Волновое разделение переменных

Рассмотрим систему, у которой оператор Гамильтона не зависит явно от времени. В этом случае волновое уравнение Шредингера (14) допускает разделение переменных [c.51]

Общая энергия Е в волновом уравнении состоит из двух частей энергии трансляционного движения атома как целого и энергии электрона по отношению к протону. Интересной является именно последняя составляющая энергии. И опять возникает проблема разделения переменных. Для того чтобы получить желаемое уравнение, необходимо выделить и отбросить трансляционную составляющую общего волнового уравнения. Чтобы осуществить такое разделение, необходимо ввести новую систему переменных — х, у и Z, которые являются декартовыми координатами центра массы атома водорода, н переменных л, 9 и ф, которые являются полярными координатами электрона по отношению к ядру. Координаты центра массы системы в общем случае задаются уравнением [c.59]

Волновая функция Ч " является функцией переменных х, у, г, / , и ф, и энергия Е содержит как трансляционную энергию атома, так и энергию электрона по отношению к протону. Целью преобразования в новые координаты является возможность разделения переменных. В принципе, это разделение производится тем же способом, как и в описании поведения частицы в ящике. Однако в этом случае алгебраические преобразования несколько более сложны. Как обычно, можно предположить, что общая волновая функция ( /2/-0ф) выражена произведением двух волновых функций, например [c.61]

Метод изучения многоэлектронного атома уже обсуждался на стр. 28. Мы должны записать соответствующее волновое уравнение и затем решить его. Записать это уравнение легко (ом. гл. 3), но точно решить его, подобно тому как это было сделано для атома водорода, содержащего только один электрон, совершенно невозможно. Основная трудность заключается в том, что каждый электрон взаимодействует по кулоновскому закону со всеми остальными электронами поэтому движение любого выбранного электрона зависит от движения всех других электронов. Именно невозможность разделения переменных в уравнении Шредингера составляет основное затруднение в решении проблемы, но в то же самое время позволяет найти некоторый выход. [c.43]

Цель перехода к новым координатам — возможность разделения переменных. В принципе это разделение производится тем же способом, как и в описании поведения частицы в ящике. Однако в этом случае алгебраические преобразования более сложны. Как обычно, можно предположить, что общая волновая функция Ч (жг/гг ф) выражена произведением двух волновых функций, например [c.55]

Поскольку нас интересует только вторая часть общего волнового уравнения, трансляционную часть рассматривать не будем. Итак, мы имеем необходимое волновое уравнение для электрона по отношению к ядру. Это уравнение является дифференциальным уравнением с частными производными второго порядка, и для его решения следует применить стандартный метод, уже использованный нами ранее. Это потребует разделения переменных таким образом, чтобы получить три независимых уравнения, каждое из которых будет содержать только одну переменную. [c.56]

Волновое уравнение для электрона в центрально-сим-метричном поле представляется в сферических координатах и решается методом разделения переменных г, 9, ф. Установлено, что уравнение для радиальной части имеет сферически симметричные решения, которые не зависят от конкретного вида потенциала V (г). Оно разрешимо при условии целочисленных значений главного квантового числа п. Два других уравнения, характеризующих сферическую часть, разрешимы при целочисленных значениях I и т, которые соответственно называются азимутальным (орбитальным) и магнитным квантовыми числами. Для характеристики направления спина электрона вводят четвертое квантовое число = 1/2. Названные квантовые числа принимают значения [c.6]

Начнем с рассмотрения электронных состояний атома водорода. Заметим, что задача эта представляет собой пример одной из немногих квантовомеханических задач, имеющих точное аналитическое решение, что обусловлено возможностью разделения переменных в сферической системе координат (г, 0, ф). Иными словами, волновая функция (или АО-здесь эти понятия совпадают) /(г, 0, ф), описывающая движение единственного электрона водородного атома, может быть представлена в виде произведения [c.77]

Очевидно, что выражения (Б-6), (Б-9а) и (Б-96) не могут удовлетворить этим условиям, поэтому метод разделения переменных, использующий волновое уравнение в декартовых координатах, не может быть применен к этой задаче. Однако естественно применить этот метод к волновому уравнению в полярных координатах. Поэтому сначала мы предполагаем, что решение имеет вид [c.59]

Уравнение (6) совершенно аналогично классическим уравнениям, волнового движения, применяемым в гидродинамике и электромагнитной теории. Оно содержит функцию, зависящую от пространственных координат и от времени, но эти переменные можно разделить, так же как и в уравнении (7). Поскольку х и / — независимые переменные, то левая часть уравнения (7), содержащая только функцию независимой переменной х, при любых значениях X остается равной правой части для произвольного заданного значения t. Отсюда следует, что обе части должны равняться постоянной, не зависящей от того, какие значения принимает каждая из переменных. Приравнивая левую и правую части уравнения (7) этой постоянной, получаем два отдельных уравнения, каждое из которых содержит или х или t. Таким методом обычно пользуются для разделения переменных в подобных уравнениях. Запишем наше уравнение в следующем виде [c.30]

При это фактически мы провели разделение переменных, включив зависимость от вертикальной координаты г только в амплитуду возмущений ф. Зависимость от продольной координаты и времени принята в виде гармонических волн, распространяющихся вдоль оси X (со - частота, к - волновое [c.24]

Метод решения задачи о приспособлении вблизи экватора состоит, как и в случае /-плоскости, в разложении искомых функций в ряды по разделяющимся волновым решениям. Таким образом, сначала возмущения представляются в виде набора вертикальных мод (см. гл. 6) дискретного набора---в случае океана, или непрерывного — для атмосферы. Далее находятся горизонтальные моды, каждая из которых должна будет удовлетворить уравнениям теории мелкой воды из разд. 11.4, причем различия между этими уравнениями для каждой из мод состоят в том, что в них присутствуют различные эквивалентные глубины Не и постоянные разделения переменных с = ( Яе)7 . [c.176]

РАЗДЕЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ И СПИНОВЫХ ПЕРЕМЕННЫХ Координатные волновые функции [c.62]

Вернемся теперь к описанию электронного строения с помощью волновой функции. Разделение волновой функции на две составляющие удобно потому, что эти части связаны с различными свойствами. Радиальная часть определяет энергию системы, и она инвариантна к операциям симметрии. Квадрат радиальной функции имеет вероятностный смысл, и его количественная характеристика возможна при фиксированных значениях угловых параметров 0 и Ф. Эти угловые переменные задают фиксированное направление от атомного ядра, и квадрат радиальной функции пропорционален вероятности нахождения электрона в элементе объема, расположенном вдоль выбранного направления. Чтобы определить вероятность нахождения электрона внутри сферической оболочки радиуса г, окружающей ядро, необходимо проинтегрировать по обеим угловым переменным. В результате получается функция радиального распределения. [c.251]

Уравнение Шрёдингера для атома водорода в полярных координатах (П1.25) после разделения переменных удается представить в виде произведения трех отдельных функций, каждая из которых зависит только от одного аргумента. В самом общем виде это приводит к волновой функции вида [c.41]

Разделение переменных, характеризующих электронные и адерные движения в молекуле, обычно проводится в рамках т. наз. грубого приближения Борна-Оппенгеймера (см. Адиабатическое приближение), в к-ром электронная волновая функция задаетр [c.444]

Для решения уравнения Шрёдингера применяется метод разделения переменных, используемый обычно при решении дифференциальных уравнений. Исходное уравнение преобразуют таким образом, чтобы в одной из его частей оставалась всего одна переменная, после чего обе части уравнения полагают равными некоторой постоянной величине. Этот процесс повторяют до тех пор, пока не получится ряд уравнений, каждое из которых содержит всего по одной переменной. Таким образом, приходится ввести всего три постоянные, называемые квантовыми числами и обозначаемые п, I и т. Каждое из этих квантовых чисел может принимать множество различных значений и каждой разрешенной (особыми правилами) комбинации этих значений соответствует одно из решений волнового уравнения (уравнения Шрёдингера), называемое волновой функцией. [c.74]

Как и в случае волнового уравнения для струны, уравнение (27) тоже допускает разделение переменных (времени и пространственных координат). После такого разделения уравнение, в которое входят только пространственные переменные, запшпется в виде [c.187]

О возможных методах уточнения расчетов. Изложенные выше методы расчета основывались на приближении полного разделения электронных переменных. Естественно, напрашиваются два способа уточнения расчетов неполное разделение переменных и многоконфигурационное приближение. Как показывают специально проведенные расчеты, использование многоконфигурационного приближения в некоторых случаях может изменить величину / на несколько десятков процентов. Отказ от полного разделения переменных, т. е. учет зависимости волновой функции от также приводит к улучшению результатов ). К сожалению, оба метода требуют весьма трудоемких вычислений и поэтому вряд ли могут быть использованы в настоя1дее время для проведения систематических расчетов сил осцилляторов. [c.418]

Главной причиной неудовлетворительности результатов, повидимому, является то пренебрежение взаимодействием электронов, которое делается при разделении переменных волновой функции атома, т. е. в применении модели одноэлек [c.429]

Улучшение приближенных методов описания за счет отказа от разделения переменных достигается двумя путями. Один способ состоит в том, что волновую функцию атома представляют в форме наложения функций, соответствующих различным электронным конфигурациям ). Некоторый произвол в выборе возможных конфигураций может быть ограничен исследованием возможности комбинации разных конфигураций. Коэфициенты, определяющие собой относительные веса гонфигураций, можно определить по вариационному методу. В строго теоретическом отношении остается несколько неопределенным способ получения одноэлектронных функций, описывающих ту или иную конфигурацию. В практическом отношении этот способ в виде учета взаимодействия конфигураций может быть особенно полезным в качественном описании явлений, не укладывающихся в рамки модели одноэлектронных состояний. [c.430]

Возможно, некоторые читатели, привыкшие к волнам в трех мерном пространстве (такой волной является, например, волновая функция Ф (г) атома Н), почувствуют смущение, обнаружив, что волновая функция Ф (г1, Га) атома Не представляет волну в шестимерном пространстве. Чтобы помочь им освоиться с шестимерным просфангтвом, мы сначала, отбрасывая член (1/Г12) в уравнении (2.62), произведем разделение переменных в уравнении (2.6.1) [c.46]

При адиабатическом разделении электронных и ядерных переменных потенциал ядерного уравнения получается как собственное значение оператора Гамильтона для электронного волнового уравнения и графически представляется потенциальной поверхностью. Потенциальные поверхности как функции ЗМ-6 переменных, где М-число частиц в системе, имеют ряд общих черт для молекулярнь(х систем, о которых и пойдет речь в настоящем параграфе. [c.443]

С увеличением числа переменных получить точное решение уравнения Шрёдингера становится все труднее. Поэтому крайне желателен какой-нибудь метод, который позволил бы уменьшить число переменных, подлежащих одновременному рассмотрению. К счастью, для молекул существует приближение, которое почти во всех случаях дает прекрасные результаты. Оно заключается в раздельном рассмотрении электронного и ядер ного движений. Такое разделение возможно потому, что ядра намного тяжелее электронов [тн/т 1836), и с достаточной степенью точности можно считать, что электроны мгновенно приспосабливспот свое движение к движению ядер. Другими словами, волновая функция электронов зависит от положений ядер, но не от их импульсов. [c.62]