Кернера уравнение

Рис. 4.5. Зависимость термического коэффициента объемного расширения от объемной доли наполнителя, рассчитанная по правилу аддитивности (/) уравнениям Квея (2), Кернера < ) и Тернера 4).

Рис. 12.30. Сравнение экспериментального и рассчитанного значений коэффициента теплопроводности полимеров, наполненных стеклянными сферами [верхние кривые относятся к полиэтилену, нижние — к полистиролу за исключением графика уравнения Кернера (.....), кривые и экспериментальные результаты взяты из работы [899] ( — -) уравнение Максвелла ( — ) уравнение Ченга — Вахона (---) уравнение Беренса и Петерсона — Германса].

Рис. 12.31. Коэффициент теплового расширения композиций с порошкообразным наполнителем, предсказанный в соответствии с идеальным правилом смесей (/), уравнением Кернера (2), уравнением Томаса (3) и уравнением Тернера (4) [677].

В работе Кернера [290] теоретически было выведено уравнение Е >/[(7 - 5у) р -К8 - 10у) р ] -Ь (1 - Ф)/[15 (1 - у)] [c.160]

Однако при использовании уравнения Кернера необходимо учитывать [293], что вследствие взаимодействия на границе раздела фаз часть полимера связывается наполнителем, в результате чего [c.161]

С учетом этого уравнение Кернера может быть преобразовано путем введения величины Фе = ФВ (где В — параметр, характеризующий взаимодействие частиц наполнителя и полимера). При V == 0,5 и Jf > Ец уравнение приобретает вид [c.162]

Но тогда получается, что толщина связанного слоя уменьшается, когда уменьшается толщина прослойки между частицами, чему трудно найти разумное объяснение. Существование зависимости В от Ф не позволяет использовать модифицированное уравнение Кернера. (IV. 14), в котором такая зависимость не учитывается. Типичные экспериментальные кривые приведены на рис. IV. 10. [c.162]

Интересное наблюдение было сделано в работе [295], в которой было установлено, что уравнение Кернера недостаточно надежно для сложной системы стеклообразный полимер — каучукоподобный наполнитель — стеклянные шарики. В этом случае лучшие результаты можно получить, если рассматривать композицию как единую среду стеклообразный полимер — каучук, в которой диспергированы стеклянные шарики. При этом сначала рассчитывается модуль упругости среды как системы, наполненной полимерным наполнителем, а затем уже рассчитанное значение применяется для вычисления модуля композиционного материала. [c.163]

При справедливости этого уравнения для описания вязкости наполненных систем может быть использовано уравнение Кернера, дающее отношение модулей упругости при сдвиге в наполненной и ненаполненной системах и позволяющее, таким образом, найти соответствующие уравнения для т)/т)о- [c.184]

Для правильного описания результатов эксперимента приходится задаваться значениями Vм, меняющимися от 0,2 до 0,5. Для модельных систем (дисперсия акрилатного латекса в ПММА и т. п.), структура которых была оценена методом электронной микроскопии, проводились расчеты зависимости модуля упругости от состава по уравнению Кернера. Установлено, что в ряде случаев оказывается необходимым введение в теоретические уравнения не истинной, а эффективной доли объемной дисперсной фазы с учетом зависимости этой величины от температуры. При этом важную роль играет эффект инверсии фаз, который может приводить к изменению хода температурной зависимости механических потерь. Использование модельных представлений может быть положено также в основу рассмотрения влияния морфологии на свойства полимерных композиций, если под морфологией понимать характер распределения частиц наполнителя и их размеров в фазе полимера-матрицы [440]. [c.227]

Рис. 12.2. Зависимость относительного модуля Ос/Ор (композиция/полимер) от объемной доли наполнителя Чг в соответствии с исходным уравнением Кернера (/), модифицированным уравнением Кернера (2) и уравнением Муни (3) [точки — экспериментальные результаты, кривые рассчитаны для V = 0,35, Gf/Gp = 0,25 (отношение модулей наполнителя и полимера) и Фт = 0,64].

Разумеется, такое простое соотношение между Т и дает лишь ориентировочные результаты поэтому в литературе был предложен ряд зависимостей, являющихся уточнением (1.45). Кернер [277] с этой целью рекомендовал уравнение [c.18]

В последние годы достигнут значительный прогресс в изучении неоднородных пространственных структур в реагирующих двухкомпонентных системах общего вида при условии, что скорость диффузии одной из компонент значительно превышает скорость диффузии второй. В статьях Кернера и Осипова (см. [37, 38] и более ранние работы, цитированные в [37]) детально изучены возможные типы диссипативных структур и их устойчивость для моделей, относящихся к классу, описываемому уравнениями [c.153]

Ческих выражений [473 367 41, гл. 5], Наиболее часто используется уравнение Кернера [473], характеризующее изменение модуля для включений сферической формы, располагающихся в непрерывной фазе с различными видоизменениями [224] уравнение Кернера применяется к полимерным смесям и привитым сополимерам. Подробное приложение этих уравнений к сложным системам рассмотрено в разд. 12.11 в заключение предлагаем читателю несколько новых работ и обзоров, посвященных полимерным смесям и композитам [145, 150, 216, 355, 441, 447, 682, 822, 903, 997]. [c.72]

Рис. 12.1. Зависимость отношения модулей сдвига от концентрации наполнителя при отношении модулей сдвига наполнителя и матрицы в пределах от 10 до 100 в соответствии с уравнением Кернера [473] (нижние кривые обеих петель соответствуют случаю, когда более жесткий наполнитель представляет дисперсную фазу, а верхние — когда более жесткий материал является непрерывной фазой самая верхняя кривая представляет собой зависимость модуля упругости Юнга материала, наполненного очень длинными, ориентированными в направлении приложенной растягивающей нагрузки волокнами [677] )

Дополнительные данные, подтверждающие справедливость (в хорошем приближении) уравнения типа Кернера — в этом случае немодифицированного уравнения Кернера— в применении к жестким полимерным матрицам, наполненным твердыми частицами (вплоть до объемной доли наполнителя 0,5), получены в работах [470, 427, 636, 637, 571, 181, 119]. [c.313]

В некоторых случаях требуется модификация основного уравнения. Так, модификация, предложенная Нильсеном [683], оказалась полезной в случае эпоксидной смолы, наполненной стеклянными шариками [542, 687], и сополимера стирола с акрилонитрилом [658, наполненного стеклянными шариками, при температурах, близких к температуре стеклования. Сравнение уравнений Муни, Кернера и модифицированного уравнения Кернера дано на рис 12.2 [542]. Чтобы проверить предсказание значений динамических модулей и изучить механические потери в полимерах, напол- [c.313]

В высокоэластической области модуль также возрастает в присутствии наполнителя. Например, в работе [565] сообщается об увеличении как модуля упругости Е, так и модуля потерь Е" в зависимости от содержания наполнителя в системе каучук — карбонат кальция. Однако уравнение Кернера и родственные ему уравнения не годятся для количественного предсказания модулей в высокоэластическом состоянии. [c.315]

Еще одно выражение, которое дает результаты, очень сходные с уравнением (12.45), основано на приближенном решении, полученном Петерсоном и Германсом [725] (Кернер [472]) для диэлектрической проницаемости двухкомпонентных систем. Его можно представить в следующем виде [c.351]

Как было отмечено выше, уравнение в этой форме соответствует верхнему пределу модуля упругости композиции. Таким образом, порошкообразные наполнители обычно приводят к значениям модулей, соответствующих нижнему пределу, предсказываемому соотношениями типа соотношения Кернера [473], в то время как длинные ориентированные волокна обеспечивают значения модулей, соответствующих верхнему пределу. Композиции, содержащие короткие беспорядочно ориентированные волокна, имеют промежуточные свойства, но, как отмечено Броди и Уордом [123], их модули зависят от модуля полимера и имеют значения, располо- [c.363]

Тщательное изучение литературы (в сочетании, конечно, с экспериментальными исследованиями [572]) показывает, что как мелкие, так и крупные частицы наполнителя могут существенно изменять такие свойства полимерной матрицы, как сорбция, проницаемость, релаксационные свойства (температура стеклования Те и механические потери Е" или 1 6). Это не относится к модулю упругости, возрастание которого предсказывается уравнением типа уравнения Кернера (12.3). Существующие исключения, а также противоречивые экспериментальные результаты не могут служить основанием для отрицания взаимодействия наполнителя с матрицей, а должны стимулировать дальнейшие исследования в этой области. Ниже рассматриваются наиболее типичные доказательства. [c.373]

Тернера, а верхнему — уравнения Квея и Кернера. Можно предположить, что для реальных систем, наполненных несферическими наполнителями, значения а будут лежать в промежуточной области. [c.96]

Рис. 3.2. Зависимость модулей упругости гетерогенных композиций от их состава для (31/62= = 10- (а) и 01/02=1,67-103 (б). Сплошные кривые рассчитаны по (3.3) или простой последовательной и параллельной моделям соответственно. Пунктирные кривые рассчитаны по (3.5), выведенному без наложения каких-либо ограничений на морфологию композиций. Эти кривые точно соответствуют уравнению Кернера для системы сферических частиц в непрерывной матрице, причем верхний предел соответствует матрице с более высоким модулем упругости, нижний — с более низким.

И], а некоторые производные уравнений (3.8, 3.9) несколько позднее — Будянским [13]. Кернер [14] в своих расчетах использовал несколько иные представления о структуре гетерогенной композиции. Средняя или типичная частица наполнителя сферической формы окружена оболочкой материала матрицы. Эта оболочка контактирует со средой, имеющей упругие свойства гетерогенной композиции, через промежуточную зону (рис. 3.3,6). Образованная сферическая структура подвергается однородному гидростатическому давлению. Средняя объемная деформация и среднее объемное напряжение фактически равны соответствующим величинам для гомогенного тела с упругими константами композиции (под средним значением любой величины подразумевается интеграл этой величины по соответствующей области, деленный на объем этой области). В комбинации с обычными граничными условиями для перемещений и напряжений на границе раздела сферического включения и матрицы эти допущения приводят к выражению для Кс [c.155]

На рис. 4.5 приведены зависимости а от иг, полученные из этих выражений. Эти выражения были проверены разными авторами только для небольших значений [3,52—58]. Уравнения Квея и Кернера хорошо описывают характеристики материалов, наполненных сферическими частицами, а уравнение Тернера больше подходит для композиций с пластинками и волокнами. В работе [52] показано, что в зависимости от структуры наполнителя существует верхний и нижний пределы области изменения а, причем нижнему пределу соответствует уравнение [c.95]

Из рассмотренных выше зависимостей относительного модуля (отношения Еа/Еа) ОТ содержания наполнителя следует, что, хотя Еа и Еп зависят от температуры, относительный модуль должен быть почти независимым от температуры, несмотря на то, что теория Кернера предсказывает его слабое возрастание из-за увеличения с температурой коэффициента Пуассона. Согласно Нилсену [292, 302], зависимость отношения EJEa от температуры может быть связана с изменением модуля упругости матрицы в наполненной системе по сравнению с ненаполненной. Известно, что вокруг частицы наполнителя в изотропной среде развиваются напряжения из-за различий в температурных коэффициентах расширения двух фаз при охлаждении материала после формования. Так как для полимеров характерна нелинейная зависимость напряжения от деформации, то модуль упругости уменьшается с напряжением. В результате модуль упругости полимера, находящегося вблизи частицы наполнителя, меньше, чем ненаполненного поли.мера, даже если общий модуль композиции выше. Величина напряжений в полимере вокруг частицы наполнителя уменьшается с ростом температуры, а модуль соответственно возрастает. Теоретическое уравнение для температурной зависимости относительного модуля может быть представлено в виде [c.165]

О—ПВПС 1-го рода —обычные ВПС /—уравнение Кернера (верхний предел) 2—уравне Ние Дэвиса 3—уравнение Кернера (нижний предел). [c.232]

Я— Д—ПВПС 2-го рода / — уравнение Кернера (верхний предел) 2—уравнение Дэвиса О. уравнение Кернера (нижний предел) [c.232]

При определенных условиях это уравнение приблизительно эквивалентно соотношению Кернера [473] для нижнего предела. Во всяком случае константа А эмпирически учитывает тот факт, что верхнее предельное значение модуля в таких системах не найдено. Хотя часто наблюдаются несоответствия между экспериментальными результатами и теоретическим предсказанием на основе некоторых уравнений, в определенных случаях существует и вполне удовлетворительное согласие. Например, в работе [974] было показано, что значения модуля Юнга для полифениленоксида, наполненного стеклянными шариками, приблизительно подчиняются уравнению Ван дер Пола [956]. По крайней мере в области исследованных концентраций (вплоть до объемной доли наполнителя 0,25), уравнение Ван дер Пола примерно эквивалентно уравнению Кернера [938]. Подобное согласие наблюдали ранее Шварцль и др. [810] для наполненного полипропиленоксида в стеклообразном состоянии. Интересно отметить [119, 938], что обработка стекла силановым аппретом , улучшающим адгезию, не оказывает существенного влияния на модуль. Было предположено, что остаточные напряжения сжатия могут маскировать недостаточную адгезию в системе с необработанным наполнителем. В противоположность этому было сообщено о положительном влиянии силанов на модуль упругости при изгибе сложных материалов на основе эпоксидной смолы, содержащих малые стеклянные сферы [984], и эпоксидных смол, наполненных стеклянными шариками или порошками [984]. Расхождения такого типа часто встречаются при исследовании наполненных систем однако дать им точное объяснение затруднительно [677]. [c.312]

Как следует из рис. 12.7 и 12.8, соотношения Кернера [473] и Эйлерса [249] для Е предсказывают уменьшение прочности при растяжении и ударной прочности в области низких концентраций наполнителя. При более высоком содержании наполнителя оба уравнения предсказывают тенденцию к возрастанию прочности при растяжении, компенсируя в некоторой степени ее начальное уменьшение. Ударная прочность в соответствии с уравнением Эйлерса также возрастает после начального уменьшения. Однако уравнение Кернера предсказывает только уменьшение ударной прочности. Такое сложное изменение прочности при растяжении и ударной прочности является следствием комбинации двух факторов увеличения Е с ростом концентрации наполнителя и одновременного уменьшения ев. [c.324]

Хотя рассмотренные выражения для коэффициента теплопроводности, по-видимому, весьма различны, фактически все они довольно хорошо согласуются друг с другом. Проверяя уравнения (12.44) — (12.47) Сандстрем и Чен [899] нашли, что уравнение Ченга —Вахона (12.47) соответствует экспериментальным данным несколько больше, чем другие уравнения, по крайней мере до значений = 0,4 (рис. 12.30). Для сравнения на этом рисунке приведена соответствующая кривая, рассчитанная по уравнению Кернера (12.43) для полиэтилена видно, что она располагается несколько ниже остальных. Следует отметить относительную независимость коэффициента теплопроводности от размера и формы частиц при условии, что < 100. [c.352]

Это уравнение показывает, что простое аддитивное соотношение (ас = UfVf -f- apVp) выполняется только в том случае, когда kf = kp при несовпадении kj и kp могут наблюдаться значительные отклонения, достигающие максимума при Vp = Vf = 0,5. Уравнение, первоначально предложенное Кернером, может быть легко распространено на большее число дополнительных фаз. [c.353]

Сравнительно недавно Манабэ и др. [567] провели проверку уравнения (12.49). Ими определен коэффициент теплового расширения нескольких смесей эмульсий полимеров, в том числе полибутадиена, диспергированного в полистироле, и сополимера стирола с бутадиеном, диспергированного в полиметилметакрилате. В этих системах наполнитель , или дисперсная фаза, имеет более низкий модуль, чем матрица однако это не оказывает влияния на аргумент. Как показано на рис. 12.32 и 12.33, экспериментальные результаты для коэффициентов расширения в стеклообразном состоянии для обеих упомянутых систем хорошо совпадают с рассчитанными по уравнению (12.49), которое эквивалентно уравнению Кернера (12.48). В то же время эти результаты, очевидно, не согласуются с линейным соотношением, полученным на основе аддитивности объемов. Следует мимоходом отметить, что закон линейной аддитивности очень сходен с уравнениями (12.48) и (12.49), которые объясняют возможность инверсии фаз (т. е. когда фаза с меньшей концентрацией становится непрерывной) относительно морфологии в области инверсии (см. разд. 1) [c.354]

Шапери связал свои уравнения с другими типичными выражениями. Так, можно показать, что использование уравнения Кернера (12.4), которое соответствует нижнему пределу модуля, в то же время дает верхний предел с. Сравнение нескольких соотношений дано на рис. 12.34 ( и/З = а). [c.356]

При условии, что оболочка из материала матрицы исчезает, т. е. она заменяется композицией, значения Р], К, 01 и ( 1 в уравнениях (3.11) и (3.12) заменяются на соответствующие показатели свойств композиции. Получающиеся выражения точно совпадают с уравнениями (3.8) и (3.9), т. е. расчеты по моделям Будянского — Хилла и Кернера при этом аналогичны. [c.155]

Физическая химия наполненных полимеров (1977) -- [ c.160 , c.163 , c.184 , c.226 , c.227 ]

Полимерные смеси и композиты (1979) -- [ c.72 , c.311 , c.313 , c.314 , c.350 , c.353 , c.383 ]

Промышленные полимерные композиционные материалы (1980) -- [ c.256 ]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология