Ван-дер-Поля метод решения нелинейного уравнения

Теперь рассмотрим решение нелинейного уравнения методом Ван-дер-Поля. Для этого запишем [c.160]

Система дифференциальных уравнений (5.11) и (5.13) является существенно нелинейной, так как коэффициенты скоростей и могут зависеть от напряженности электрического поля, являющейся решением волнового уравнения (5.13), а величина е, входящая в уравнение (5.13), в свою очередь зависит от изменяющейся во времени концентрации электронов, получаемой в результате решения системы уравнения (5.11), и также от самого электрического поля, влияющего на величину у ф. Метод решения рассматриваемой системы уравнений описан в [21]. [c.229]

Информация о полях скорости и давления, необходимая для решения задач о распределении и превращении веществ в реакционных аппаратах, часто может быть получена из рассмотрения чисто гидродинамической стороны проблемы. Огромное разнообразие реальных течений жидкости, подчиняющихся одним и тем же уравнениям гидродинамики, обусловлено множеством геометрических, физических и режимных факторов, определяющих область, тип и структуру течения. Классификацию течений для описания их специфических свойств можно произвести различными способами. Например, широко распространена классификация течений по величине важнейшего режимно-геометрического параметра — числа Рейнольдса Ке течения при малых числах Рейнольдса [178], течения при больших числах Рейнольдса (пограничные слои [184]), течения при закритических числах Рейнольдса (турбулентные течения [179]). Следует заметить, что такая классификация имеет важный методический смысл, поскольку определяет малый параметр, Ке или Ке , и указывает надежный метод решения нелинейных гидродинамических задач — метод разложения по малому параметру. Не отрицая плодотворность такой классификации течений, в данной книге будем исходить не из математических и вычислительных удобств исследователя гидродинамических задач, а из практических потребностей технолога, рассчитывающего конкретный аппарат с почти предопределенным его конструкцией типом течения реагирующей среды. В этой связи материал по гидродинамике разбит на две главы. В первой из них рассматриваются течения, определяемые взаимодействием протяженных текучих сред со стенками аппарата или между собой течения в пленках, трубах, каналах, струях и пограничных слоях вблизи твердой поверхности. Во второй главе рассматривается гидродинамическое взаимодействие частиц различной природы (твердых, жидких, газообразных) с обтекающей эти частицы дисперсионной средой. [c.9]

Число Во является характерным параметром радиационно-конвективного теплообмена в целом. При Во-С1 роль конвекции пренебрежима и теплообмен определяется радиационно-кондуктивным взаимодействием. При Во>1 процессы конвекции становятся определяющими, В этом случае задача упрощается рассматривается конвективный теплообмен без учета излучения и по вычисленным температурным полям определяется поток излучения на стенку. Промежуточные значения Во характеризуют наиболее сложные случаи радиационно-конвективного взаимодействия. Излучение оказывает заметное влияние на теплообмен при сравнительно слабом перемещении сред. Строгое рассмотрение задач радиационно-конвективного теплообмена, таким образом, сопряжено с решением нелинейных уравнений и осуществляется с привлечением совершенных численных методов и ЭВМ [15.1, 15.8, 15.10, 15.12, 15.14, 15,16]. Приближенные способы расчета радиационно-конвективного теплообмена в пограничных слоях, как правило, основаны на предельных ситуациях (приближения оптически тонкого и оптически толстого слоев). В частности, в приближении оптически толстого слоя суммарный тепловой поток на стенке пластины, обтекаемой ламинарным пограничным слоем, определяется по формуле [c.294]

Решение системы нелинейных уравнений (13.59)-(13.61), (13.65) методом Ньютона (при предварительном задании начального поля температур, точности расчета и порядка системы нелинейных уравнений, равного числу расчетных зОн печи /). [c.822]

Уравнения, описывающие процессы в физических полях, зачастую бывают нелинейными. Однако при аналитическом исследовании там, где этО возможно, их линеаризуют, что дает возможность воспользоваться преимуществами метода суперпозиции. Линеаризация представляет собой некоторое приближение, и поэтому следует ожидать, что линеаризированное решение достаточно хорошо описывает истинное поведение только в случае малых нелинейностей системы. Иными словами, если нелинейности велики, то для правильного объяснения поведения системы их необходимо учитывать. Такой системой из области механики является, например, жесткая или мягкая пружина. В качестве примера из гидродинамики можно привести задачу о росте пограничного слоя и задачу о распространении ударных волн. [c.41]

