Элементы симметрии, семейство

Таким образом, точечная группа определяется по симметрии рентгенограмм лишь с точностью до центра инверсии (и равнодействующих элементов симметрии). Например, кристаллы с симметрией 2, т и 2/ш дадут рентгенограммы с одинаковой симметрией 21т. Из 32 кристаллографических групп одиннадцать содержат операцию инверсии. Следовательно, рентгенографически (по симметрии рентгенограмм) все точечные группы распределяются по 11 семействам — так называемым классам Лауэ . [c.69]

Трансляции размножают элементы симметрии кристаллического класса в семейство параллельных элементов симметрии (см. рис. II.9) и преобразуют поворотные оси симметрии в винтовые, а зеркальные плоскости — в плоскости скользящего отражения. В результате из каждого кристаллического класса образуется несколько пространственных групп. Общее число пространственных групп 230. Это значит, что помимо одного непрерывного и изотропного пространства Евклида существует 230 типов дискретных и анизотропных периодических пространств, представителями которых являются кристаллы. В числе 230 [c.60]

Трансляции размножают элементы симметрии в бесконечные периодические семейства эквивалентных элементов (рис. II.9) и подразделяют бесконечное трехмерное пространство на идентичные, параллельно расположенные и примыкающие друг к другу элементарные области (ячейки), имеющие форму параллелепипедов. Для описания пространственной группы достаточно указать элементы симметрии в одной элементарной ячейке. [c.50]

Элементы симметрии решеток, т. е. обычные плоскости симметрии и плоскости скользящего отражения, а также обычные и винтовые оси симметрии, будучи трансляционно повторенными, дают целые серии [семейства) аналогичных плоскостей и осей, параллельных самим себе. Кроме того, между плоскостями или осями, принадлежащими одному семейству, появляются новые семейства плоскостей или осей симметрии. Основные элементы симметрии являются генераторами вторичных элементов симметрии. Например, [c.60]

Вывод пространственной группы покажем на характерном примере, в котором будем исходить из семейства плоскостей, скольжения, лежащих параллельно плоскости XI на расстоянии бц одна от другой (направление трансляций [001], величина трансляций Со/2) нормально к этому семейству расположим семейство винтовых осей второго порядка (величина трансляции Ьо1 2). Начало координат выберем в точке пересечения плоскости скольжения с винтовой осью (фиг. 13). Эти элементы симметрии обусловливают определенный характер повторения некоторой точки, охватывающего, конечно, все пространство. [c.30]

Плоскости т и оси 2 потенциальных функций, отстоящие друг от друга на величину трансляции, объединяются в одно семейство. Перпендикулярно к координатной оси располагаются два семейства плоскостей (то и т,) или осей (2" и 2 ). Расстояние между двумя соседними элементами симметрии разных семейств равно половине трансляции. Запись то 5 то или 2 г2 означает совмещение элементов симметрии, принадлежащих к одному семейству, а запись то = т1 или 2° = 2 — к разным семействам. [c.386]

Упомянем еще о комбинациях семейств элементов симметрии. Мы здесь не можем подробно останавливаться на выводе характерных формул симметрии для всех различных цепных, плоских и пространственных групп симметрии. Уже сделанных указаний достаточно для объяснения изложенных принципов. [c.83]

Благодаря наличию трансляционной группы все элементы симметрии образуют семейства из бесконечного числа отдельных единиц, тогда как в точечных группах эти элементы проходят через одну точку, так что каждое семейство представлено лишь одним элементом. Кроме того, в последнем случае винтовые оси заменяются простыми поворотными, а плоскости скользящего отражения — плоскостями зеркального отражения. [c.330]

Кроме уже рассмотренных понятий, большое значение имеет еще понятие подгрупп. Под термином подгруппа определенной пространственной группы подразумевается совокупность элементов симметрии, которые все содержатся в данной группе и образуют сами по себе пространственную группу. Так, в нашем примере центры симметрии, так же, как и семейство плоскостей симметрии и плоскостей скользящего отражения для разных положений, представляют сами по себе пространственные группы. [c.332]

Все элементы симметрии выступают в решетке в виде бесконечного семейства параллельных линий или параллельных плоскостей или решетки в случае центра инверсии. [c.60]

Однако при описании федоровской группы всегда целесообразно выбрать начало координат ячейки либо в центре инверсии, либо в точке пересечения каких-либо элементов симметрии (предпочтительно закрытых). Если же имеются только семейства параллельных осей или плоскостей симметрии, то начало координат выбирается в любой точке оси или плоскости. Естественно, что при наличии параллельных поворотных и винтовых осей начало выбирается на поворотной оси. Точно так же при наличии зеркальной плоскости симметрии и плоскости скольжения начало выбирается на первой из них. При этом относительные координаты других элементов симметрии будут выражаться простыми дробями. Так, мы будем встречаться с центрами инверсии, расположенными в центрах граней, в серединах ребер, на диагоналях ячейки (на или ее длины от вершины), и т. д. [c.61]

Аналогичным способом можно доказать следующее центрировка означает наличие в решетке двух параллельных семейств плоскостей, или осей симметрии одного класса, т. е таких, что различие их исчезает при стремлении периодов решетки к нулю. Справедливо и обратное положение наличие в решетке двух параллельных семейств элементов симметрии одного класса приводит к центрировке ячейки. [c.63]

Кристаллическая решетка платины принадлежит к кубической системе. Молекула циклогексена имеет форму правильного шестиугольника. В рассматриваемой реакционной системе атомная структура катализатора и реагирующие молекулы обладают одним общим качеством—элементами симметрии третьего порядка. В кристалле платины такой порядок расположения атомов присущ только октаэдрической грани. Поверхность этой грани может быть представлена тремя семействами параллельных прямых, пересекающихся под углом 60°. В узлах расположены атомы платины. Таким образом, поверхность гра-1 и кристалла платины — это множество раЕиюсторонних треугольников с атомами платины в иершиЕшх (рис. 5.3). [c.238]

Р2 с Си (рис. 37). При пересечении семейства осей 2 семейством плоскостей скольжения с возникают вставные плоскости (одна па ячейку) и оси (три на ячейку). Как оси, так и плоскости попарно связаны другими элементами симметрии поэтому имеем одно семейство плоскостей скольжения и два семейства осей. Если оси имеют координаты Оу Д и Оу /4 (первая пара) и У V и у (вторая пара), то один из центров инверсии попадает в начало координат. Всего в ячейке восемь центров инверсии они разбиваются на четыре семейства (а) ООО, 12 (Ь) 00, Уг. (с) 00 V., 0 7-0 [c.65]

О принадлежности к классу 2тт ромбической системы. Перпендикулярно осям а и Ь расположены плоскости т, вдоль оси — ось 2. Центрировка в объеме говорит о наличии по крайней мере еще одного семейства плоскостей или (и) осей симметрии. Легко видеть, что это семейство п Uyz), или (л z), или 2 Vi ]- В действительности, все три семейства элементов симметрии связаны указанными в символе элементами /п и 2 и потому обязательно существуют вместе. [c.77]

В некоторых случаях одной производящей координате могут соответствовать несколько семейств координат симметрии, относящихся к одному и тому же неприводимому представлению. Так обстоит дело, в частности, когда в результате операций из группы порядка д над производящей координатой возникают д различных гомологических координат. Эти д координат определяют собой представление, которое называется регулярным представлением группы [для этого представления мы имеем Х( ) = , х( )=0 для всякого Я т д элементов, отличного от Е]. При разложении регулярного представления группы на его неприводимые составляющие, осуществляемого при по- [c.377]

На рис. II.8 показаны части бесконечных однократно-перио-дических структур (бордюров). Бордюр в виде непрерывной цепочки бегущих фигур (рис. II.8,й) обладает только трансляционной симметрией. Здесь нет особых точек симметрии, в которые можно было бы поместить начало одномерной решетки. В этом отношении все точки бордюра эквивалентны. На рис. II.8 б, изображена непрерывная гармоническая кривая, периодичность которой указывают особые точки вершины, впадины и два семейства пулевых значений функции, различающиеся знаком производной. Гармоническая кривая, помимо трансляционной симметрии, имеет еще два семейства центров симметрии и два семейства зеркальных линий отражений, отмеченных стрелками, направленными соответственно вверх и вниз. Такой же симметрией обладает непрерывная кривая (рис. И.8,в), показывающая периодическое изменение прозрачности одномерной дифракционной решетки. Ири наличии (помимо трансляцил) дополнительных элементов симметрии начало трансляции удобно поместить в одном из них, что позволяет подразделить элементарную ячейку на эквивалентные области. Операции отражения, инверсии и трансляции позволяют получить из области ячейки, равной в случаях рис. II.7, б и в 1/4 периода, всю неограниченную гребенку или синусоиду. [c.48]

Полихроматический метод. Самым простым и удобным, с точки зрения определения дифракционной симметрии, является полихроматический метод. Здесь дифракционная симметрия проявляет себя наиболее непосредственно. Все семейства плоскосгей отражают лучи одновременно если какой-либо элемент симметрии параллелен первичному пучку, то не только семейства плоскостей кристалла, но и направления отраженных лучей оказываются связанными этим элементом симметрии. [c.255]

Можно подойти к понятию о неприводимом представлении несколько иначе. Вспомним, что матрицы, образующие представление группы, были определены с помощью некоторого набора функций. Допустим, таких функций было т. Более того, мы выяснили (см. стр. 28), что при преобразованиях симметрии функции этого набора преобразуются друг через друга, да еще линейно. Может случиться так, что при преобразованиях симметрии т функций исходного набора разобьются на отдельные семейства ( подна-боры ) по /Пь /П2... функций в каждом. Разумеется, при этом общее число функций не изменится, т. е. /П1 И- /П2 Ч-. .. = т. Разбиение на семейства произойдет таким образом, что при воздействии всех элементов симметрии группы функции каждого семейства преобразуются только друг через друга, не затрагивая функций соседних семейств. В этом случае говорят, что данное представление приводимо. Но если число преобразующихся друг через друга функций исходного набора не удается уменьшить, т. е. нельзя раздробить, размельчить исходную совокупность функций, то представление, порождаемое этим начальным набором, называется неприводимым. [c.32]

Группа плоской симметрии на рис. 51 может быть названа геометрически сходственной точечной группой симметрии С , так как она содержит параллельное семейство осей четвертого порядка к которым вследствие расщепления элементов симметрии примыкают параллельные семейства двойных осей, являющихся подгруппами (частями) четверных. При семействах шестерных осей также всегда наблюдаются двойные и тройные оси, так как шестерные оси вклюг чают поворот на 120 и 180° как операции совмещения. [c.71]

Симметрия кристаллов как континуумов дается 32 классами кристаллов (КК) (кристаллографическими точечными группами). Элементами симметрии могут быть в этом случае только поворотные и инверсионные оси, проходящие через одну и ту же точку. Если рассматривать тонкую структуру кристаллов, то необходимо учитывать еще винтовые оси и плоскости скользящего отражения. Элементы симметрии в дисконтинууме расположены в виде бесконечных семейств параллельных, в совокупности они образуют так называемую пространственную группу (кристаллографическую группу преобразовсшия для дисконтинуума). Элементы симметрии ПГ вызывают совмещение кристаллической структуры и индикатрисы ее свойств самих с собой мы имеем дело с симметрическими преобразованиями совмещения. Математически доказывается, что всего имеется 219 различных ПГ (Федоров, Шёнфлис, Ниггли) [2]. [c.337]

В самом деле, на протяжении ряда церий — лютеций происходит достройка глубоколежащей Л -оболочки до ее максимальной емкости (32 электрона) путем последовательного включения 14 4/-электронов. Для Л -оболочки = 4 следовательно, 1 = 3, и т может принимать семь различных значений (от —3 до Ч-З), т. е. в совокупности появляется семь электростатически возможных орбит для /-электронов. Однако из-за наличия у электронов собственных спинов каждая из этих орбит может раздваиваться в итоге имеем четырнадцать орбит. Далее, можно предположить, что в атомах элементов, начиная с церия, первые семь орбит заполняются электронами с параллельно направленными спинами, так что у Ос1 достигается определенная электростатическая симметрия, некое завершение нодоболочки, чем и объясняется устойчивая конфигурация гадолиния. У элементов от тербия до лютеция остальные семь орбит заполняются электронами со спинами, антипар аллельными спинам первой семерки. На этом и основывается тонкая структура редкоземельного семейства это и обусловливает разделение его на две группы (цериевую п иттриевую в старом понимании), разумеется, при условии, что заполнение идет строго в соответствии с только что развитыми представлениями, а первый 4 /-электрон действительно появляется у церия. [c.104]

Пространственная группа Sp = 3)[ (Pm n). Схематическое представление этой структуры в проекции на плоскость хОу дано на фиг. 5.5. Фактор-группа S f изоморфна точечной группе порядок которой g = 8. Ее представительные элементы тождественное преобразование, три взаимно перпендикулярные винтовые оси второго порядка, центр симметрии и три плоскости, две из которых являются плоскостями зеркального скольжения. Примитивная ячейка, имеющая форму прямой призмы с прямоугольным основанием, содержит четыре фо Гмульные единицы СаСОз. Мы различаем здесь катионы Са + и ионные молекулы СОз . На фиг. 5.5 четыре иона каждого рода в ячейке обозначены римскими цифрами I—IV. Б международных таблицах [85, стр. 151] находим, что четыре иона Са + образуют семейство гомологических точек и занимают позиции с симметрией g s- То же самое относится к четырем атомам С и к четырем атомам О. Остальные 8 атомов О не обладают никакой собственной симметрией (позиционная группа i) и образуют отдельное семейство. [c.127]

Заметим, что первый и последний элементы (12.2) ие мо1ут быть изменены вследствие сохранения энергии. Второй элемент, описывающий свободное движение частиц, характеризует рассматриваемое нами семейство газов. Замена этого элемента (которая возможна лишь ценой нарушения еще одной симметрии на микроскопическом уровне) приведет к другому семейству газов, обсуждаемому в разд. 12.7 [c.132]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология