффекта реакции от температуры (см. 72). Затем подставляют полученное выражение АЯ —/(7) в уравнение (VIII, 40), интегрируют его и определяют постоянную интегрирования по известному значению константы равновесия при какой-нибудь температуре. [c.282]

Рассмотрим теперь случай двух независимых параметров [1215]. Будем предполагать по-прежнему, что изображаюгцая точка движется со скоростью V вдоль координаты X и при этом описывает траекторию Y = onst при изменении Y получается семейство таких траекторий. Поскольку в точке касания поверхностей ц = Ы22 и 12= О, можно вблизи этой точки положить а = ао(К—Fq), где а —некоторая константа. При указанном условии вместо (13.15) можно написать = F 1< + р г х и U22 = f2 + где Tj = F—Го- Из этих выражений видно, что, как упоминалось (стр. 188), вблизи точки касания поверхности имеют вид двух конусов с общей вершиной. Подставляя эти выражения в (13.16) и выполняя интегрирование аналогичным изложенному способом, снова получим выражение (13.18) с тем только отличием, что в него вместо а следует подставить адТ]. Таким образом, находим [c.191]

В строке 1(Ю дополнительно описан одномерный массив YA( ) (DIM YA(20)). Система дифференциальных уравнений имеет размерность N = 4 (строка 200). Константы скорости реакций приняты равными 1, поэтому в следующих двух строках переменным G1 и G2 присвоено значение 1. Переменной У1(1), соответствующей начальной концентрации вещества А, присвоено значение 1,5. Начальная концентрация вещества В (переменная Yl(2)) равна 1. Начальные концентрации веществ С и D равны 0. Время отсчитывается от момента начала реакции и изменяется в пределах О—5. Концентрации веществ рассчитываются через промежуток времени 0,1. Начальному, конечному моментам времени и интервалу между двумя расчетами концентраций соответствуют переменные ХА, ХЕ и XD (строка 710). Переменной СМ присваивается значение наибольшей концентрации одного из веществ. Это значение определяет размеры окна на экране, в котором изображаются кинетические кривые. Далее вызывается подпрограмма 2000 для подготовки вывода на экран графической информации. Сначала все стирается с экрана, потом определяются границы окна для построения графиков, которые затем изображаются на экране. В строке 720 начальные концентрации веществ присваиваются элементам массивов У( ) и А( ). Чтобы понять, что происходит в цикле по параметру А (строки 1000—1260), надо вспомнить, что подпропзамма 5000 решает систему дифференциальных уравнений при начальных условиях, которым соответствуют элементы массива Yl( ), т. е. подпрограмма рассчитывает новые значения У с шагом N1, при условии, что значения переменных А и Е задают интервал значений независимой переменной X, по которой производится интегрирование. [c.344]

Полученные ранее уравнения дают возможность рассчитать равновесия для любой температуры, но при условии обязательного измерения равновесия хотя бы при одной температуре значение постоянной интегрирования / в уравнении (XIII, 21) нельзя вычислить заранее, причем совершен о неизвестно, с какими свойствами реагентов эта постоянная связана. Будучи независимой от температуры, она различна для разных реакций. Иными словами, неопределенность константы / препятствует отысканию ДZ интегрированием уравнения ДZ = Д /- -+ 7 (( ДZ/aГ)p (У,26). [c.434]

Зависимость константы равиовесия от температуры. Рассмотренный в 148 простейший способ интегрирования уравнения изобары (или изохоры) реакции, при котором делают допущение о независимости теплового эффекта от температуры, нередко оказывается недостаточно точным при необходимости охватить более значительные интервалы температуры. В этих случаях сначала устанавливают в аналитической форме зависимость теплового [c.477]