Здесь j — вектор-столбец с компонентами сц, сц, сд,-. Эти уравнения являются нелинейными, что ясно из вида оператора Фока (см. гл. 2, 4), который зависит от искомых функций, т.е. при данном способе решения - от искомых коэффициентов разложения [ j. Матричное уравнение (4.24а) при условии нормировки (4.246) названо уравнением Рутана. Метод Хартри - Фока - Рутана называют также в теории молекул методом ССП (самосогласованного поля). [c.222]

При изучении стандартного теплового поля камеры синтеза известно использование как расчетных, так и экспериментальных методик, основанных на непосредственном измерении температуры в камере высокого давления. В случае расчетного метода тепловая модель камеры представляется системой тел с внутренним источником тепла. Модель описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных с определенными начальными и граничными условиями. При решении система аппроксимируется однородными разносными уравнениями, решая которые, получают значения температуры в узлах расчетной сетки, покрывающей заданное сечение камеры высокого давления. Иногда систему дифференциальных уравнений решают методом электро-аналогий. Этот подход позволяет получить картину изотерм теплового поля в камере, детальность которой определяется плотностью расчетной сетки. Однако математические сложности решения системы дифференциальных уравнений заставляют ограничивать число тел в тепловой модели. Недостаточно изученное при воздействии высокого давления и температуры изменение условий теплообмена элементов модели, их электрических и тепловых констант вынуждает при расчетах использовать значения, определенные при нормальных условиях. Эти факторы обусловливают приближенный характер получаемого распределения поля температур. Поэтому ниже представлены результаты экспериментальных исследований, полученных по непосредственным измерениям температуры при давлении 3,7—4 ГПа в камерах, схемы компоновки реакционного объема которых представлены на рис. 110. Детальность экспериментальных распределений температуры вполне достаточна для анализа условий кристаллизации алмаза. [c.333]

Отсутствие аналитических решений для нелинейных задач статики и динамики конструкций АЭУ, описываемых уравнениями (3.40) —(3.50), обусловили широкое использование численных методов, ориентированных на применение современных ЭВМ, и главным образом метода конечных элементов (МКЭ). Многочисленные задачи, возникающие в процессе проектирования АЭС, начиная от физики реакторов, гидродинамики и теплообмена и до разнообразных задач динамики конструкций, исследования их прочности и разрушения с учетом взаимодействия с физическими полями различной природы, решаются в настоящее время этим методом [45]. Однако наибольшее применение МКЭ получил в уточненных расчетах напряженных состояний, возникающих в элементах конструкции АЭУ при эксплуатационных, аварийных и сейсмических воздействиях. [c.104]

Решение этой системы уравнений — функция, описывающая поле концентраций компонентов, т. е. их распределение в пространстве и времени. Поскольку рассматриваемые уравнения — дифференциальные, для их решения должны быть заданы начальные и граничные условия. Начальные условия отражают состояние системы в момент, принятый за начало отсчета, а граничные условия определяют геометрические характеристики системы, а также условия ее взаимодействия с окружающей средой на границе раздела. При заданных начальных и граничных условиях рассматриваемая система уравнений становится определенной,так как число неизвестных равно числу уравнений. Следовательно, решить ее в принципе можно. Однако решение связано с большими математическими трудностями, поскольку эти уравнения являются нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных. Решение такой системы уравнений возможно лишь численными методами, причем трудоемкость расчетов быстро возрастает с увеличением числа компонентов. К этому следует добавить, что перенос вещества приводит к изменению физических свойств среды и для получения точных решений система дифференциальных уравнений должна быть дополнена уравнениями, описывающими зависимость физических свойств среды от состава. [c.405]

Поля, ибо оно зависит от состояния остальных электронов, которые, в свою очередь, определяются состоянием данного. Математическое рассмотрение этой ситуации (см. раздел 11.2) приводит к системе нелинейных интегродифференциальных уравнений (11.41), которые решаются совместно посредством метода итерации. Последний сводится к процедуре, в которой при решении уравнения для данного электрона состояния остальных считаются известными (например, водородоподобными). Полученное решение затем используют для уточнения состояния остальных электронов и создаваемого ими эффективного поля. После этого уравнение для данного электрона решается снова и т. д. до тех пор, пока полученное решение в пределах требуемой точности не совпадает с предыдущим такое решение называется самосогласованным. [c.20]

Наиболее точный из известных методов полного разделения координат электронов — метод Хартри — Фока [21, 31—33]. Сущность этого метода заключается в том, что каждый электрон рассматривается движущимся независимо в некотором среднем эффективном поле, созданном ядрами системы и остальными электронами. Наиболее сложным в этом методе является нахождение этого эффективного поля, ибо оно зависит от состояния остальных электронов, которые, в свою очередь, определяются состоянием данного. Математическое рассмотрение этой ситуации (см. раздел УИ1. 1) приводит к системе нелинейных интегро-дифференциальных уравнений (УП1.6), которые решаются совместно посредством метода итерации. Последний сводится,к процедуре, при которой для решения уравнения для данного электрона состояния остальных считаются известными (например, водородоподобные). Полученное решение затем используют для уточнения состояния остальных электронов и создаваемого ими эффективного поля. После этого уравнение для данного электрона решается снова и т. д. до тех пор, пока полученное решение в пределах требуемой точности не совпадает с предыдущим такое решение называется самосогласованным. [c.20]

Нахождение полей влагосодержания и (х, г/, г, т) и температуры I х, у, г, т) связано с решением системы ди( еренциальных уравнений массо- и теплопереноса при соответствующих граничных условиях, отображающих способ и режим сушки (сушка нагретыми газами, инфракрасными лучами и т. д.). Эта система уравнений является системой нелинейных дифференциальных уравнений, и ее решение возможно путем линеаризации уравнений или методами машинной техники. [c.83]

Уравнения движения парогазового пузырька в звуковом поле являются нелинейными дифференциальными уравнениями второго порядка и не решаются аналитически. Для их решения используются методы численного интегрирования, сущность которых состоит в том, что, зная начальные условия для решения уравнения и задаваясь весьма малым числовым значением приращения аргумента, можно последовательно, шаг за шагом, вычислить значения функции и ее производной. Решение уравнений — весьма трудоемкий процесс, который осуществляется с помощью электронно-вычислительных и аналоговых машин. [c.165]

Ниже мы рассмотрим три способа улучшения точности решения, полученного интегральным методом. Эти способы применимы, когда источником нелинейностей является или уравнение поля, или граничные условия, или и то и другое одновременно. Так как детальное рассмотрение этих способов привело бы к увеличению объема статьи, то мы рассмотрим их только в общих чертах. В-каждом из названных способов улучшение точности достигается решением начальной задачи, описываемой обыкновенными дифференциальными уравнениями. Для решения такого рода задач легко приспособить быстродействующие цифровые машины. [c.77]

Впервые такой подход к обобщению квазнстационар-ных методов предложил О. А. Краев [119]. При теоретическом обосновании методов измерения коэффициента температуропроводности теплоизоляционных материалов и металлов он исходил из решения нелинейного уравнения теплопроводности для неограниченного цилиндра при переменных тенлофизических коэффициентах и переменной скорости разогрева. Скорость разогрева Ь(г, т) и теплофизические параметры а 1), и t) предполагались монотонными функциями температуры. Температурные поля цилиндра /(г, т) отыскивались в виде степенных рядов по координате г с зависящими от времени коэффициентами. На основе полученного решения Краеву удалось получить расчетную формулу для определения температурной зависимости коэффициента температуропроводности материала в широком диапазоне температур. Полученная расчетная формула отличается от аналогичной формулы регулярного режима второго рода наличием поправок на нелинейность разогрева и температурную зависимость теплофизических характеристик. [c.35]

Для решения нелинейного уравнения тсилопроводно-сти используются методы интегральных подстановок [1, 150—152] последовательного приближения [124] малого параметра [122, 123, 153] отыскания температурного поля в виде разложения по степеням начальных значений неизвестной функции и ее производных [154— 156] и др. [c.61]

Задачи теплопроводности и кондуктивно-конвективного теплообмена в случае, когда теплопроводность, удельная теплоемкость и вязкость являются переменными величинами и зависят от температуры, становятся нелинейными. В уравнениях переноса дифференциальные операторы теплового восприятия нелинейны и температурные поля, как отклик системы даже при тепловых нагружениях с линейными граничными условиями, не могут быть определены по принципу суперпозиции. Это является первым и основным затруднением в разработке методов решения нелинейных задач. [c.23]

Один из методов линеаризации нелинейного уравнения (3.426) для полуограниченной одномерной среды предложен О. Вейдебургом [175]. В слагаемое уравнения (3.431), содержащее параметр р, он вводит такое значение температуры, которое соответствовало бы выражению этой температуры при р=0. Таким путем задача сводится к интегрированию линейного уравнения теплопроводности с внутренним источником, зависящим от координаты g и времени. Очевидно, этот метод позволит найти эффективное решение, если поле температуры при ip=0 выражается простой функциональной зависимостью. [c.198]

Тепловые потоки вдоль оси а определяют ход фазового превращения в области 2, которое, в свою очередь, влияет на перераспределение температур в этой области. Такое взаимное влияние и обусловливает нелинейность уравнения (3.1), которая существенно усложняет решение задачи. Если вспомнить, что вся схема нашего решения относится к начальному периоду процесса, когда идет только объемная кристаллизация, то ясно, что возникающая нелинейность задачи является малым возмущением температурного поля, обусловленного тепловым потоком через поверхность а = 0. Указанное обстоятельство позволяет решать задачу методом последовательных приближений. Задача в нулевом приближении формулируется следующим образом аГо1 . дТог д То2 [c.228]

Наконец, Ньюэлл с соавторами [67] получили уравнения фазовой диффузии и среднего дрейфа из полных уравнений Буссинеска для случая жестких изотермических границ слоя и произвольных К и Р. Их анализ по-прежнему начинается с рассмотрения стационарной пространственно-периодической системы параллельных прямых ж-валов. Решение исходных нелинейных уравнений, описывающее такое течение, строится методом Галеркина. В частности, поле скоростей выбирается в виде [c.57]

Развивается еще один метод анализа задач нестационарной теплопроводности для полубезграничных тел, основанный на понятии дробной производной [10]. Этот оригинальный метод позволяет теоретически находить потоки теплоты внутрь полубезграничного тела без предварительного решения задачи о нахождении нестационарного температурного поля внутри тела. При этом рассмотрение уравнения (4.1.2.3) нестационарной теплопроводности в частных производных оказывается возможным заменить более простым анализом граничного соотношения, представляющего собой обыкновенное дифференциальное уравнение с дробными производными по времени. За счет относительно более простого анализа условий на границе тела класс решаемых задач может быть расширен вплоть до некоторых типов нелинейных условий на границе тела с окружающей средой. [c.234]

Последние годы характеризуются интенсивным развитием напр авлений, связанных с применением современных математических методов в различных областях науки о химической технологии. Этот процесс математизации науки имеет два аспекта. Один из них заключается в том, что построение и исследование математических моделей химической технологии открывает математикам обширное поле деятельности, позволяющее им демонстрировать эффективность весьма тонких и изящных методов современного анализа. С другой стороны, стремление добиться наибольшей общности математического описания тех или иных процессов приводит к необходимости численного решения на ЭВМ систем нелинейных дифференциальных уравнений, разнородных по своей структуре, что порой затрудняет применение математических методов в иженерной практике при проектировании химических производстз. Пе является исключением в этом плане и раздел химической технологии, посвященный изучению кристаллизации в дисперсных системах. Добиться более широкого применения математических методов в инженерной практике возможно за счет разработки моделей, основанных на самых общих предпосылках, не требующих применения сложных вычислительных методов, допускающих простую физическую интерпретацию, и создания на их основе автоматизированных систем проектирования. Настоящая книга, как надеются авторы, в какой-то мере восполнит этот пробел. [c.6]

Обычно параметры (аКв) и а следует считать независимыми при асимптотическом анализе неустойчивости, что мы и будем полагать в дальнейшем. Однако для длинноволновых колебаний, соответствующих кривой нейтральной устойчивости, эти параметры зависимы, и можно осуществить асимптотический метод ностроени [ решения уравнения Орра — Зоммерфельда, основанный на одно , малом параметре (см,, например, [92—94]). Ясно, что на кривой нейтральной устойчивости оба метода эквивалентны, если в выражениях, полученных Первым методом, нрои.чвести перера,зложенио по единому параметру второго метода. Но первый метод более общий, мы будем поль. юваться им и при анализе задач с нелинейным критическим слоем (см. гл. 9). [c.79]

В 1971 г. В.К. Захаров и Л.Д. Фаддеев предложили гамильтонову интерпретацию метода обратной задачи теории рассеяния в применении к уравнению КдВ, что открывало новые возможности в теории злементарных частиц. Так, например, переход к переменным угол - действие дал возможность более строго поставить задачу об эдеиентарных частицах как о солитонах в нелинейной квантовой теории поля [2]. Квазиклассический подход к решению этой задачи описав в обзоре [3]. Задача о квантовании солитонов подробно разбирается в обзоре [Ц-1. Применение солитонных концепций в физике элементарных частиц обсуждается также и в обзоре [52, где, кроме того, много говорится и о роли солитонов в физике плазмы. Важные в методическом отношении вопросы теории солитонов обсуждены в вышедших недавно специальных сборниках Еб - З]. [c.6]

Более сложное пламя. Описанные выше пламена для решения пpoб. eм расчета представляют собой лишь тренировочные упражнения по решению систем нелинейных параболических дифференциальных уравнений. Эти уравнения легко решаются методом прогонки по полю течения в направлении потока. Такое интегрирование П утем последовательных смещений допустимо, потому что обратное течение отсутствует. Пламя для этого случая соответствует первой строке табл. 8. [c.31]