Задача Фазовая плоскость

Задача Фазовая плоскость [c.318]

В предыдущем разделе было пояснено определение устойчивости, причем расположение траекторий на фазовой плоскости предполагалось известным. Однако подход инженера прямо противоположен он пытается узнать, устойчива система или нет еще до того, как решены дифференциальные уравнения модели. Иными словами, задача заключается в том, чтобы найти прямой метод исследования, позволяющий определить устойчива или неустойчива система, не прибегая к построению всех траекторий на фазовой плоскости. [c.73]

В задаче с двумя пространственными измерениями неравенство (V, 39) представляет область на фазовой плоскости Xj). Она схематично показана затемненной частью рис. V-16, где представлено также семейство окружностей х е, соответствующее евклидовой норме изучаемой функции. [c.108]

Решение этого уравнения определяют интегральные кривые, т.е. такие кривые на фазовой плоскости (задача — двумерная), наклон касательных в каждой точке которых задается уравнением (8.140). В точках, для координат которых имеют место равенства (8.139), уравнение (8.140) теряет смысл. Напомним еще раз, что эти точки называются особыми точками уравнения (8.140). Выражения х = х , у = у дают одно из решений системы (8.138). Геометрическое место точек фазовой плоскости, в которых правая часть уравнения (8.140) имеет постоянное значение, представляет собой изоклину интегральных кривых этого уравнения. Кривая [c.232]

Решение. В рассматриваемом случае размерность решаемой задачи равна двум и для наглядного изображения процесса решения можно воспользоваться фазовой плоскостью переменных Xi и Хг. [c.409]

Несмотря на общность определения состояния системы в фазовом пространстве, возможности использования его для исследования систем практически ограничены значением п = 3, а наибольшее распространение получили случаи при п = 2, т. е. задачи, которые решаются с помощью фазовой плоскости или многолистной фазовой поверхности. При этом обычно рассматриваются автономные системы, а также системы с гармоническим входным воздействием. [c.185]

С целью дальнейшего анализа задачи необходимо обратиться к некоторым вопросам теории хаотических колебаний. При математическом исследовании динамических систем отображением называют временную выборку данных л (т1),д (т2),..., д-(т ),. ..,х(т у) , для которой вводят обозначение х = х х ). Простое детерминированное отображение имеет вид =/(х ). Понятие отображение обобщается и на большее число переменных, в частности на две. При хаотичном движении частицы, отображенном в фазовой плоскости [л (т), л (т)], траектория стремится заполнить некоторую область фазового пространства. Если фиксировать ее динамические характеристики только в отдельные моменты времени, то движение будет представлено последовательностью точек фазовой плоскости. Если х = х(х ) VI у = х(т ), то эта последовательность точек фазового пространства представляет собой двумерное отображение х =/(х , у ), у +у = ф , у ). [c.681]

Решения этого уравнения представляют собой интегральные кривые системы (Х,1) на плоскости X, У, которая называется фазовой плоскостью. Можно воспользоваться механической аналогией и рассматривать независимую переменную I как время, а изменение величин X и У со временем как движение по фазовой плоскости. Таким образом, вопрос сводится к задаче об устойчивости движения, исследованной в классических трудах А. М. Ляпунова. Положениями равновесия являются точки фазовой плоскости, удовлетворяющие условию [c.432]

Таким образом, задача изучения статических и динамических свойств рассматриваемого процесса сводится к изучению влияния входных потоков на статические свойства и характер особой точки Oi на фазовой плоскости [X, X]. [c.320]

Изучение разнообразных асимптотических типов течений вблизи центра Лаваля было проведено О.С. Рыжовым и Ю.Б. Лифшицем [84] путем решения задачи Коши (12). Автомодельные решения (13), (14) изучались в фазовой плоскости Гф (и в плоскости годографа). Первый путь оказалось возможным развить и на осесимметричные течения. [c.63]

В разд. 1.7 был изложен метод фазовой плоскости решения этой задачи. Изотермы были представлены в виде [c.170]

Если теперь вывести систему из состояния равновесия, то изображающая точка сместится из особой точки и начнет двигаться по фазовой плоскости в соответствии с уравнениями ее движения (1.3.5). Устойчива ли рассматриваемая особая точка, определяет соответственно то, уйдет или нет изображающая точка из некоторой данной области, окружающей особую точку (эта область может быть большей или меньшей в зависимости от условий задачи) (рис. 1.6). [c.30]

Перейдем теперь от исследования движений вблизи отдельной особой точки к построению траекторий системы на всей фазовой плоскости или в некоторой ее области, ограниченной условиями задачи (например, в положительном квадранте). При этом мы не будем рассматривать все возможные виды фазовых траекторий, а ограничимся теми, которые будут особенно часто встречаться в наших моделях. [c.12]

Можно рассмотреть аналогичную задачу для немного более сложного случая (рис. 33) упругий мячик движется вертикально под действием силы тяжести, отскакивая от горизонтального стола, причем ускорение тяжести (параметр) медленно меняется. Здесь график зависимости координаты от времени и траектория на фазовой плоскости имеют вид, показанный соответственно на рис. 34, а и б. Применяя теорему вириала, мы найдем также и здесь, что [c.116]

Макроскопическое состояние системы будем определять заданием параметра X (X может означать и набор параметров так, в задаче о распределении частиц по объему это набор чисел N1.....частиц, находящихся, соответственно, в объемах Ух, У внутри сосуда). Параметр X зависит от координат и импульсов частиц, причем функция X (р, д) такова, что данному значению X удовлетворяет множество значений р и д и в фазовом пространстве заданному значению X отвечает не точка, а область. Рассмотрим для примера простейший вариант задачи о распределении частиц распределение двух частиц в направлении оси х между двумя половинами сосуда (рис. 12, а). Положение стенок сосуда фиксировано координатами л = О и X = I. Подпространство координат Хг и Х2 двух частиц представляет плоскость область допустимых состояний в этом фазовом подпространстве — квадрат со стороной I (рис. 12, б). Макросостояние определяем заданием чисел частиц и в каждой из половинок сосуда (Л 1 = 2). Возможны следующие макросостояния системы [c.63]

На рис. 10.4 было показано, что знание энергии Гиббса для фаз многокомпонентной системы дает возможность установить фазовую диаграмму системы. Принципиально это возможно сделать, если распространить на многокомпонентные системы способы, разработанные для двойных систем. Однако, если построение общей касательной к двум кривым не вызывает трудностей, то построить касательную плоскость к двум поверхностям тройной системы намного сложнее, и с увеличением числа компонентов задача серьезно усложнится. Аналитического решения в общем виде не существует, поэтому разрабатываются разные численные методы решения подобных задач на ЭВМ. [c.260]

Такая запись позволяет говорить о том, что при прохождении сквозь одну атомную плоскость в первичном пучке происходит изменение фазы на —д. При прохождении через г-плоскостей фазовый угол составит —гд. Таким образом задача определения амплитуды дифрагированных лучей сводится к суммированию амплитуд лучей, отраженных от всей совокупности плоскостей с учетом коэффициента отражения отдельных плоскостей и коэффициента прохождения, действие которого в нашем рассмотрении сведено к изменению фазы при каждом акте отражения. [c.491]

Расчет интенсивности рефлекса hkl данной кристаллической сложной решетки может осуш,ествляться двумя путями. Если решетка образована одинаковыми атомами Ai, А и т. п., то задача является сравнительно простой. Если атомы А , А и др. лежат в данной плоскости hkt), рефлекс усиливается пропорционально кратности атомов исходной подрешетки А и внедрившихся А . Если же возникают разные параллельные плоскости hkt) этих подрешеток, то задача сводится часто к определению фазового угла ф. Если он равен 2л, рефлексы разных подрешеток совпадают по фазе и суммарный рефлекс является интенсивным. Если он равен л, Зл и т. п., рефлексы расходятся на полволны и происходит полное погасание. Если в решетку входят разные атомы (и в других случаях), расчет осуществляется на основе вышеприведенных уравнений. [c.207]

Не останавливаясь на конкретных реакциях, здесь мы коснемся только одного из получивших в последнее время распространение методов, при котором иск.пючается время из кинетических уравнений и находятся стабильные решения задачи на основе разработанной Ляпуновым теории устойчивости. В простейшем случае двух переменных х ш у (например, двух активных центров или одного активного центра и температуры) из кинетических уравнений dx/dt = Ф,с х, у) и dy/dt = Фу (х, у) (х и у — концентрации или концентрация и температура) получим уравнение dxfdy = / х, у), которое может быть отображено на плоскости (фазовая плоскость или диаграмма) и проанализировано (по Ляпунову) с целью нахождения особых точек, определяющих условия стаби.тгьности системы (см. [136], глава X). Таким путем могут быть получены пределы воспламенения, в частности пределы, обусловленные одновременным действием цепного и теплового факторов (объединенная теория цепного и теплового воспламенения), режим химических колебаний и др. [c.219]

При решении задач динамики и регулировгния гидро- и пневмосистем наибольшее применение получили методы фазовой плоскости и гармонической линеаризации, поэтому в основном будут рассмотрены эти два метода. Прямой метод Ляпунова пока использовали при исследовании устойчивости определенного класса гидроприводов [401. [c.175]

Решение задачи о наличии предельных циклов в исследуемой системе иногда может привести к значительным трудностям. Однако предельный цикл всегда можно определить построением фазовых траекторий в соо-гветствующей области фазовой плоскости. Фазовая траектория в виде расходящейся от особой точки спирали будет стремиться к устойчивому предельному циклу изнутри, а с наружной стороны к нему будет приближаться фазовая траектория в виде навивающейся спирали (рис. 6.10, а). При неустойчивом предельном цикле фазовые траектории сматываются с него как с внутренней стороны, так и с наружной (рис. 6.10, б). Такой предельный цикл, как любое неустойчивое движение, не может существовать в реальной системе. [c.183]

В литературе имеется ряд расчетов колебаний в гомогенном реакторе идеального смешения. Наиболее полное исследование для реакции первого порядка провели Сальников и Вольтер [19]. В их статье можно найти также ссылки на предшествующую литературу. Сальников и Вольтер пользовались безразмерными уравнениями в виде (X, 45). Методами качественной теории дифференциальных уравнений они определили ход интегральных кривых и расположение предельных циклов на фазовой плоскости в переменных X, и (в наших обозначениях). Амплитуда автоколебаний не находилась, так что полученные результаты не позволяют провести разграничение между тривиально-релаксацион ными и кинетическими автоколебаниями. Как мы видели, в переменных X, и это и вообще затруднительно. Для полного решения задачи об относительной амплитуде и характере автоколебаний [c.464]

Для большего числа компонентов задача отыскания волнового решения более сложна, поскольку неизбежно сталкивается с проблемой решения системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. При этом может быть использован метод фазовой плоскости, который изложим па примере отыскания волнового решения для двухкомпонентной системы при внешнедиффузионном механизме кинетики. [c.48]

Метод фазовой плоскости. Для случая, когда распределительные отношения не равны, реализуется двухволновый режим (см. 1.48). Для первой волны задача сводится к однокомпонентной, и ее решение рассмотрено выше. Для второй волны рассматривается решение, зависящее от волновой переменной = а — ы)1, где т — скорость фронта. При переходе к волновой переменной получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений [c.48]

Задача исследования устойчивости стационарных режимов химических реакторов впервые поставлена Ван Хирденом [5]. Общие условия устойчивости реакторов идеального смешения выведеша Билоусом и Амундсоном [6], В работах Ариса и Амундсона [7] было проведено подробное исследование поведения нестационарных решений в окрестности стационарного реяшма. Ряд последующих публикаций [8] касался, в основном, конкретизации основных результатов. Траектории решений в фазовой плоскости исследованы Вольтером и Сальниковым [9]. Ряд более поздних работ [10], опирающихся на новейшие математические методы [4], был посвящен анализу устойчивости реакторов идеального смешения к сильным возмущениям. [c.325]

Цилиндрические фазовые объекты с осесимметричным распределением показателей преломления являются не столь важными, как двумерные, но также достаточно щироко распространены. Особенно часто цилиндрические объекты встречаются в приложениях оптических методов к газодинамическим задачам и при исследованиях пламен. Чтобы упростить расчеты, иредноложим, что параллельные измерительные лучи входят в модель перпендикулярно ее оси симметрии и проходят через фазовый объект без отклонений. Это справедливо для малых объектов или объектов, не имеющих больших местных градиентов показателя преломления. Такие условия свойственны фокусировке на плоскость симметрии, проходящей через ось модели Рт на фиг. 59). [c.148]

При наличии сильной ориентации в образце следует снимать текстуррентгенограммы, фотометрировать их возможно большеё число раз по направлениям от центра рентгенограммы (первичного пучка) по радиусам через равные угловые интервалы в плоскости рентгенограммы и затем рассчитывать интенсивности по микрофотометрическим кривым. Это намного усложняет и удлиняет процедуру оценки фазового состава полимера и вовлекает, кроме того, дополнительные источники возможных ошибок, например, при расчетах истинных плотностей почернения разных участков рентгенограммы (см. гл. 111). Поэтому, ставя перед собой задачу определения рентгеновской степени кристалличности, например, волокна или высокоориентированной экструзионной пленки и пользуясь только фотографическим методом регистрации излучения, практически легче искусственно сделать эти образцы неориентированными мелко измельчить и приготовить холоднопрессованную таблетку из крошек образца или складывать тонкую пленку в несколько повернутых по отношению друг к другу слоев.. [c.27]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология