Наискорейшего спуска метод

Метод крутого восхождения. Одним из способов нахождения направления изменения независимых переменных, которое быстро приводит в область, близкую к оптимуму, является м"етод крутого восхождения (или скорейшего спуска) ). Наглядно этот метод можно представить в случае зависимости у = f (хи Х2)котла значения у лежат на некоторой поверхности отклика (рис. И-5), а мы ищем способ определения наиболее высоко расположенной [c.32]

Метод скорейшего спуска. Этот метод предполагает выбор а, из условия [c.20]

Этим критерием пользовались Аристович и Степанова [162], проводившие расчеты по уравнению Вильсона. Для нахождения минимума можно прибегнуть к одному из нескольких методов поиска, например методу скорейшего спуска. В вышеуказанной работе приводятся полученные таким путем данные для девятнадцати трех- и одной четырехкомпонентной смеси. Определенный интерес представляет система бензол + циклогексан + изо-пропанол, образующая три двухкомпонентные и одну трехкомпонентную азеотропную смесь при давлении в 1 атм. Ниже указан состав (мол. доли) азеотропных смесей, соответствующая температура и нормальные температуры кипения исходных соединений [c.228]

Метод скорейшего спуска хотя и медленно, но зато почти всегда сходится, поэтому является наиболее общим методом решения систем уравнений. Однако при неудачном выборе начального приближения метод скорейшего спуска может привести не к решению системы, а к значениям аргумента, дающим относительный экстремум функции, кроме того, скорость сходимости может быть слишком малой. [c.79]

Простейший алгоритм минимизации функции, а именно суммы квадратов, рассчитанной по уравнениям, которые связывают зависимые и независимые переменные, основан не на урав-лении (5.9), а на методе скорейшего спуска. Смысл процедуры заключается в том, что вычисляя значения производных в точке с текущими значениями параметров, всегда можно найти направление движения в пространстве параметров, в котором минимизируемая функция заведомо уменьшается [48]. Главный недостаток таких методов состоит в том, что после быстрого в начале процесса продвижения дальнейшая минимизация оказывается слишком медленной. Другого трудно ожидать, поскольку сначала мы быстро движемся вниз по склону , а затем попадаем на пологое дно долины , движение вдоль которого к минимуму будет весьма медленным [10, 22 44]. Именно поэтому метод не рекомендуют для вычисления констант устойчивости. [c.90]

В методе скорейшего спуска принимается [c.112]

Х< 2/М, где М — наибольшее собственное значение гессиана [234]. Поскольку в квантовохимических расчетах величина М может быть оценена на основе информации о силовых постоянных, такая возможность реализации градиентного метода весьма привлекательна. Метод скорейшего спуска обладает линейной скоростью сходимости, причем константа у в (2.124) определяется отношением (М—т)1 М + т), где М — наибольшее, а т — наименьшее собственные значения матрицы О. Таким образом, чем меньше вытянуты поверхности уровня минимизируемой функции, тем быстрее сходится градиентный метод. [c.113]

Поскольку методы сопряженных направлений за К шагов имитируют один шаг метода Ньютона — Рафсона, они, вообще говоря, обладают квадратичной скоростью сходимости. Однако это их свойство проявляется лишь в достаточной близости к экстремальной точке. В случае расчета стабильных структур использование известной структурной информации позволяет достаточно хорошо выбирать начальное приближение. Известные значения силовых постоянных (из эксперимента или из родственных расчетов) можно использовать при задании начального приближения для матрицы А (A 5iG ) в методах переменной метрики. Интересной особенностью градиентных методов сопряженных направлений является их эквивалентность в случае выпуклой квадратичной функции [234], когда они приводят к одной и той же последовательности сопряженных направлений. Но для произвольных функций, особенно вблизи точек перегиба, разные методы приводят к разным результатам. Наибольшей устойчивостью, по-видимому, обладают методы переменной метрики, но в задачах с очень большим числом переменных необходимость работы с матрицей высокого порядка может приводить к затруднениям тогда следует пользоваться более простыми методами параллельных касательных или сопряженных градиентов. Предварительно полезно улучшить начальное приближение с помощью метода скорейшего спуска. [c.116]

Таким образом, независимо от формы представления равновесия в системе, для расчета равновесных составов должны использоваться оптимизационные процедуры, которые могут быть реализованы различными способами. Для решения равновесных задач, выраженных в первой форме, используют градиентные методы, метод скорейшего спуска, нелинейное программирование. Для решения задач во второй формулировке может быть использован метод Ньютона — Рафсона и другие итерационные процедуры. С сущностью и математической формулировкой различных методов оптимизации читатель может познакомиться ь книге А. М. Бояринова и В. В. Кафарова [9]. Подробный обзор обобщенных численных методов расчета равновесных концентраций приведен в работе [10]. [c.367]

Этот короткий рассказ можно начать с задачи о брахистохроне. Ее автором является Яков Бернулли, а решил ее, согласно математическому фольклору, сам Ньютон, отвлекшись на один вечер от повседневных забот директора монетного двора. В задаче требуется найти форму кривой скорейшего спуска в вертикальной плоскости, предполагая, что по этой кривой скользит без трения тяжелая точка. Метод, которым воспользовался Ньютон, оказался применимым к обширному кругу задач и положил начало вариационному исчислению и теории оптимального управления. Для нас, однако, важно, что Ньютон свел задачу о брахистохроне к решению некоторого дифференциального уравнения. Возникла ситуация, которую можно описать следующим образом. Были обнаружены задачи об оптимальном выборе функции, эквивалентные задачам о решении системы дифференциальных уравнений. Если основным объектом исследования являются дифференциальные уравнения (или их системы), то полезно помнить, что может существовать эквивалентная оптимизационная задача. Так, Лагранж показал, что в отсутствие трения все уравнения механики можно свести к одному типу оптимизационных задач. Это открытие получило название принципа наименьшего действия. Впоследствии данный принцип был распространен на уравнения Максвелла и на многие другие разделы физики. Таким образом, мы столкнулись с еще одним классом двуликих задач. [c.137]

Метод скорейшего спуска, рассмотрим кратко возможности применения метода скорейшего спуска, хорошо изложенного, например, в монографии Березина и Жидкова [29], к задаче определения силовых постоянных. Этот метод имеет некоторые преимущества перед методом наименьших квадратов в том, что он не требует отнесения частот. Раскрывая уравнение (4) в полином относительно X [c.343]

Поскольку в методе скорейшего спуска решение таких систем эквивалентно отысканию всех минимумов [c.343]

Затем, как и в методе скорейшего спуска, отыскиваются все нулевые минимумы функции (23). Точки, в которых реализуются минимумы функции F, являются решениями уравнения det T U— i )=0. Число наборов таких точек составляет п Решение, как и в методе скорейшего спуска, зависит от нулевого приближения. Автор указанных работ применил этот метод к отысканию наборов силовых постоянных для матриц 2x2. В этих случаях две диагональные силовые постоянные Л ц и К22 можно выразить через третью постоянную Л 12. Функция F в этом частном случае имела вид [c.346]

После соответствующих подстановок и преобразований получают уравнение 8-й степени относительно неизвестной Ki2- Таким образом, даже для матриц второго порядка получается весьма громоздкое выражение. Применение же этого метода к уравнениям более высокого порядка, как и в случае метода скорейшего спуска, приводит к значительным математическим трудностям. Кроме того, конечно, не удается избежать неоднозначности решения. В этих же работах предложено оцени- [c.346]

Рассмотренные методы демонстрируют различные подходы к определению силовых постоянных. Всем этим методам присущи как определенные преимущества, так и некоторые недостатки. Основной проблемой, которая не решена ни одним из перечисленных методов, остается неоднозначность решения обратной спектральной задачи. Так в методе проб и ошибок (метод вариации) вообще может быть потеряно оптимальное решение. В методе наименьших квадратов в том виде, как его обычно применяют, окончательное решение будет зависеть от исходного приближения 11о и от отнесения частот всех молекул, входящих в расчет. В методе скорейшего спуска множественность решений связана с нелинейностью уравнений (так как уравнений оказывается недостаточно для определения всех силовых постоянных). Решения также зависят от исходного приближения матрицы /7о- Ряд других методов для отыскания силовых постоянных с помощью матриц преобразования координат также не позволяет найти единственное решение. Дополнительная информация по т, и т. п. также не дает достаточного количества исходных данных для однозначного определения силовых постоянных. [c.375]

Метод согласования при определении силовых постоянных отличается своей простотой по сравнению, скажем, с широко распространенным методом наименьших квадратов. Прежде всего, этот метод имеет более простое математическое оформление. Здесь удается избежать технических трудностей, связанных с решением плохо обусловленных систем уравнений, т. е. трудностей, которые в методе согласования непосредственно не проявляются. При определении силового поля по методу согласования практически при всех проведенных расчетах оказывалось достаточно экспериментальных частот по двум изотопическим видам молекулы, полностью замещенным одним или другим изотопом. Этот метод не исключает, конечно, возможности включения в расчет более двух молекул, однако в этом, как правило, нет необходимости. В силу свойств матриц Г- и U все частично-замещенные молекулы будут полностью охарактеризованы найденной таким образом матрицей U. В ряде других методов (метод вариаций, метод наименьших квадратов и метод скорейшего спуска) необходимо знание экспериментальных частот по большему числу изотопических молекул. [c.376]

Если поиск начинается из нулевого приближения, далекого от минимума, то выгоднее всего использовать линейные методы, в частности метод скорейшего спуска. Однако в окрестности минимума эти методы дают медленную сходимость, и тогда более эффективными оказываются квадратичные методы. [c.129]

Кроме метода скорейшего спуска, известно еще несколько модификаций линейных методов [173—175]. Из них особого внимания заслуживает метод сопряженных градиентов, в котором направление спуска на (к + 1)-ой итерации выбирается с учетом направления на к-ой итерации, а именно [c.129]

Метод сопряженных градиентов обычно дает более быструю сходимость, чем метод скорейшего спуска, поскольку он не так инертен на поворотах траектории поиска. Недостаток его состоит в том, что при удалении от начальной точки происходит накопление ошибок в вычислении очередного направления спуска. По этой причине траектория поиска, практически дойдя до минимума, может из него выскочить . [c.130]

Остается решить два вопроса — как вычислить производные и как найти оптимальное значение /г, соответствующее минимуму функции на прямой (это необходимо делать и в методе скорейшего спуска). [c.131]

Метод скорейшего спуска с описанной стратегией поиска на прямой неоднократно применялся в конформационных расчетах [180, 181, 123]. Не говоря уже о том, что линейные методы не являются наилучшими при уточнении положения минимума, заметим, что для поиска минимума на прямой можно найти более эффективную процедуру. Вернемся к квадратичному методу и пусть направление от лг к Xi уже найдено (2.112). Возьмем по-прежнему малое положительное число т, но вместо выражения (2.116) построим иную последовательность [c.132]

Какой же из методов лучше всего использовать для определения оптимальных конформаций молекул По-видимому, нужно иметь комплекс программ, который непременно должен включать метод скорейшего спуска и квадратичный метод, желательно метод Ньютона — Рафсона или метод параллельных касательных. Если неизвестно, близко ли к минимуму находится нулевое приближение, то сначала следует сделать три — четыре градиентных спуска, а затем перейти на квадратичный метод. [c.135]

Данные табл. 2.8 показывают, что наименее эффективным вблизи минимума является метод скорейшего спуска (СС) остальные методы в среднем равноценны, хотя некоторое предпочтение все же следует отдать методу Ньютона — Рафсона. Правда, на функции (3) этот метод испытывает некоторые трудности в самом начале поиска, и в конце концов ему только лишь удается догнать метод скорейшего спуска. Но подобные ситуации редки в конформационных задачах. [c.137]

Метод скорейшего спуска является наиболее общим методом решения систем уравнений. Его целесообразно применять для уточнения решений в тех случаях, когда методы Ньютона и итераций расходятся. Его можно использовать также и для первоначального определения корней. Однако в этом случае метод скорейшего спуска может привести не к решению системы, а к значениям аргумента, дающего относительный экстремум функции [c.250]

Метод скорейшего спуска требует вычисления первых производных функций Ф(Х1, Х2,. .х ). Это обстоятельство является довольно серьезным затруднением при реализации алгоритма на ЭЦВМ. [c.251]

Методы Марквардта [55 и Флетчера — Пауэлла [56] являются чрезвычайно полезными методами второго типа они были использованы для расчета констант устойчивости [35, 37, 53, 54]. Первый из них известен как метод ослабленных наименьших квадратов в нем по существу повторяется старая идея Левенберга [57], согласно которой сумма квадратов поправок к параметрам минимизируется с суммой квадратов разностей функций. Марквардт заметил, что в любой заданной точке параметрического пространства должны существовать в общем случае два направления, по которым достигается уменьшение 5. Это V — направление, получаемое по методу, связанному с использованием ряда Тейлора (здесь V — вектор, являющийся столбцом матрицы), и О — направление скорейшего спуска. При исследовании многих реальных систем [c.91]

Независимо от используемой системы координат методы получения пути скорейшего спуска или некоторых приближенных координат реакции распадаются на две категории 1) методы, в которых исходят из переходного состояния и затем идут к реагентам и,продуктам 2) методы, в которых устанавливают связь между реагентами и продуктами. [c.49]

Бокс предложил пользоваться при оптимизации методом градиента, или скорейшего спуска В окрестности выбранной точки ставятся четыре опыта—два при постоянном давлении и два при постоянной температуре. Затем рассчитывают направление, в котором конверсия возрастает наиболее быстро, т. е. нахс яг направление градиента конверсии. С этой целью новые опыты при новых значениях давления и температуры проводят до тех пор, пока не будет достигнуто увеличение выхода. Далее снова находят направление градиента при помощи четырех измерений в окрестности последней полученной точки и проводят исследования в этом направлении. [c.362]

Для двухкомпонентной системы уравнения (6.11) и (6.12) образуют аналогичную матрицу. При i 3 эти уравнения легче решать для коэффициентов ка в численном виде, чем в неявной форме. Такие решения можно выполнить, используя стандартные методы матричной алгебры специальные области применения и примеры даны в литературе [4, с. 86 13, с. 403—412]. Для систематических анализов двух-и трехкомпонентных систем расчеты можно сильно упростить, если построить номограммы, что не требует больших усилий [101]. Для оценки недиагональных коэффициентов методом скорейшего спуска Перри [83, 86] предложил использовать одну-две смеси известного состава. [c.260]

Минимизация функционала Р осуществлялась методой скорейшего спуска на БЦВМ. [c.75]

Некоторым видоизменением метода скорейшего спуска является метод ближайшего решения , с помощью которого рассчитаны силовые поля некоторых молекул в работах Фадини [31]. В качестве вспомогательной функции выбирают функцию [c.346]

Из методов минимизации, отличающихся быстрой сходимостью, следует упомянуть еще метод Давидона, описанный в работе Флетчера и Пауэлла [1871. В отличие от метода скорейшего спуска. [c.134]

Преихмущества и недостатки каждого из четырех методов — скорейшего спуска (СС), сопряженных градиентов (СГ), Ньютона — Рафсона (НР) и параллельных касательных [ПК1 и ПК2 в соответствии с выражениями (2.120) и (2.121)] — хорошо видны на примере поиска минимума трех функций [c.135]

В качестве последних стоит упомянуть так называемые градиентные методы, или методы скорейшего спуска , используемые при проведении процедуры оптимизации. Это такие методы оптимизации, при которых приближаются непосредственно к стационарным точкам на энергетической поверхности. Как уже отмеча- [c.313]

ЛОСЬ В гл. 5, метод ЛКАО-МО-ССП не приводит естественным образом к проблеме на собственные значения. Получаемые в нем уравнения оказываются на самом деле нелинейными относительно неизвестных коэффициентов, хотя их и можно представить в виде некоторой псевдопроблемы на собственные значения в предположении простого решения истинной проблемы на собственные значения. Тем не менее нет никакой гарантии, что процедура итерационного метода, описанного в разд. 9.2, состоящая из повторных решений обычной задачи на собственные значения, будет действительно сходящейся к некоторому пределу. Конечно, весьма правдоподобно, что эта процедура позволит подойти близко к энергетическому минимуму. Если удачно угадать начальное приближение Р<°),тоона может оказаться практически сходящейся в большинстве вычислений для состояний с замкнутыми оболочками и для многих состояний с открытыми оболочками, хотя сходимость может быть и очень медленной (дальнейшее обсуждение этого вопроса см. в [19]). Вообще решение проблемы ССП фактически состоит в нахождении минимума энергетической функции, заданной в многомерном пространстве, и эту задачу (ср. разд. 5.4) не всегда можно свести к истинной проблеме на собственные значения. Метод прямой минимизации энергии, полностью заменяющий процедуру итерации метода ССП, состоит в том, чтобы, начав с любой точки на энергетической поверхности, приближаться к минимуму энергии, изменяя коэффициенты при орбиталях в волновой функции таким образом, чтобы спуск по энергетической поверхности к точке минимума был быстрейшим. Хотя эта математическая техника и была развита довольно давно (см., например, [20, 21]), она до сих пор, к сожалению, распространена меньше, чем традиционный метод сведения задачи к проблеме на собственные значения. Метод скорейшего спуска, без сомнения, еще сыграет важную роль в будущем развитии многоконфигурационного метода ССП. [c.314]

Для точного определения положения переходного состояния [первое из уравнений (2-8)] и пути скорейшего спуска реакции (он направлен в сторону отрицательного градиента Е) требуются точные расчеты производных дE/дQ . Разработаны методы аналитического определения этих производных, в частности с помощью импульса Пюлея [38 — 43]. Особый интерес представляет использование расчетов градиента для получения координат реакции. [c.48]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология