Теория дифференциальное уравнение диффузии и три решения его

Для объяснения полирующего травления необходимо рассмотреть процесс диффузии молекул травителя из глубины раствора к поверхности кристалла. Следует сказать, что диффузионная теория в математическом отношении достаточно громоздка и требует решения некоторых дифференциальных уравнений. Многие важные выводы этой теории могут быть понятны только после такого решения. Что касается этих выводов, то они приведены ниже почти бездоказательно, сама же причина, вызывающая полирование поверхности при травлении, может быть пояснена следующими рассуждениями. [c.107]

В дифференциальном уравнении конвективной диффузии, помимо концентрации, переменной является скорость потока. Поэтому данное уравнение надо рассматривать совместно с дифференциальными уравнениями гидродинамики уравнениями Навье—Стокса и уравнением неразрывности потока. Однако эта система уравнений не имеет аналитического решения, и для получения расчетных зависимостей по массообмену приходится прибегать к преобразованию дифференциального уравнения конвективной диффузии методами теории подобия. [c.394]

Отметим, что уравнение конвективной диффузии, поскольку процесс переноса массы протекает в потоке, должно быть дополнено уравнениями движения Навье-Стокса и неразрывности потока. Кроме того, перенос вещества приводит к изменению состава фаз и, следовательно, к изменению их физических свойств. Поэтому систему дифференциальных уравнений, описывающих конвективный массоперенос, следует дополнить также уравнениями, отражающими зависимость физических свойств фазы от ее состава. Расчет такой системы уравнений представляет большие трудности, и аналитическое решение этой системы уравнений оказывается практически целесообразным только в тех случаях, когда возможны существенные ее упрощения. Поэтому часто для решения этой задачи используют методы теории подобия. [c.21]

II. ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ДИФФУЗИИ И ТРИ РЕШЕНИЯ ЕГО [c.246]

При вращении электрода жидкость, соприкасающаяся с центром диска, отбрасывается к его краям, а снизу к центру электрода подходят новые потоки раствора. Согласно гидродинамической теории в этих условиях при ламинарном режиме размешивания вблизи вращающегося дискового электрода образуется граничный слой постоянной толщины брр, в котором происходит монотонное изменение скорости движения жидкости относительно поверхности электрода. Чем ближе к поверхности электрода, тем меньше скорость потока жидкости относительно диска и тем большую роль в подводе реагирующих веществ и в отводе продуктов реакции играет диффузия. Таким образом, распределение концентрации реагирующих веществ у поверхности вращающегося дискового электрода обусловлено диффузией в движущейся жидкости. Функция С (х), получающаяся в результате решения соответствующего дифференциального уравнения, не может быть представлена в аналитическом виде и обычно записывается в форме быстро сходящегося ряда. Если продифференцировать эту функцию, а затем частное значение производной дс дх) подставить в уравнение (УИ1.2), то получается формула [c.177]

Наконец, отметим, что теория Лэнгмюра не потеряла практического значения в области расчетов сложных реальных процессов, где адсорбция сопровождается диффузией, конвекцией и другими явлениями. В записи обобщенных уравнений потока адсорбционную компоненту целесообразно во многих случаях выражать именно в простой форме (Х.6), поскольку введение более сложных выражений часто приводит к нерешаемым дифференциальным уравнениям, тогда как уравнение Лэнгмюра дает в этих случаях решения приближенные, однако достаточные для многих практических и теоретических целей. [c.141]

Применение теории проникновения к массообмену при наличии химической реакции приводит к системе дифференциальных уравнений нестационарной диффузии. Для частного случая Dal = Dbl решение получают исходя из молярного потока компонента [c.146]

Вначале газовая хроматография развивалась как эмпирический метод, но, начиная с 1956 года, были многочисленные попытки разработки теории хроматографии, описывающей скорость продвижения полос по колонке и размывание полос. Наибольшее внимание было уделено вопросам динамики процесса (скорости продвижения, диффузии и массообмену). Создание теории, описывающей количественно хроматографический процесс, связано с значительными, в некоторых случаях непреодолимыми трудностями. Эти трудности связаны, во-первых, с неопределенностью многих параметров (в частности, структуры насадки) и, во-вторых, невозможностью точного решения дифференциальных уравнений, описывающих размывание полос. [c.38]

Однако решение общей системы уравнений, описывающей протекающий в реакторе процесс, не представляется возможным ввиду значительной сложности нелинейных дифференциальных уравнений переноса с коэффициентами (вязкость, коэффициент диффузии и т. д.), зависящими от искомого распределения температуры реакционной массы. Как и всегда при анализе сложных процессов, нужны приемлемые упрощения их описания. В теории химических реакторов принято полагать, что вместо сложного химического, теплового и диффузионного взаимодействия можно анализировать более простые предельные варианты процессов 1) скорость собственно химической реакции значительно меньше скорости подачи реагентов в аппарат и транспорта их из основной массы потока в зону непосредственного реагирования, при этом интегральная скорость всего процесса не зависит от интенсивности массообменных (диффузионных) процессов, а определяется кинетикой химической реакции (концентрацией и температурой реагентов),— это так называемая кинетическая область протекания процесса 2) скорость химической реакции велика и общий темп химического превращения определяется скоростью транспорта реагентов в зону реагирования,— диффузионная область [c.107]

Как уже указывалось выше, рассмотрение явления взаимного расталкивания приводит к дифференциальным уравнениям в частных производных, решение которых представляет собой значительную математическую трудность, особенно, когда расталкивание и диффузия происходят одновременно. Однако в большинстве случаев достаточно лишь знать, какой из этих двух процессов является главным. Ответ можно получить следующим образом. Согласно кинетической теории газов зависимость среднего квадратичного смещения молекулы в некотором направлении от времени определяется выражением [c.157]

Еще до того, как были установлены общие дифференциальные уравнения цепной диффузии и найдены методы их решения, удалось разработать весьма простой способ ), который давал возможность решать некоторые задачи теории цепных процессов с учетом диффузии для случая больших коэффициентов диффузии и мало интенсивной гибели активных центров на стенках. В этом случае малы градиенты концентраций, благодаря чему концентрационные поля можно считать плоскими . Рассмотрим здесь пример одного, а затем двух типов активных центров. Обобщение на случай любого числа активных центров мы дадим в следующей главе. [c.105]

Отсюда следует, что решения, полученные в теории струй для рассеяния консервативной примеси [19], неприменимы для струи с испаряющейся примесью. Метод, используемый в теории струй для решения задач о рассеяния примеси (основанный на сведении уравнения диффузии в частных производных с переменными х и = к обыкновенному дифференциальному уравнению-с одной переменной что возможно благодаря подобию безразмерных профилей), неприменим для струй с испаряющейся примесью. [c.157]

Знание коэффициента диффузии О и кинетических условий позволяет предопределить скорость протекания реакции. На основе экспериментальных определений коэффициентов диффузии была построена феноменологическая теория диффузии, в которой не учитывается атомная структура кристалла и он рассматривается как континуум. Расчет процесса диффузии сводится, таким образом, к составлению и решению соответствующих дифференциальных уравнений. [c.359]

Мы дали элементарное изложение основных результатов теории процессов передачи тепла и вещества в неподвижных и движущихся средах. Эти элементарные сведения достаточны для решения многих задач макроскопической кинетики. Однако в ряде случаев нам придется пользоваться дифференциальными уравнениями, описывающими процессы передачи тепла и вещества. Мы считаем поэтому уместным дать здесь сводку этих уравнений. Уравнение диффузии в неподвижной среде имеет вид [c.46]

Полная теория термодиффузионной трубки представляет собой сложную гидродинамическую задачу, в которой должны быть учтены четыре явления переноса поперечная термо диффузия и противоположная ей диффузия, продольная конвекция и продольная диффузия между слоями газа разных концентраций. Последнее слагаемое имеет значение сравнительно небольшой поправки и обычно отбрасывается. Составление соответствующих дифференциальных уравнений, включающих эти явления переноса, не встречает затруднений, но решение их до сих пор удавалось лишь в приближенном виде для ряда частных случаев. [c.91]

На основе указанной особенности в теории ламинарного горения разработаны методы, позволяющие существенно упростить описание явления. В самом деле, зону химических реакций можно рассматривать как некоторый пограничный слой. Тогда решение этой внутренней задачи (т.е. распределения концентраций и температуры в зоне реакций) находится с помощью сравнительно простых методов, поскольку в уравнениях диффузии и теплопроводности перенос тепла и вещества вдоль фронта пламени несуществен, и, следовательно, достаточно, проинтегрировать систему обыкновенных дифференциальных уравнений. При решении внешней задачи химические реакции можно не учитывать, а сращивание внутреннего и внеишего решений позволяет определить положение фронта пламени. [c.8]

Ввиду сложности непосредственного решения дифференциальных уравнений конвективной диффузии эти уравнения обычно преобразуют методом теории подобия и находят критерии подобия, пользуясь которыми, можно описать процесс, не интегрируя уравнения. Связь между критериями подобия может быть установлена экспериментальным путем. [c.85]

Полуэмпирическая теория турбулентности нашла свое отражение в так называемых косвенных методах определения коэффициента турбулентного обмена, использующих упрощенные дифференциальные уравнения теплопроводности, движения или диффузии или частные решения этих уравнений. [c.440]

Адсорбцию ионов и незаряженных веществ можно различать по форме изотерм. Адсорбция незаряженных веществ была уже ранее рассмотрена Фрумкиным в его пионерской работе 1926 года, где он предположил, что изотерма Ленгмюра справедлива при постоянном потенциале электрода, если только учесть взаимодействие частиц примерно так, как это делается в уравнении состояния для газов. Теория адсорбции была предложена также Батлером (1929), однако проблема изотермы. адсорбции возникла вновь лишь после 1955 г., когда Парсонс начал свои фундаментальные исследования. Для однозначного решения этой задачи необходимы достаточно точные данные и, как стало ясно теперь, лучшим критерием является зависимость кривых дифференциальной емкости от активности адсорбата в объеме раствора. Интерпретацией таких кривых впервые занялись Фрумкин и Мелик-Гайказян (1952), которые показали, что скорость адсорбции на ртутном электроде контролируется диффузией. [c.11]

Обычно в эксперименте с помощью подходящего метода анализа прослеживается изменение концентрации вещества в фазе раствора и по этим данным строится кинетическая кривая — зависимость заполнения ионита каким-либо типом ионов от времени. Задача теории сводится к тому, чтобы дать уравнения, описывающие ход кинетической кривой. В тех случаях, когда это невозможно, теория должна давать по крайней мере дифференциальные соотношения, позволяющие определить производную заполнения смолы по времени как функцию экспериментально определяемых величин. Если задача, поставленная таким образом, решена, можно по экспериментальным данным определить кинетические характеристики (коэффициенты диффузии) обменивающихся ионов. Если же такие характеристики известны, то, выбрав подходящее решение, можно предсказать временной ход процесса обмена. [c.234]

Мейман Н. К теории концентрационной поляризации на капельном ртутном электроде. Сообщ. 1. Решение дифференциального уравнения диффузии. ЖФХ, 1948, [c.47]

Первое направление исследований процесса массоотдачи основано на составлении и интегрировании уравнений конвективной диффузии и гидродинамики. Это аналитическое и численное направление, однако, развивается лишь в весьма узких областях теории переноса. Надежные решения получены исключительно для задач тепло-и массообмена, связанных с обтеканием одиночной пластины, шара или црлипдра, переносом к вращающемуся диску и тому подобных задач [46, 68, 100, 117, 156, 206, 211 [. Даже для случая ламинарного течения жидкости решение перечисленных выше задач требует интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Проблема турбулентного течения вообще до сих пор не имеет строгого теоретического решения [117, 211]. [c.177]

Однако особенно плодотворной для изучения кинетики адсорбции оказалась теория газоадсорбционной хроматографии, подробно разработанная рядом чехословацких исследователей, с использованием метода моментов, широко применяемого в статистике. Впервые метод моментов для анализа хроматографических процессов был предлон ен Туницким. Теория моментов, используемая для решения линейных задач газоадсорб-циопной хроматографии, позволяет по форме хроматографического пика учесть действие продольной диффузии в газовой фазе, радиальной диффузии внутри поры частицы катализатора и конечной скорости адсорбции молекулы внутренней поверхностью поры. Опубликованные к настоящему времени работы показали большие возможности газовой хроматографии в исследовании процессов переноса и кинетики адсорбции на катализаторах. Попытка использования этого метода для изучения кинетики хемосорбции до последнего времени встречала, однако, серьезные затруднения из-за нелинейности обычной изотермы хемосорбции даже в области сравнительно невысоких парциальных давлений адсорбата. Поэтому, строго говоря, кинетику хемосорбции нельзя описать системой линейных дифференциальных уравнений. Переход же в линейную область путем значительного снижения концентрации адсорбата может быть осложнен влиянием неоднородности поверхности. В связи с этим большой интерес представляет оригинальная изотопная методика определения скорости хемосорб-ции водорода, описанная в главе четвертой, в которой показана возможность обработки экспериментальных данных по кинетике хемосорбции в случае нелинейных изотерм с использованием аппарата теории моментов. Б дальнейшем, по-видимому, эту идею можно будет обобщить на другие системы путем применения к ним методов, близких методам описания вэ- [c.5]

Теория Нернста является качественной теорией диффузионной кинетики гетерогенных процессов, так как она не дает теоретического выражения для толщины диффузионного слоя б. Следовательно, теоретически не может быть рассчитано абсолютное значение этого потока. Количественная теория диффузионной кинетики гетерогенных процессов основывается на различных решениях дифференциальных уравнений молекулярной или конвективной диффузии rank I., 1956 Голубев В. С., Гарибянц А. А., 1968]. [c.12]

Теоретический расчет коэффициентов массоотдачи, основанный на решении уравнения конвективной диффузии, возможен лишь для наиболее простых случаев движения жидкости. В связи с этим на практике пользуются либо эмпирическими зависимостями, либо полуэмпириче-скими, полученными с использованием теории подобия. В связи с этим часто экспериментальные данные по массоотдаче обобщаются с помощью теории подобия аналогично тому, как это проводится для теплоотдачи. Это объясняется общностью дифференциальных уравнений конвективной массоотдачи и теплоотдачи. [c.37]

Громоздкий вид решений уравнений диффузии в теории, учитывающей влияние внутреннего электростатического поля, а в ряде случаев и невозможность получения таких решений делает затруднительным качественное рассмотрение зависимости вида кинетической кривой от ра.эличных параметров, характеризующих обмен. Однако ряд существенно важных выводов можно сделать и при рассмотрении самих дифференциальных соотношбний. Особенно удобно для этой цели использовать начальные потоки хотя в случае взаимодиффузии разновалентных ионов этот способ также не облегчает анализ закономерностей процесса. Отметим прежде всего то обстоятельство, что начальный поток не зависит [c.252]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология