Уравнение Ван-дер-Поля

Рис. 4.3. Фазовый портрет решения обобщенного уравнения Ван-дер-Поля

Рис. 4.4. Фазовый портрет решения обобщенного уравнения Ван-дер-Поля при действии периодического возмущения

Для примера проведем построение изоклин и фазовой траектории по уравнению Ван-дер-Поля [c.177]

О, которое сводится к точке покоя д при 6 = 0. Однако поведение при возмущении может быть соверщенно отличным, если система (22) имеет устойчивое периодическое решение у(() для 5 = 0. Это решение генерирует притягивающий инвариантный цилиндр Mq в ( f - / )-пространстве и (как результат определения последовательных интервалов времени величины Г) притягивающий инвариантный тор Т1. Известно, что при малой величине 5 существует инвариантная поверхность около так как Tq имеет гиперболическую структуру. Однако, когда амплитуда возмущающей функции достаточно большая, инвариантный тор может утратить гладкость и выродиться в странный аттрактор. Это происходит, например, в случае уравнения Ван-дер-Поля с периодической вынуждающей силой. [c.345]

Общая формулировка детерминированных процессов дана в разд. 2. Ее можно проиллюстрировать на примере обобщенной задачи распределения. Аналогично в разд. 3 дана общая формулировка стохастических процессов. Она проиллюстрирована на примере стохастической задачи распределения, использующей понятие математического ожидания. Сравнение детерминированных и стохастических процессов приведено в разд. 4. Кроме того, указываются стохастические элементы во многих процессах, в частности химических процессах. В разд. 5 рассматривается стохастический вариант описанной выше задачи распределения, а в разд. 6 — стохастическая модель регенерации катализатора. Задача управления по среднему значению рассматривается как стохастическая благодаря наличию случайной переменной в уравнении Ван дер Поля. Посколь- [c.437]

Рис. 2.41 иллюстрирует технику решения системы из двух дифференциальных уравнений Ван-дер-Поля и представление решения в виде фазового портрета колебаний, которые описывает рассматриваемая система уравнений, а также временных зависимостей решения. Эта система уравнений описывает типичную нелинейную систему второго порядка. Степень нелинейности задается параметром, в зависимости от значения которого можно получить затухающие, стационарные или нарастающие по амплитуде колебания. Отличие фазового портрета от эллипса указывает на степень нелинейности системы. [c.98]

Система нелинейных дифференциальных уравнений Ван-дер-Поля [c.98]

Если граничные напряжения принять за однородное гидростатическое давление, то можно легко показать, что условия, записанные в виде уравнения (3.13), в комбинации с уравнениями, получаемыми при использовании обычных граничных условий при г = а и г=1, непосредственно приводят к выражениям для объемных деформаций и объемных напряжений, аналогичным уравнениям Кернера. Получаемое при этом выражение для Кс аналогично уравнению (3.11). Однако для Ос такой простой эквивалентности не наблюдается. Получаемое при этом очень сложное выражение недавно было дано в более простой форме Смитом [26]. Зависимость Ос от состава композиции в этом случае выражена значительно более резко, чем в уравнении Кернера, и более точно согласуется с экспериментальными данными для полимерных композиций, содержащих жесткие частицы наполнителя [30]. По-видимому, уравнение Ван-дер-Поля неприменимо к описанию динамических механических свойств полимер-полимерных композиций, хотя оно успешно использовалось для расчета модуля [c.156]

В разд. 2 рассмотрено соотношение между понятием обратной связи и многостадийным процессом принятия решений. В разд. 3—6 представлены задачи управления по среднему значению с использованием различных критериев и при условии, что переменная состояния удовлетворяет уравнению Ван дер Поля. Важный класс задач управления, а именно задачи управления по конечному значению, описан в разд. 7—9. В разд. 10 показано, что задача управления по среднему значению может рассматриваться как частный случай обобщенной задачи управления по конечному значению. Необычный для химиков-технологов метод минимизации максимального отклонения описан в разд. И. Решение задачи управления по конечному значению с запаздыванием во времени изложено в разд. 12. Другой подход к этой задаче с помощью линейного интегрального уравнения показан в следующем разделе. Отмечены относительные достоинства каждого из рассмотренных методов. [c.275]

В гл. 6 показаны преимущества применения метода динамического программирования при решении ряда задач управления. Большая часть излагаемого здесь весьма лаконично материала предназначена для химика-технолога. При этом используются уравнения, подобные уравнению Ван дер Поля, с которыми химик-технолог знаком слабо или вообще незнаком. Чтобы представить эти задачи в форме, более привычной химикам-технологам, рассмотрены некоторые приложения динамического программирования к задачам управления в химической промышленности. Следует иметь, однако, в виду, что задачи управления в химической промышленности в основном не отличаются от аналогичных задач для многих других областей, как, например, задач, встречающихся в технике следящих систем, экономике и биологии. [c.321]

При е=0 из (1.14) получается классическая система уравнений Ван-дер-Поля, которая описывает автоколебания переменной x t) (или y t)) [1,6] и неоднократно будет нами использоваться в дальнейшем изложении. На плоскости переменных X, у система Ван-дер-Поля имеет фазовый портрет в виде устойчивого предельного цикла, на когорый извне и изнутри навиваются по спиралям траектории движения изображающей точки (особая точка — неустойчивый фокус). [c.17]

Итак, обратимся к математической постановке задачи. В качестве модели автоколебаний выберем, как это делалось и в других случаях, уравнения Ван-дер-Поля. Пусть имеется п+ реакторов с одинаковыми объемами V. Обозначим через Xt и tji концентрации двух веществ в i-м реакторе, а через х я у — концентрации этих веществ вереде ). Среда имеет объем Vo- Тогда уравнения, описывающие нашу систему, запишутся следующим образом [c.210]

Это дифференциальное уравнение называется уравнением Ван-дер-Поля поведение его решений было обстоятельно исследовано рядом авторов [40—42]. [c.85]

Из рис. И1-4 следует, что для системы с множественными стационарными состояниями даже относительно малые возмущения стационарного состояния А могут перевести систему на траектории, ведущие к другому состоянию С. Если система имеет единственное стационарное состояние, которое асимптотически устойчиво, вероятнее всего, что траектория в конечном счете вернется в исходное стационарное состояние. Однако на рис. П1-5 показано, что даже и в этом случае возможен иной режим. Противоположный пример представляет известное уравнение Ван-дер-Поля, которое имеет неустойчивый предельный цикл [см., например, работу Страбла (1962 г.)]. Такая же ситуация может возникнуть при перемещении от одного стационарного состояния к другому, соответствующему иным значениям параметров режима. Если Л и Б — точки стационарного состояния на фазовой плоскости при скоростях потока и да, соответственно, ступенчатое возмущение [c.90]

При определенных условиях это уравнение приблизительно эквивалентно соотношению Кернера [473] для нижнего предела. Во всяком случае константа А эмпирически учитывает тот факт, что верхнее предельное значение модуля в таких системах не найдено. Хотя часто наблюдаются несоответствия между экспериментальными результатами и теоретическим предсказанием на основе некоторых уравнений, в определенных случаях существует и вполне удовлетворительное согласие. Например, в работе [974] было показано, что значения модуля Юнга для полифениленоксида, наполненного стеклянными шариками, приблизительно подчиняются уравнению Ван дер Пола [956]. По крайней мере в области исследованных концентраций (вплоть до объемной доли наполнителя 0,25), уравнение Ван дер Пола примерно эквивалентно уравнению Кернера [938]. Подобное согласие наблюдали ранее Шварцль и др. [810] для наполненного полипропиленоксида в стеклообразном состоянии. Интересно отметить [119, 938], что обработка стекла силановым аппретом , улучшающим адгезию, не оказывает существенного влияния на модуль. Было предположено, что остаточные напряжения сжатия могут маскировать недостаточную адгезию в системе с необработанным наполнителем. В противоположность этому было сообщено о положительном влиянии силанов на модуль упругости при изгибе сложных материалов на основе эпоксидной смолы, содержащих малые стеклянные сферы [984], и эпоксидных смол, наполненных стеклянными шариками или порошками [984]. Расхождения такого типа часто встречаются при исследовании наполненных систем однако дать им точное объяснение затруднительно [677]. [c.312]