Метод вариационный локальная

Очевидно, что предложенный алгоритм определяет только локальное решение минимаксной задачи (если оно существует). Чтобы получить глобальный оптимум, необходимо применить итерационный подход такой, например, как изменение начальной точки поиска или метод вариационных преобразований относительно к. с. р. п. [c.219]

Удобным численным методом решения вариационных задач является метод локальных вариаций [9], развиваемый в последнее время для решения технических задач. Он отличается от метода кусочно-линейной аппроксимации использованием последовательных приближений при поиске точек экстремали. Поиск начинается с замены экстремали произвольной ломаной, проходящей через краевые точки и удовлетворяющей заданным ограничениям на величины х (т) (начальное приближение). Начальное приближе- [c.214]

В разд. 10.8 будет приведено общее выражение для локальных, потенциалов, которое иллюстрируется несколькими примерами в гл. 12. В связи с этим, необходимо подчеркнуть, что в практических целях локальный потенциал можно использовать и в обычных вариационных методах, независимо от его физической интерпретации, например на основе формулы Эйнштейна. В этом случае предположение о локальном равновесии непринципиально и метод вычисления можно применять к более общим задачам, относящимся, например, к реологии, для которой локальная энтропия может зависеть от дополнительных переменных. Некоторые приложения такого типа были исследованы Шахтером [166]. [c.127]

Численное моделирование нагруженности. Численное моделирование рассмотренных выше условий эксплуатации АЭС, термомеханической и динамической нагруженности ее оборудования заключается в последовательном решении краевых задач гидродинамики и теплопереноса (3.26)-(3.34), несвязанных неизотермических динамических в общем случае краевых задач термоупругости или термопластичности. Последние в зависимости от используемых методов решения могут быть представлены в локальной форме в виде дифференциальных уравнений, в вариационной или интегральной форме. [c.97]

Такой подход можно рассматривать как своего рода метод КВ, правда, несколько необычный. На первый взгляд, появление конфигураций бив (рис. 7.3) кажется совершенно нелогичным, так как они соответствуют таким ситуациям, когда электроны находятся на неправильных МО. Так, для состояний бив электрон, расположенный на- МО р, имеет спин а, тогда как МО а-типа занята электроном со спином р. На самом деле ни один из этих определителей не соответствует возможным состояниям аллила, поскольку ни один из них не является собственной функцией оператора Они введены просто как удобные функции базисного набора для рассмотрения аллила с помощью вариационного метода выбор функций в таком случае абсолютно произволен, если эти функции удовлетворяют необходимым локальным условиям. В данном случае единственное локальное условие состоит в том, чтобы [c.334]

Что касается вариационных принципов термодинамики и особенно изложенного в гл. VI интегрального принципа, то здесь положение существенно иное. Уже в 1968 г. стало ясно, что настоящим интегральным принципом термодинамики следует считать не парциальную форму, выведенную из представления через силы (6.1), а интегральную форму универсального принципа (4.72). Этот факт весьма важен по следующим причинам. Во-первых, универсальный интегральный принцип, называемый также направляющим принципом диссипативных процессов, указывает на существование абсолютного экстремума, в отличие от парциальной формулировки (6.1). Во-вторых, все известные до сих пор вариационные методы термодинамики (метод локального потенциала, метод Био и т. д.) получаются как частные случаи из универсального принципа при весьма сильных ограничениях. В-третьих, универсальный принцип остается верным в случае любой нелинейной термодинамической теории, если только существуют потенциалы рассеяния. Поэтому читателю, желающему более подробно [c.20]

Метод локального потенциала позволяет решать несамосопряженные системы дифференциальных уравнений с помощью приближенных методов вариационного исчисления, который в частном случае самосопряженных уравнений сводится к классическому методу Релея—Ритца. Конечно, существуют и другие методы построения функционалов, дающих стационарное решение заданной несамосопряженной системы дифференциальных уравнений. Для этого строятся лагранжианы, содержащие дополнительные неизвестные функции, не входящие в первоначальные уравнения. Общий обзор таких методов и особенно методов, относящихся, к ассоциированным функциям, дан Шехтером [166] этот автор рассматривает также трудности, которые могут здесь возникнуть. Методы, основанные на ассоциированных функциях, не следует путать с методом локального потенциала. Как мы видели, метод [c.148]

ЦИИ (гл. 9). Обычно этот критерий возникает в форме неполного дифференциала, а это означает, что не существует термодинамического потенциала, который может быть в классическом смысле связан с этим критерием. Однако он может быть использован для обобщения понятия термодинамический потенциал — это так называемый локальный потенциал (гл. 10). Главная особенность метода локального потенциала состоит в том, что каждая неизвестная функция (например, распределение температуры в нелинейной задаче теплопроводности) появляется дважды один раз — как среднее значение и другой раз — как флуктуирующая величина. Это приводит к обобщению классической вариационной техники на несамосопряженные задачи. Локальный потенциал достигает минимума (в функциональном смысле), когда среднее значение совпадает с наиболее вероятным. [c.13]

В этой главе будет показано, что наша макроскопическая теория содержит дополнительную информацию, из которой вытекает понятие локального потенциала, позволяющее использовать вариационные методы в несамосопряженных задачах. На самом деле, ук анное минимальное свойство имеет простой физический смысл. Оно означает, что решение задачи соответствует наиболее вероят- [c.126]

Как будет показано в следующем разделе, вариационный самосогласованный метод позволяет доказать сходимость последовательных приближений. Это доказательство основано на том, что Ф( . Го) имеет минимум при Т=Та (10.16) оно является прямым следствием вариационных свойств локального потенциала, отсутствующего в методе Галеркина. Кроме того, локальный потенциал дает простую физическую интерпретацию метода Галеркина. Действительно, как мы-уже видели, уравнение (10.28) отражает тот факт, что наиболее вероятное решение совпадает со средним. [c.134]

Мы видим, что положение здесь такое же, как в обычных самосопряженных задачах. Существование вариационного метода позволяет найти некоторые дополнительные свойства, не вытекающие из уравнений Галеркина (10.28). Но так как локальный потенциал не является истинным, выводы получаются менее убедительные, чем в обычной самосопряженной задаче. На самом деле сходимость метода локального потенциала выходит за рамки области, ограниченной выведенным выше достаточным условием. В качестве примера рассмотрим экспоненциальную зависимость К от Т [175] [c.137]

Вводя локальный потенциал, вместо самосогласованного метода можно использовать метод пробных функций в вариационном методе итераций. Например, для стационарной задачи теплопроводности, исходя из произвольной функции Го, удовлетворяющей граничным условиям, первое приближение для Г вычисляется путем минимизации локального потенциала точно так же, как в методе Релея — Ритца. Затем полученный результат для Г беретея за исходное распределение Го и по нему вычисляется второе приближение и т. д. Критерии сходимости (10.46), (10.47) и (10.51), полученные выше для самосогласованного метода, могут быть доказаны и в данном случае независимо от выбора первой пробной функции [60]. Другой, несколько отличный от этого критерий был получен ранее Крускалом [97] для частного случая одномерной стационарной задачи теплопроводности. [c.139]

Конечно, возможны и другие формулировки, например с использованием множителей, определенных в (9.84) [58]. Кроме того, ради простоты, мы не интегрировали по частям тот член в (10.59), который соответствует химическим процессам. Это позволило нам избежать дополнительных выкладок, связанных с конкретизацией законов химической кинетики. Во всяком случае, метод от этого не меняется. Подчеркнем также, что отвлекаясь от физической интерпретации (10.21) как наиболее вероятного состояния, локальным потенциалом можно пользоваться просто как вариационной техникой безотносительно к нашему фундаментальному предположению о локальном равновесии. В связи с этим, как отмечалось в разд. 10.1, можно рассматривать не только линейные кинетические законы типа (10.60), но и такие, как в реологии (неньютоновы жиакости и пр.). Несколько задач такого типа было изучено Шех-тером [166]. С другой стороны, можно ожидать, что метод локального потенциала приложим не только в термо- и гидродинамике, но и в других областях. Такой пример, относящийся к кинетической теории газов, кратко изложен в разд. 10.11 [153], [124—126], Однако прежде всего посмотрим, как метод локального потенциала можно обобщить на случай процессов, зависящих от времени. [c.143]

Определение функции распределения по кинетическому уравнению— основная задача как в статистической механике, так и в кинетической теории. В линейной области, соответствующей малым отклонениям от локального равновесия, можно с успехом использовать вариационный метод [131]. Заметим, что при рассмотрении несамосопряженных задач вдали от локального равновесия (область нелинейности, система во внешнем поле и т. п.) уже невозможно вывести кинетические уравнения из лагранжиана. В этом разделе будет показано, что понятие локального потенциала, введенное ранее в макроскопической физике, можно использовать для определения функции распределения, по крайней мере методом последовательных приближений [124—126, 153]. [c.146]

Как следует из (10.28), метод Галеркина и метод локального потенциала приводят к одним и тем же уравнениям Эйлера — Лагранжа. Основное достоинство метода Галеркина заключается в его большой общности [87]. Он может быть использован в решении и несамосоиряженных и нелинейных систем дифференциальных уравнений. К сожалению, этот метод не имеет вариационной природы и потому не содержит никакого минимального свойства, позволяющего решить задачу о сходимости последовательных приближений (разд. 10.5—10.7) Именно в этом пункте метод локального потенциала вносит существенное дополнение к методу Галеркина, так как заранее постулирует свойство минимума. Кроме того, во всей области, где справедливо предположение о локальном равновесии, минимальное свойство допускает очень интересную физическую интерпретацию. Как показано в гл. 8, этот минимум соответствует наиболее вероятному состоянию, что согласуется с формулой Эйнштейна для флуктуаций около неравновесного состояния. [c.149]

Как уже отмечалось в разд, 10.12, метод локального потенциала не является единственным. Имеются и другие методы вычисления предельных состояний ламинарного потока, например ко-нечно-разностный метод Томаса, которым он пользовался еще в 1952 г. Вариационная техника для несамосопряженных задач также была разработана независимо от метода локального потенциала [105. Результаты всех перечисленных методов удовлетворительно согласуются друг с другом. Упомянем еще вариационный метод, введенный Николем и основанный на теории Малкуса [117, 118, 130]. По мнению авторов данной книги, ценность метода локального потенциала состоит в его широте и общности (разд. 10.12). [c.191]

Благодаря развитию вычислит, методов и значит, совершенствованию неэмпирич. расчетов электронного строения молекул было установлено, что для достижения точности расчетов, сравнимой с точностью лучших эксперим. измерений, вариационные волновые ф-ции должны быть построены иа значительно более широком базисе исходных ф-ций, чем при использовании методов мол. орбиталей, и содержать слагаемые, отвечающие не одной, а нескольким разл. конфигурациям электронной оболочки. Это позволяет получить более сложную картину электронного строения молекул, учитывающую локальное, а не усредненное по всем возможным положениям влияние электронов друг на друга, т. е. электронную корреляцию. Расчеты показывают, что во мн. случаях электронная корреляция определяющим образом влияет на энергетические и др. характеристики молекул. [c.366]

Анализ осуществляется а posteriori методами. Заряды атомов и порядки связей, использующиеся в методе ППДП Попла, так же как и локализованные молекулярные ССП-рас-пределения, могут изменяться от одной конформации к другой, причем эти изменения иногда и определяют разность конформационной энергии. Но элементы матрицы плотности или локализованные МО получаются в результате одной или нескольких вариационных процедур, включающих оптимизацию геометрии, В свою очередь хвостовые части локализованных МО иногда играют главную роль [80—83, 85] или вызывают энергетические изменения, усложняющие анализ. Ссылка на локализованные МО еще менее обоснована, чем ссылка на локальные элементы матрицы плотности. Можно представить, например, что локализованные Is-MO изменяются, тогда как соответствующая плотность не изменяется. [c.217]

Обтекание капель и пузырьков изучено меньше. После решений Тейлора и Акривоса [10] область значений критерия Рейнольдса была расширена в работах [19, 20] до К е < 80, причем в качестве метода решения уравнений Навье —Стокса был выбран тот же вариационный метод, что и в исследованиях Кавагути [11]. Следует отметить, что хотя значения коэффициента сопротивления рассчитанные вариационными методами, дают приемлемую погрешность, предсказанные значения локальных гидродинамических характеристик, таких, как картины линий тока, размеры вихревого кольца, оказываются мало пригодными. [c.17]

Принцип наименьшего рассеяния энергии сначала будет сформулирован в локальной форме [55—57]. Такой метод соответствует духу теории поля, и мы увидим, что с помощью вариационного принципа наименьшего рассеяния энергии можно получить всю иеравиовесиую термодинамику. Прежде всего рассмотрим выражение принципа через потоки, которое, как уже отмечалось, было предложено Онсагером для нелокальных конкретных случаев. Необходимо подчеркнуть, что Онсагер [27, 51] не дал локальной формы варнациоиных принципов даже для частных случаев. Формулировкой интегрального принципа мы займемся позднее, после того как дадим описание всех локальных представлений. [c.149]

Наконец, обратимся к новой теории, развитой Глансдорфом и Пригожиным как обобщение принципа минимального производства энтропии эта теория справедлива и в тех случаях, когда коэффициенты проводимости не постоянны, а являются функциями локальных параметров состояния. В этой теории роль производства энтропии играют так называемые локальные потенциалы , которые можно рассматривать как такие потенциалы рассеяния Рэлея — Онсагера, в которых коэффициенты являются функциями параметров состояния. Однако, хотя применение теории локальных потенциалов представляет реальный практический интерес, так как открывает пути к использованию хорошо известной вариационной техники (метод Рэлея —Рица, метод самосогласо-вания и т. д.), эта теория не идентична вариационному принципу в классическом смысле, а скорее является лишь [c.203]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология