Наискорейший спуск

Метод наискорейшего спуска [c.497]

Наиболее целесообразной является следующая комбинация описанных методов. Вначале осуществляют метод наискорейшего спуска с постоянным шагом и в ходе движения вычисляют Когда величины кц перестают существенно изменяться, переходят к поиску с переменным шагом [—аХц (дР/дкц)]. Пример применения этой комбинации, приведенный в [б, 6], демонстрирует ее эффективность. [c.34]

Для иллюстрации эффективности метода наискорейшего спуска при подборе небольшого числа констант скоростей приведем следующий пример. [c.35]

Пример У1-3. Определение экстремума функции многих переменных методом наискорейшего спуска. [c.219]

Применение метода наискорейшего спуска (подъема) в экспериментальных исследованиях для определения оптимальных условий осуществления процесса рассмотрено в главе I. Определение экстремума функции многих переменных, когда эта функция находится не в результате эксперимента, а при расчете по математическому описанию, рассмотрим на примере расчета констант скоростей по результатам эксперимента. [c.219]

Метод наискорейшего спуска. . ..... [c.5]

Ее особенностью является то, что из всех точек вида л цо), 2(0),. . ., Xi-m, i(0) + 0A,. . ., XJV(O) точка Х(1) имеет максимальное значение КЭ—Р(Х). Метод движения к экстремуму КЭ по направлению максимальной частной производной (или относительного приращения КЭ) называют методом наискорейшего спуска, который изложен в разделе 8.2.3. [c.206]

Модификацией метода наискорейшего спуска является метод максимального элемента [238], который используется при решении комплексных задач оптимизации показателей надежности ХТС [2, 234, 235]. [c.207]

Модификацией метода простого перебора является метод динамического программирования, сущность которого изложена в разделе 8.2.4. Показано [231, 237], что этот метод чрезвычайно точен, поскольку его применение позволяет рассматривать все возможные решения. Однако к недостаткам указанного метода следует отнести то, что он весьма трудоемок и требует большого объема памяти ЭВМ. В связи с этим рекомендуют [237] комбинировать менее точные, но более простые методы неопределенных множителей Лагранжа и наискорейшего спуска с методом динамического программирования при получении нецелочисленного решения для оптимального вектора состава поэлементного резерва— применять метод неопределенных мно- кителей Лагранжа, при получении целочисленного решения из нецелочисленного округлением — воспользоваться методом динамического программирования. [c.207]

Поскольку в задаче оптимизации поэлементного резервирования ХТС величины состава резерва X являются дискретными оптимизирующими переменными, для решения задач оптимального резервирования метод наискорейшего спуска является наиболее удобным. Процесс поиска структуры оптимальной резервированной системы представляют в виде следующего многошагового процесса. Рассматривают систему, состоящую из N основных элементов (подсистем) без резерва. На первом шаге определяют такой элемент (подсистему), добавление к которому одного резервного элемента дает наибольший удельный выигрыш в приросте показателя надежности системы в целом, т. е. наибольшее увеличение надежности на единицу капитальных затрат на резервный элемент. [c.215]

Решение задачи оптимизации поэлементного резервирования ХТС с применением метода наискорейшего спуска в соответствии с выражениями (8.40) — (8.43) включает выполнение следующих операций [c.216]

Параметрами, подлежащими определению в уравнениях (2-17)— (2-20), являются ( 1,2 — 2,2), (Я.2,1 — 1,1), ( 1,2 — 2,2), (g2,l —gl,l), а также 1,2- Для этого обычно используются методы нелинейного программирования. В частности, удовлетворительные результаты обеспечивает метод наискорейшего спуска с параболической интерполяцией по градиенту [38]. Стратегия поиска при наличии оврагов заключается в следующем. Сначала производится спуск из точки начального приближения по выбранному градиенту с последующей параболической интерполяцией. После вычисления минимума критерия оптимальности делается ортогональный шаг и вновь вычисляется минимальное значение критерия. При движении в сторону уменьшения критерия выполняются шаги и но направлению. После выявления дна оврага вновь производится интерполяция, выявление минимального значения и опять движение по градиенту. [c.109]

Для решения системы (13—14) в программе (см. стр. 399) используется метод наискорейшего спуска [1]. [c.397]

Такая задача оптимизации решается с помощью методов нелинейного математического программирования. Очень часто методы определения экстремума нелинейной функции при наличии ограничений на оптимизируемые параметры делят по признаку организации процесса поиска на методы слепого поиска и методы направленного поиска. К методам слепого поиска относятся [30] метод сплошного перебора вариантов (метод прямого упорядочения вариантов по критерию эффективности) и метод статистических испытаний (метод Монте-Карло) [24]. К методам направленного поиска относятся градиентный метод, метод наискорейшего спуска, метод покоординатного спуска и другие. [c.360]

Согласно другой классификации, все методы нелинейного программирования можно разделить на методы локального поиска и методы нелокального (глобального) поиска. В процессе решения задачи одним из локальных методов значения оптимизируемых параметров непрерывно меняются в направлении минимизации (или максимизации) рассматриваемой функции. Тем самым эти методы гарантируют нахождение только локального оптимума. К группе локальных методов относятся методы градиентный, наискорейшего спуска, покоординатного спуска и др. Для методов глобального поиска характерно введение дискретности в процессе изменения оптимизируемых параметров, что способствует рассмотрению большей области изменения исследуемой функции и выявлению абсолютного оптимума среди локальных. К этой группе методов относятся метод случайного поиска, метод динамического программирования, а также сочетания для совместного использования ряда других методов. [c.122]

Методы направленного поиска. Для оптимизации адсорбционных установок и их отдельных элементов с большим числом оптимизируемых параметров и варьируемых факторов могут быть применены методы направленного поиска оптимума градиентные, наискорейшего спуска, покоординатного спуска и др. Характерной чертой этих методов является использование в процессе решения задачи результатов каждого данного шага (иногда также и предыдущих шагов) поиска оптимальной точки для определения направления изменения оптимизируемых параметров на каждом следующем шаге. При этом значение минимизируемой функции систематически уменьшается. Тем самым вместо рассмотрения большого количества вариантов происходит направленный анализ относительно малого числа ва- [c.127]

Рис. 3.1. Определение точки минимума функции 3(Х) градиентным методом и методом наискорейшего спуска

Для определения шага при использовании метода наискорейшего спуска могут быть применены два способа. Первый из них исходит из положения, что на каждом прямом участке линия антиградиента функции 3(Х) может рассматриваться как параметрическая функция одного параметра t, т. е. 3 = 3(А (<)]. Тогда для вычисления шага, конец которого совпадает с минимумом функции 3[Х(0] на этой линии, достаточно найти минимум функции 3[Х(/)] по параметру t. Для этой цели можно воспользоваться обычным классическим методом определения экстремума, т. е. взять производную функцию 3[Х(0] и приравнять ее нулю [c.131]

Второй способ определения шага в методе наискорейшего спуска базируется на интерполяции (экстраполяции) изменения функции 3 Х) вдоль направления антиградиента. Например, для построения интерполяционного полинома второй степени используются три значения оптимизируемой функции 3°, 3 3 соответствующие исходной точке и точкам, отстоящим от нее на расстоянии г и 2г по направлению антиградиента. В этом случае шаг dX, переводящий поиск из тонки Xt, в точку на направлении антиградиента (—дЗ дХ) , в которой интерполяционный полином имеет минимум, отыскивается по выражению [c.132]

Рассматриваемый способ определения шага наискорейшего спуска имеет определенную погрешность, вызываемую неточностью описания действительной зависимости изменения функ- [c.132]

В методе наискорейшего спуска вычисляется градиент в исходной точке и по этой линии (опять-таки в направлении, обратном градиенту) производится движение до тех пор, пока функция ф(л ) не достигнет минимального значения. В полученной точке минимума вычисляют новое направление градиента и снова продолжают [c.308]

Минимум целевой функции будем находить методом наискорейшего спуска, согласно которому после определения в начальной точке направления. противоположного градиенту целевой функции, двигаются в этом направлении до тех пор, пока целевая функция убывает, достигая таким образом минимума в некоторой точке. В этой точке вновь определяют направление спуска (с помощью градиента) и ищ т новую точку минимума и так далее. [c.161]

Важное достоинство метода наискорейшего спуска — его абсолютная сходимость. Этот метод рекомендуется применять для уточнения решения тогда, когда вычисления по другим итерационным методам расходятся. Рассматриваемый метод можно использовать и для первоначального отыскания корней уравнений (III.I), взяв в качестве исходных данных произвольные числа. Однако в этом случае вместо решения системы могут получиться значения, при которых функция Ф (х) имеет относительный экстремум. Отметим, что это может случиться при использовании любого локального метода оптимизации. [c.72]

Методы первых и вторых производных Рассмотрим методы оптимизации без ограничений," использующие производные критерия оптимальности — сначала метод наискорейшего спуска на основе первых производных, а потом метод Ньютона на основе вторых производных. Хотя эти методы не очень эффективны для минимизации произвольных функций, рассмотрение их представляет интерес, поскольку они являются основой для методов сопряженных градиентов и переменной метрики. [c.208]

Рассмотрение метода наискорейшего спуска начнем с определе- [c.208]

Это направление называется направлением наискорейшего спуска. Отметим, что оно противоположно направлению градиента. [c.209]

При реализации на. ЭВМ метода наискорейшего спуска можно достигнуть определенной экономии вычислительного времени за счет того, что направление антиградиента ищется не на каждом шаге поиска оптимума. Определив направление антиградиента, движутся далее в этом направлении до тех пор, пока функция цели продолжает убывать. После этого ищут новое направление антиградиента и т. д. [c.209]

Метод наискорейшего спуска сходится слишком медленно, если целевая функция имеет овражный характер. Иногда он может вообще не сойтись за приемлемое время. В этом отношении более совершенны методы оптимизации, в которых используются вторые производные критерия оптимальности, например, метод Ньютона. [c.209]

Метод сопряженных градиентов [901. Основывается на построении последовательности направлений поиска, являющихся линейными комбинациями — (ж ), текущего направления наискорейшего спуска, и 2 ,. .., 2 , предыдущих направлений поиска. При этом весовые коэффициенты выбираются так, чтобы сделать направления поиска сопряженными. Для вычисления нового направления поиска в точке л используют только текущий градиент и предпоследний. [c.210]

Пример алгоритма, обладающего подобной структурой, представляет классический метод наискорейшего спуска Коши, отвечающий выбору в (1,41) величин у, = —g , Я,- = / (1 = О, 1,...). Где / — единичная (и X п)-матрица. Направлением движения Здесь является направление наискорейшего убывания функции f х) в данной точке [c.28]

X(i+i) — X = 1. Изменение порядка распределения резервных элементов в процессе оптимального поиска в данном методе не допускается. Предлагаются [231] различные вспомогательные процедуры, такие, как метод распределения остатка средств, или уменьшения излишне высокой надежности , свертка последних шагов и другие методы, повышающие чувствительность метода наискорейшего спуска и уменьшающие неопти-мальность получаемых с его помощью векторов состава поэлементного резерва ХТС. [c.207]

Методы второго типа — это методы градиента, наискорейшего спуска, Ньютона—Рафсона и их модификации. Методы третьего типа, связанные с вычислением вторых производных, не находят широкого применения из-за трудностей вычисления вторых производных. Здесь можно упомянуть лишь метод Флетчера—Пауэлла, который является методом первого порядка, но использует оригинальную аппроксимацию вторых производных Дэвидона, чем обеспечивает более высокую скорость сходимости, чем градиентные методы. [c.179]

ЛИНИИ наискорейшего спуска в долины исходных и конечных молекул, определяющие путь реакции, а также линии ианболсо крутого подъема, одна иа которых ведет в область плато, отвечающего диссоциа[1,ии системы на три атома Н. Для симметричной системы дижение по пу ш реакции вблизи перевала соответствует такому смещению ядер, которое формально совпадает со смещением для антисимметричного колебания устойчивой трехатомной системы. Фактическое различие заключается и том, что для -такого движения перевальная точка является максимумом, а не минимумом потенциала, так что движение по координате реакции не является периодическим. Что касается движения по линии наиболее крутого подъема, то оно полностью аналогично симметричным колебаниям устойчивой трехатомной системы. [c.68]

Таким образом, каждый этап пррцесса градиентного спуска имеет две составляющие определение направления наискорейшего спуска и осуществление шага по направлению спуска. Рассмотрим эти составляющие. [c.129]

Существенной чертой определения направления наискорейшего спуска является вычисление производных минимизируемой функции дЗ/дхи д31дх2, дЗ/охп. Для этой цели можно использовать два способа. Первый, аналитический способ состоит в том, что с помощью обычных правил дифференцирования находятся выражения для производных. Второй, чис.ценцын способ определения состоит в том, что производные подсчитываются с помощью соответствующих разностей [c.129]

Наименьшее число шагов при градиентном спуске обеспечивает разновидность градиентного метода, называемая иногда методом наискорейшего спуска. Суть этой модификации градиентного метода в следующем. После определения градиента функции 3(Х) производится движение по направлению антигра-диента до точки, в которой достигается минимальное значение функции 3(Х) на данном направлении. В найденной точке снова определяется градиент и движение совершается по прямой, соответствующей направлению нового антиградиента, и т. д. до нахождения экстремума функции 3(Х). [c.131]

Пример движения по методу наискорейшего спуска для случая 3 (Л ) = 3 (дС], д 2) показан на рис. 3.1. Из исходной точки о движение по направлению антиградиента (—д31дх ) осуществляется до точки Би в которой имеет место частный минимум. Из точки 1 процесс спуска идет по направлению нового антиградиента до точки Б2. В приведенном примере для достижения абсолютного минимума (с заданной погрешностью) требуются две смены направления спуска. [c.131]

Можно показать, что правило ( У Л17) характеризует движение наискорейшего спуска с постоянным шагом, если говорить о двойственной задаче относительно (УЛ15). Это дает основание предлагать более эффективные методы нахождения [c.216]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология