Градиент вычисление

Транспорт компонента разделяемой газовой смеси через пористую основу мембраны осуществляется одновременно несколькими механизмами переноса, в зависимости от структуры матрицы, свойств веществ и термодинамических параметров процесса. В общем случае движение компонентов смеси может вызываться конвективно-фильтрационным переносом, различного вида скольжениями вдоль поверхности пор, объемной диффузией, баро- и термодиффузией, кнудсеновской диффузией (эффузией), поверхностной диффузией, пленочным течением вследствии градиента расклинивающего давления, капиллярным переносом конденсированной фазы в анизотропных структурах. Вещество в порах скелета мембраны, как показано ранее, может находиться в виде объемной газовой фазы, капиллярной жидкости и адсорбированной пленки. Для каждого из этих состояний возможно несколько механизмов переноса, взаимосвязанных между собой. Не все виды переноса равнозначны по своему вкладу в результирующий поток веществу, поэтому при вычислении коэффициента проницаемости необходимо определить условия, при которых те или иные формы движения вещества являются доминирующими [З, 9, 10, 14—16]. [c.54]

До сих пор мы не останавливались на вопросе вычисления производных 5//39, полагая, что они могут быть вычислены точно. Однако при приближенном (численном) интегрировании исходной системы дифференциальных уравнений (3.141) вычисление производных — наиболее тонкое место во всей обратной задаче. Методы вы числения производных можно разделить на две группы. Первая группа — методы универсальные, не связанные со схемой интегрирования. Сюда относится метод конечных разностей (см. разд. 3.5), точность которого не всегда достаточна для успешного проведения минимизации. В работе [108] предлагается для оценки производных использовать план первого порядка в пространстве параметров около точки 0 . Применение этого метода требует, так же как и метод конечных разностей, (р—1) вычисления функции по крайне мере. Пауэлл [118, 119] предложил численный метод оценки градиента, в котором при каждой итерации переоцениваются компоненты лишь в направлении, задаваемом уравнением.(3.171) или G GS = —G h. Здесь 0 — решение уравнения, фиксирующее стационарную точку системы (3.171) h — вектор [t —/ (0 )], i = 1,.... .., N G — вектор 5/(0 )/39 , j = i,. . R. Симплекс-метод [12, 92, 115] не обладает быстрой сходимостью [117, 124], тем не менее он с успехом используется для оценки производных. [c.224]

Вследствие затраты тепла на эндотермическую реакцию температура смеси углеводородных фракций и катализатора понижается с I до при продвижении этих потоков сверху вниз через рабочую зону реактора. Формула для вычисления температурного градиента [c.247]

Согласно рис. 5 разность уровней жидкости на тарелке равна примерно 43—46 мм столба чистой жидкости (если принять, что сливная перегородка находится приблизительно в 100 мм от последнего ряда колпачков) распределение пара зависит от разности уровня жидкости в зоне колпачков, равной около 15 мм чистой жидкости. Это сравнительно хорошо согласуется с величиной гидравлического градиента, вычисленного обычными методами [3, 6]. Для упрощения можно принять, что 25% разности уровней жидкости, найденной из [c.147]

Рис 7-3 Температурные градиенты, вычисленные Кеннардом [19] по фотографии, приведенной на рис. 7-2. [c.232]

Для случаев, когда теплонапряженность превышает указанное значение, толщину стенки реакционной трубы при расчете завышают. Следовательно, получается некоторый запас прочности, что отвечает градиенту изменения напряжений и температуры по толщине стенки трубы, для которой максимальная температура наружной поверхности вызывает максимальные напряжения. Однако следует отметить, что при вычислениях по формуле (VI-22) толщину стенки трубы всегда принимают не менее 3 мм. [c.218]

В методе градиента направление шага обусловливается величинами частных производных оптимизируемой функции в рассматриваемой точке. Всегда следует иметь в виду, что градиент ортогонален к поверхности постоянного уровня функции цели только в точке его вычисления, да и то с определенным приближением, поскольку производные обычно находятся с помощью приближенной формулы (IX, 33). [c.496]

По сравнению с рассмотренным выше методом прямого поиска с возвратом, для реализации которого требуется вычисление градиента только для целевой функции ири выполнении одного шага спуска, метод проектирования вектора-градиента зачастую оказывается все же более быстрым, поскольку в данном случае движение к оптимуму происходит вблизи от гиперповерхности ограничений и необходимость возврата на нее возникает значительно реже. [c.539]

Данное определение фактора эффективности является классическим и показывает, насколько диффузионное торможение снижает скорость собственно химической реакции. Расчеты фактора эффективности по уравнению (3.12) связаны с вычислением градиентов на границе, которые могут быть очень большими, jaK что расчеты могут сопровождаться большими погрешностями, т. е. с вычислительной точки зрения такая форма представления фактора эффективности неудачна. [c.158]

Для поиска оптимального циклического процесса можно попытаться применить метод сопряженных градиентов, а для определения скользящих и квазистационарных режимов использовать известные методы нелинейного программирования. Таким образом, решение краевой периодической задачи представляет серьезные трудности из-за больших затрат на вычисление циклического режима, если таковой вообще удается найти. [c.292]

Седов Н. Н. Вычисление градиента в задачах идентификации и оптимизации сложных динамических систем // Дифференциальные уравнения и их приложения. Воронеж Изд-во Воронеж, ун-та, 1985. С. 145—148. [c.360]

Таблица 3. Количество вычислений функции и градиента при оптимизации каскада реакторов методом наискорейшего спуска для различных начальных точек и различных п

Результаты вычислений профиля скорости / (л), поверхностного трения /"(1) и градиента давления К в плоском канале при стабилизированном течении представлены на рис. 4.1 и 4.2 по данным [1, 9]. Качественно влияние отсоса (вдува) коррелируется с тем, что было установлено для автомодельных пограничных слоев на пластине [6] отсос (Rev>0) делает профиль скорости более заполненным, а градиенты скорости на стенке большими при вдуве (Rev<0) картина обратная — профиль осевой скорости вытягивается, но градиенты скорости на стенке меняются незначительно. [c.128]

Параметрами, подлежащими определению в уравнениях (2-17)— (2-20), являются ( 1,2 — 2,2), (Я.2,1 — 1,1), ( 1,2 — 2,2), (g2,l —gl,l), а также 1,2- Для этого обычно используются методы нелинейного программирования. В частности, удовлетворительные результаты обеспечивает метод наискорейшего спуска с параболической интерполяцией по градиенту [38]. Стратегия поиска при наличии оврагов заключается в следующем. Сначала производится спуск из точки начального приближения по выбранному градиенту с последующей параболической интерполяцией. После вычисления минимума критерия оптимальности делается ортогональный шаг и вновь вычисляется минимальное значение критерия. При движении в сторону уменьшения критерия выполняются шаги и но направлению. После выявления дна оврага вновь производится интерполяция, выявление минимального значения и опять движение по градиенту. [c.109]

Методы направленного поиска позволяют избежать этого недостатка. Рассмотрим градиентный метод для определения экстремума функции 5 (с(жо), Т хо), и,(Хо), с х), Т(х), v,(x), f(r, х), Vi r, х), Р х)) при отсутствии каких-либо ограничений. Процесс оптимизации по методу градиента заключается в определении направления наискорейшего изменения функции и некотором перемещении по этому направлению в прямую или обратную сторону. Направление наискорейшего изменения функции определяется направлением вектор-градиента оптимизируемой функции. Существенной чертой определения наискорейшего изменения является численное вычисление производных функций д /дс ха), д 1дТ хо), d ldv, xa),. .., которое производится следующим способом д 1ду х ) = [ с хо),. .., yi(Xo)+At/i,. .., Ui(Xo), с(х), Т(х), u x), f r, х), Уг г, х), Р х),. . . ) с Хо), У Х ), , UiUo), с, Т, UJ, /, U2, -.. )]/A /j, где Ai/j— приращение по оптимизируемому параметру, шаг изменения у, у, может быть любым из (Xo), Т Хо), vJ Xa),. ... в качестве шага по оси у выбирают [c.361]

Уравнение (У1,47) справедливо только при ограничениях, изложенных в следующем разделе (стр. 318). В нем говорится, что основной оптимум может быть достигнут посредством подбора цен Р так, чтобы максимизировать прибыль, достигаемую при оптимизации подзадач. Уравнение ( 1,47) констатирует далее, что градиенты двойственной функции представляют собой просто разность между количеством товара, потребляемого одной подсистемой (например, х для первой подсистемы), и количеством товара (например, 2 ), которое другая подсистема решает поставить по существующей цене. Таким образом, градиенты двойственной функции имеются при условии выполнения небольших дополнительных вычислений, и задача подбора цены является просто задачей выпуклого программирования без ограничений. Оценку оптимальных цен можно получить, решая относительно и Р следующие линейные уравнения [c.316]

Шаг 6 (вычисление приведенного градиента А). [c.205]

Метод сопряженных градиентов [901. Основывается на построении последовательности направлений поиска, являющихся линейными комбинациями — (ж ), текущего направления наискорейшего спуска, и 2 ,. .., 2 , предыдущих направлений поиска. При этом весовые коэффициенты выбираются так, чтобы сделать направления поиска сопряженными. Для вычисления нового направления поиска в точке л используют только текущий градиент и предпоследний. [c.210]

Для вычисления N частных производных в каждой точке определения градиента функции необходимо N - - 1 раз рассчитать схему производства стирола. Учитывая наличие в схеме рециркуляционных связей и математических моделей ректификационных колонн, для расчета которых требуются итерационные процедуры, затраты машинного времени па расчет схемы и, следовательно, производных значительны. На электронно-вычислительной машине Минск-32 время расчета схемы составило в среднем 25—27 с, а время расчета производных по девяти варьируемым параметрам 4—4,5 мин. [c.172]

Идея методов переменной метрики состоит в том, чтобы использовать информацию о градиенте целевой функции для приближенного вычисления гессиана. С этой целью формируется последовательность матриц Яь, обладающих свойством [c.211]

Выра кение (11,84) со значениями 7,, определяемыми из соотношений (11,83), (11,85)—(11,87), дает группу методов сопряженного градиента. Для квадратичных функций эти соотношения эквивалентны. Итерационный процесс (П,84) с различным способом вычисленными коэффициентами у,- дает одну и ту же последовательность сопряженных направлений и, следовательно, 1+1 = + а,Рг генерирует одну и ту же последовательность точек. Для нахождения минимума требуется не более п направлений. [c.48]

Легко видеть, что первый подход с точки зрения количества вычислений предпочтительнее второго. Действительно, в первом случае весь итерационный процесс потребует п + 1 вычислений градиента, в то время как во втором случае потребуется 2п раз считать градиент, поскольку на каждом направлении его необходимо будет рассчитывать в двух точках. [c.103]

Некоторые из методов поиска, применяющиеся для оптимизации в этом случае (например, метод проектирования градиента, см. главу III), требуют вычисления частных производных дФ 1ди,(к) и дФ /dXj (к). Рассмотрим в связи с этим задачу определения указанных производных. [c.208]

Здесь (ЗЗ/дДГ) — градиент в начальной точке, определяющий движение ВЗ этой точки в заданном направлении д31дХ) — градиент, вычисленный в TOtee, полученной как результат предыдущей (i—1)-й итерации (аЗ/йДГ) - —градиент, вычисленный в точке, полученной как результат ( — 2)-й итерации di - —шаг на предыдущей (I—1)-й итерации. [c.132]

Однако в случае движения по градиенту, вычисленному с помощью формул (VIII,33), шаг поиска делается по направлению наибыстрейшего роста функции Ф при условии, что все связи ( 111,27) между звеньями выполняются в линейном приближении. Поэтому при использовании метода градиента необходимость в процедуре последовательных приближений возникает не на каждом шаге поиска, а периодически через несколько шагов, число которых определяется степенью некорректности линейной аппроксимации соотношений ( 111,26) и величиной шага поиска. Сама процедура последовательных приближений на всех шагах, кроме первого, окажется в значительной степени облегченной и потребует малого числа итераций, поскольку последовательные приближения начинаются из точки, близко расположенной к поверхности, задаваемой равенствами ( 111,27). [c.206]

Пр][ применении метода градиента на каждом шаге нужно определять значения всех частных производных оптимизируемой функции по всем независимым переменным. Е]сли расчет одного значения данной функции требует значптельг[ого объема вычислений, то время поиска оптимума, особенно при большом числе независимых переменных, может быть весьма большим. [c.497]

В 1.15 отмечалось наличие значительных градиентов тей пературы внутри зерен пористого катализатора, возникающих за счет теплоты реакции. Перепад температур между поверхностью и центром зерна может быть легко вычислен, как это было показано Прейтером (30]. Пусть i — концентрация реагек-та в некоторой точке пористого тела и г — скорость потребления реагента в этой точке, отнесенная к единице объема. Составим материальный баланс [c.183]

Из давно применяющихся методов здесь следует упомянуть методы Хэлла и Смита а также Ирвина, Олсона и Смита , опубликованные в 1949 и 1951 гг. Описываемые методы ставили своей задачей определение длины слоя катализатора, необходимого для получения заданной степени превращения, а также вычисление степени превращения для заданной длины слоя как функции таких параметров, как скорость потока, исходный состав вещества, температура и давление на входе реактора. Расчеты проводились для неизотермического и неадиабатического процессов. В этом случае, вследствие потока тепла через стенки реактора, возникает поперечный температурный градиент, причем разность температур в радиальном направлении может быть значительной. Необходимо иметь возможность определения температурного профиля в осевом, и радиальном направлениях. Для получения данных, необходимых для проектирования, и прежде всего скорости реакции как функции температуры, давления, состава, а также эффективного коэффициента теплопроводности, требовались соответствующие экспериментальные исследования. В настоящее время теория и эксперимент, относящиеся к проблемам теплопроводности, получили значительное развитие. До недавнего времени, однако, эти данные были довольно ненадежными, а соответствующие методы расчета еще и сегодня нельзя считать достаточно завершенными. [c.153]

Рассмотренные методы минимизации функции многих переменных имеют универсальный характер. Однако для минимизации функций вида (3.137) наиболее эффективны методы, учитывающие нх специфику. Так, можно получить разумное приближение к матрице вторых производных в цену вычисления лишь градиента. Рассмотрим такой подход на примере минимизации суммы квадратов. Пусть требуется минимизовать [c.222]

II — минимизации (4.19), III — минимизации полного отклонения но обоим экспериментам, приведены в табл. 4.5 вместе с потерями на поиск — числом итераций (под итерацией подразумевается одномерная минимизапия в ква-зиньютоновском методе Флетчера, обычно 2—3 вычисления целевой функции вместе с градиентом). [c.211]

Имеющиеся данные по скоростям частиц в пристенной части колонны и в фонтане были использованы для расчета вертикальных профилей порозности в фонтане для слоев ппхеницы в аппаратах разного диаметра 152,5 мм И 610 мм . Значения порозности, рассчитанные таким методом в первой из упоминаемых работ, хорошо согласуются с соответствующими значениями, вычисленными независимо — по градиенту давления и экспериментально полученным скоростям частиц в фонтане. [c.640]

Методы второго типа — это методы градиента, наискорейшего спуска, Ньютона—Рафсона и их модификации. Методы третьего типа, связанные с вычислением вторых производных, не находят широкого применения из-за трудностей вычисления вторых производных. Здесь можно упомянуть лишь метод Флетчера—Пауэлла, который является методом первого порядка, но использует оригинальную аппроксимацию вторых производных Дэвидона, чем обеспечивает более высокую скорость сходимости, чем градиентные методы. [c.179]

Прямыми поисковыми называют методы, не требующие вычисления частных производных (355(0)/( 05. Градиентные методы основываются на вычислении градиента функции 55(0). Среди прямых поисковых методов укажем прежде всего метод оврагов [122, 123], методы Розепброка [124] и Пауэлла [125, 126]. Метод оврагов , хорошо зарекомендовал себя при решении задач, связанных с оценкой кинетических параметров [107]. Эффективным оказывается также метод случайного поиска [127]. Кстати, методом случайного поиска пользовались при уточнении оценок параметров скорости зародышеобразования и роста кристаллов (см. выше). [c.324]

Здесь дЗ/дХ)у — составляющая градиента функции 3 по совокупности параметров вычисленная при совокупности параметров X, удовлетворяющих условиям (3.1.21) (йЗ/дУ)у — составляющая градиента функции 3 по совокупности параметров У, вычисленная при значениях параметров Ко, удовлетворяющих условиям (3.1.21) дУ1дХ — мatpицa частных производных компонентов совокупности параметров У по компонентам совокупности параметров X, вычисленных нз условия (3.1.21). [c.137]

Пусть в процессе градиентного спуска мы оказались в точке А, лежащей на поверхности / , ограничивающей область изменения переменных. Антиградиент минимизируемой функции (—д31дХ), вычисленный в точке А, направлен за пределы допустимой области (вектор АА на рис. 3.6). Допустимым направлением движения из точки А, соответствующим наибольщей скорости возрастания функции 3, является направление вектора АА2, совпадающего с проекцией антиградиента функции 3 на плоскость и перпендикулярную к вектору градиента функции ограничения /1 в рассматриваемой точке А. Обозначим эту проекцию антиградиента Q. Следовательно, в данном случае движение производится в плоскости Ьи касательной в точке А к поверхности = Таким образом, при использовании метода проектирования градиента направление движения из точки, лежащей на границе допустимой области, определяется взаиморасположением вектора антиградиента функции 3 Х) в этой точке и вектора градиента функции ограничений /р в этой же точке. [c.140]

Оптимизация осуществлялась с помощью алгоритма РВМ и методом наискорейшего спуска из различных начальных точек 0 = ( х, 0. . о) и для разных значений I (1 = =. . . = = = t). Результаты оптимизации посредством проекционного алгоритма из точки Г , , = 325 (1 = 1,. . ., и) для различных значений и и = 6 приведены в табл. 2. Через к обозначено Количество вычислений целевой функции, нинший индекс соответствует числу вычислений градиента. Эти же обозначения будем использовать в последующих таблицах. [c.51]

Однако вычисление с высокой точностью минимума F [х) по направлению р требует многократного расчета функции F (а ). Поэтому целесообразно воспользоваться процедурой экономного одномерного поиска (см. с. 105), менее трудоемкой по сравнению с (111,20). Поскольку направление равно произведению отрицательно определенной симметрической матрицы — BlBh) на градиент функции F [х), полученный в результате метод будет сходиться при некоторых дополнительных предложениях (30, с. 61-62]. [c.135]

Начнем с квадратичных методов, основанных на использовании градиента минимизируемой функции. Очень важное значение в случае задач большой размерности приобретает проблема расчета производных целевой функции. Применение для этой цели разностей малонриемлемо вследствие больших вычислительных затрат и неточности расчета производных. Численные эксперименты но сравнению ряда методов переменной метрики с разностным вычислением производных [143] на нескольких тестовых примерах показали, что при ге >> 20 более эффективными становятся методы нулевого порядка. Кроме того, неточность расчета производных, присуш,ая разностному методу, лгожет значительно исказить направления поиска, а следовательно, и понизить эффективность методов. [c.260]

Для простоты изложения здесь не учтено, что при применении метода проектирования градиента уравнения (VIII,14) через определенное число шагов могут нарушаться и для их корректировки необходимы дополнительные вычисления. [c.199]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология