Решение некоторых дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами

РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [c.496]

Существенным является вопрос выбора машины для моделирования. Аналоговые вычислительные машины (АВМ) просты в обращении и относительно недороги. Они предназначены главным образом для решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными и переменными коэффициентами, а также некоторых нелинейных дифференциальных уравнений. Положение движков потенциометров в этих машинах определяет величины коэффициентов в уравнениях и, следовательно, может соответствовать в объекте значениям параметров, определяемых физикой процесса или конструкцией аппарата. Отсюда ясно, что моделирование на аналоговой машине более удобно, поскольку позволяет простым поворотом потенциометра изменять параметры процесса или конструкции аппарата, где он протекает, а также настройку системы управления. Таким образом, применение аналоговой машины дает возможность быстро и разносторонне изучить динамику объекта и получить подходящую систему автоматического управления. [c.9]

Существенным моментом при выборе метода является размерность задачи. Некоторые методы эффективны при решении небольших задач, однако с увеличением числа переменных объем вычислений настолько возрастает, что приходится от них отказываться. Такого класса задачи обычно имеют место при решении систем уравнений, поиске оптимальных значений параметров многомерных функций. Соответствующим выбором метода можно уменьшить время решения задачи и объем занимаемой памяти. Так, при решении систем линейных алгебраических уравнений объем вычислений для точных методов (типа метода Гаусса) пропорционален а для итерационных (типа простой итерации) — Л , где N — число неизвестных. При решении дифференциальных уравнений разностными методами матрица коэффициентов системы при числе узловых точек N содержит N элементов (при N = 100 для исходной информации необходимо отвести свыше 10 ООО слов оперативной памяти). Однако при [c.24]

Приближенные решения дифференциальных уравнений параболического типа часто ищут методом интегральных соотношений, который основывается на приближенном представлении решения в некоторой возмущенной области многочленом по степеням пространственной переменной с коэффициентами, зависящими от времени. Эти коэффициенты определяются из условия, что приближенное решение должно удовлетворить некоторому интегральному уравнению баланса, полученному из исходного дифференциального, и условиям на границе исходной и возмущенной области. В [16] подробно излагается сущность интегрального метода и приведены решения многих задач, найденные с его помощью. Эти решения хотя и не совсем точны, тем не менее часто вполне удовлетворительны с инженерной точки зрения. Основным недостатком метода является неопределенность первоначального выбора степени многочлена, которым представляется приближенное решение. Этот параметр выбирается, как правило, в виде небольшого целого числа—1, 2, 3 и т. п., и его наилучший выбор значительно влияет на точность [c.36]

О принимается в качестве главного практического критерия устойчивости схемы. Прежде чем применять этот критерий, схему подвергают некоторым преобразованиям. Сеточное уравнение, аппроксимирующее основное дифференциальное уравнение, линеаризуется. Для этого рассматриваются малые возмущения решения, вызванные малым возмущением начальных данных. Переменные коэффициенты линеаризованного уравнения замораживаются , т. е. заменяются их значениями в произвольной точке области определения решения исходной задачи. Краевая задача заменяется соответствующей задачей Коши. [c.44]

Для решения небольшой системы дифференциальных уравнений (2.159), описывающих с принятыми допущениями переходные процессы в приводах с дроссельным управлением, нет необходимости использовать названные сложные методы расчета. Приемлемые результаты можно достигнуть более простым при малом числе уравнений методом припасовывания. Такой метод успешно применяют для решения некоторых задач механики [4, 20]. Состоит оп в следующем. Полное время переходного процесса разделяют на малые временные интервалы (шаги). В пределах достаточно малого шага коэффициенты дифференциальных уравнений принимают постоянными. Получаемую при этом систему линейных дифференциальных уравнений решают совместно в каждом временном интервале методом преобразования по Лапласу. Формулы для вычисления конечных значений переменных содержат их начальные значения. Процесс припасовывания состоит в том, что значения переменных, полученные в конце предыдущего шага, принимают начальными дли последующего. Совместное решение системы уравнений в пределах каждого шага исключает возникновение численной неустойчивости решения и этим устраняет искажение переходного процесса. [c.150]

Для оптимизации существует еще большее разнообразие методов, чем для решения дифференциальных уравнений. Имеются превосходные машинные программы для оптимизации функций как в отсутствие, так и при наличии ограничений [21, 40, 77 ]. Основные затруднения, возникающие при использовании этих методов применительно к моделям, состоящим из дифференциальных уравнений в частных производных, заключаются в трактовке и способах исследования многомерного пространства переменных состояния и, возможно, многомерного пространства коэффициентов. Разумеется, в процессе поиска должны вводиться некоторые аппроксимации. В число методов оптимизации входят [c.184]

Метод решения состоит в описании задачи интегральными уравнениями с использованием поверхностной функции Грина. Допускается, что решение интегрального уравнения выражается в виде суммы всех возможных типов волн, которые могут существовать в волокне. Амплитуды указанных волн берутся как неизвестные функции осевых координат. Решение в таком виде подставляют в интегральное уравнение и, приравнивая коэффициенты, получают уравнения для определения неизвестных амплитуд. Указанные соотношения находятся все еще в форме интегральных уравнений однако они содержат только неизвестные скалярные значения амплитуд, тогда как исходные уравнения являются векторными интегральными уравнениями от нескольких независимых переменных. В некоторых случаях интегральные уравнения, содержащие амплитуды, могут быть преобразованы в приближенные системы дифференциальных уравнений первого порядка. Они, в свою очередь, дают решения, которые будут отличаться исключительной точностью в широком интервале изменения переменных. [c.233]

Некоторые приемы программирования рассматриваются в этой главе на примерах неоднородных уравнений при воспроизведении функций внешних воздействий, а также при решении дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. [c.78]

Системы уравнений (3)—(6) — обыкновенные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами и нелинейной правой частью. Аналитическое решение таких систем может быть получено лишь в некоторых частных случаях. Рассмотрим численный метод решения этих систем уравнений. [c.78]

Неустойчивость ламинарных течений. Стационарные решения различных задач о движении вязкой жидкости формально существуют при любых числах Рейнольдса [76]. Однако реально могут осуществляться лишь течения, обладающие устойчивостью по отношению к возмущениям, всегда присутствующим в потоке. Математически обычно исследуют устойчивость движения по отношению к бесконечно малым возмущениям. Для этого на стационарное решение уравнения Навье-Стокса накладывается аддитивное нестационарное малое возмущение. Подстановка возмущенного решения в уравнения, учет основного решения и линеаризация относительно малых возмущений позволяет получать для возмущений линейные дифференциальные уравнения в частных производных с числом Рейнольдса для основного течения в качестве параметра. Коэффициенты этих уравнений не зависят от времени и некоторых из пространственных координат, которые по отношению к уравнению называются циклическими. Это обстоятельство обусловливает экспоненциальный вид зависимости возмущенного решения от циклических переменных. Иными ело- [c.174]

АВМ недостаточно универсальны они предназначены в основном для решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными и переменными коэффициентами и некоторых нелинейных дифференциальных уравнений. Для моделирования различных нелинейных зависимостей приходится дополнять АВМ специальными решающими блоками. Трудности при моделировании иа АВМ возникают и тогда, когда имеется более одной независимой переменной, например пространагвенные и временные координаты. [c.325]

Систему уравнений (1.4), (1.5) с приведенными граничными условиями в теоретической гидромеханике называют уравнениями пограничного слоя она может быть решена приближенными методами с необходимой точностью для случая стационарного обтекания полубесконечной плоской стенки ламинарным потоком вязкой жидкости. Техника решения состоит в том, что система уравнений в частных производных путем введения новых комплексных переменных сводится к одрюму дифференциальному уравнению третьего порядка относительно некоторой новой искомой функции. Получаемое уравнение оказывается нелинейным, но не содержит никаких параметров и поэтому может быть единожды решено численно. Приближенное решение дает возможность вычислять профили скорости в пограничном слое и градиенты продольной компоненты скорости в направлении, нормальном к поверхности. Значение поперечного градиента скорости, умноженное на коэффициент вязкого трения ц, дает величину касательного напряжения трения, необходимую для вычисления гидродинамических сопротивлений потоков вязкой жидкости. [c.9]

Аналитические решения дифференциальных уравнений нестационарной диффузии получены для постоянных коэффициентов диффузии. Если коэффициент диффузии является переменной величиной, то применяются методы численного интегрирования, ступенчатый метод и другие приемы для нахождения среднего значения или ряда значений коэффициентов диффузии в исследуемом интервале концентраций сорбируемого газа. Некоторые из этих методов будут кратко рассмотрены в заключении главы. [c.72]

Если изотерма адсорбции нелинейна, то аналитическое решение дифференциального уравнения диффузии представляет большие математические трудности, и задача решается обычно методами численного интегрирования. Некоторые варианты приближенных решений уравнений диффузии с переменным коэффициентом даны в книге Кранка [25]. Здесь мы рассмотрим одну возможность получения приближенного уравнения кинетики адсорбции для хорошо адсорбирующихся веществ, для которых характерна резко выпуклая изотерма адсорбции. [c.231]

Изложенный выше метод применим не всегда. В некоторых случаях полученные таким образом решения не удовлетворяют граничным условиям, поставленным для данной задачи. Часто коэффициенты Р, О, 5, Т или и в уравнении (3-1) содержат переменные в таких комбинациях, что их нельзя отделить одну от другой. Однако иногда возможно преобразовать дифференциальное уравнение, пользуясь новой системой координат и таким образом получить уравнение, которое может быть разделено. К сожалению, как показали Робертсон и Эйзенхарт (см. [5] стр. 171), разделение переменных возможно только лишь для немногих общих типов уравнений, встречающихся в квантовой механике. Почти все из более сложных квантово-механических задач, представляющих интерес для химии, приводят к уравнениям, которые не относятся ни к одному из этих типов, так что метод разделения переменных не применим. Именно это обстоятельство, в большей степени, чем какое-либо другое, преграждает путь прогресса в строгом применении квантовой механики к химии и в точном предвычис-лении свойств химических систем. Тем не менее мы часто будем прибегать к этому методу при рассмотрении более простых задач, как, например, на стр. 45, 55, 65 [c.33]

Как известно [Еругин, 1979], решение системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами всегда может быть записано в виде линейной комбинации выражений вида где X — собственные значения матрицы коэффициентов этой системы дифференциальных уравнений, а Q(J)—некоторые полиномы переменной t. Пиже показано, что собственные значения матрицы коэффициентов системы дифференциальных уравнений (2.41) имеют неположительную действительную часть. Локализацию собственных значений матрицы А в формуле (2.40) дает доказываемая ниже теорема Гершгорина Сарымсаков, 1954 Маркус, Минк, 1972 Ланкастер, 1978], согласно которой собственные значения произвольной матрицы (с//) лежат, по крайней мере, в одном из кругов с центрами Сц [c.67]