Галеркина метод

Наряду с методом сеток для дискретизации задач тепло- и массообмена часто используется и так называемый дштод функциональных представлений. Согласно этому методу искомые функции представляются в виде конечных разложений но заданным функциям с неизвестными числовыми коэффициентами. Алгебраические уравнения для этих числовых неизвестных получаются различными способами (метод Галеркина, метод Галеркина — Петрова, метод коллокации и др.). [c.11]

Для более высоких значений критерия Рейнольдса Кег <70 Кавагути [9] получил решение уравнения Навье-Стокса в форме (1.12) для случая обтекания твердой сферы с помощью приближенного вариационного метода Галеркина. Хамилек с соавторами [10, И] развил далее этот подход, получив приближенное решение при обтекании твердой сферы для значений Кв2<5000 и при обтекании жидкой капли или газового пузыря для Яб2 <80. [c.12]

Для произвольных значений параметра и при малых и средних значениях Яе изучение обтекания сферической частицы потоком неньютоновской жидкости проводилось в работах [50] с помощью приближенных вариационных методов (типа метода Галеркина). При малых значениях Ке для коэффициента сопротивления получена формула [c.34]

Для 5<К <25 Накано и Тьен [50] с помощью метода Галеркина получили приближенное решение задачи о движении капли ньютоновской жидкости в неньютоновской среде, описываемом уравнением (1.105). Расчеты проводились при значениях 0,6<и< 1 и 0,0КЛГ<2. Численные значения коэффициента сопротивления приведены в табл. 1.5. При увеличении Ке, как следует из табличных данных, коэффициент сопротивления для псевдопластическ рс жидкостей падает быстрее, чем для ньютоновских. Так, если при Ке<1 коэффициент сопротивления при движении в псевдо пластической среде для любых значений п и X выше, чем в ньютоновской, то уже при Ке = 25 для и = 0,6 и 2 наблюдается обратный эффект. Расчеты Накано и Тьена основаны на использовании системы аппроксимирующих функций, близких по виду к функции потенциального течения. Этим обусловлено отсутствие предельного перехода в решении при Ке 0. [c.34]

Массо- и тешюобмен при больших значениях критерия Пекле рассматривался также в работах [251, 252] на основании приближенного решения уравнения конвективной диффузии (4.42) при условиях (4.43) методом Бубнова—Галеркина. [c.184]

Заметим, однако, что метод Ритца — Галеркина в его классическом виде имеет два существенных недостатка. Во-первых, практически построение базисных функций, по которым производится разложение искомого решения, возможно только для некоторых специальных областей. Во-вторых, соответствующие матрицы Ритца — Галеркина являются полными матрицами и часто даже для сравнительно простых задач плохо обусловлены. [c.11]

Принципиальное различие между методом конечных элементов и классической техникой Ритца — Галеркина лежит в построении базисных функций. В методе конечных элементов базисные функции выбираются в виде так называемых сплайн-функций [31—36] и для областей общего вида могут быть вычислены весьма просто. Главная особенность сплайн-функций состоит в их финитности, т. е. в том, что они обращаются в нуль всюду, кроме фиксированного числа элементарных подобластей, на которые делится данная область. Это свойство влечет за собой разреженность и ленточную структуру матрицы Ритца — Галеркина, а также устойчивость численного процесса решения системы уравнений. [c.11]

Основанный на Л-функциях структурный метод решения краевых задач может служить основой для разработки подсистем автоматизированного поиска рационального варианта численного решения задачи. Примером соответствующей системы программирования является генератор программ (ГП) Поле-1 [39—42]. В состав ГП, кроме транслятора с библиотекой систем программирования, входит магнитная лента Архив — Поле-1 , на которой хранятся программные модули и управляющие программы, обслуживающие ГП Поле-1 . Принципы построения ГП Поле-1 позволяют ставить задания генератору как в виде приказа решать конкретную краевую задачу, так и в виде ряда предписаний, позволяющих сформировать новый алгоритм решения. В Архиве записаны отлаженные блоки различных алгоритмов и методов решения, а также различные вспомогательные программы, предусматривающие модификации этих методов (методы интегрирования, полиномы, i -oпepaции, программы линейной алгебры и т. п.). ГП Поле-1 реализует быструю и удобную смену структуры решения (10). Выбор неопределенной компоненты в структуре может быть определен одним из вариационных методов, сеточным, разностноаналитическим и т. д. ГП Поле-1 располагает аналитическими методами Ритца и Бубнова — Галеркина и допускает возможность просчета одной и той же задачи разными методами. При этом каждая из неопределенных функций представляется в виде [c.14]

В работе [4] предлагается использовать дифференциальные операторы, легко обратимые во всей области нахождения решения, для построения специальных координатных функций в обобщенном методе Бубнова — Галеркина. [c.145]

Решение нестационарной задачи значительно упрощается в условиях регулярного теплового режима, когда для описания температурного поля достаточно использовать первую моду ряда Фурье. Для решения задачи просева заготовки в виде цилиндра с эксцентричным отверстием используется преобразование Лапласа, решение в области изображений обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка методом Галеркина и переход в область оригиналов. Теплофизические свойства материала считаются постоянными. На поверхности принимается граничное условие первого рода. [c.72]

VII, 29) возникают новые численные трудности (помимо того, что находится стационарное состояние). Метод, использующий орто-гонализацию для усреднения остатка с помощью интегрирования, носит имя Галеркина. [c.163]

При сравнении с уравнением VII, 76) становится ясно, что метод Галеркина выделяет первые п собственных значений из бесконечного ряда. Увеличение п ведет к улучшению аппроксимации с помощью уравнения (VII, 25). Однако это не имеет успеха при решении задачи, когда новые собственные значения отрицательны и велики. В общем, при анализе устойчивости с помощью метода Галеркина желательно использовать достаточно большое п, чтобы с большей вероятностью определить по крайней мере знак наибольшего собственного значения. Это обычно требует ряда проверок по мере возрастания п. [c.163]

Метод сведения уравнения в частных производных к приблизительно эквивалентной совокупности обыкновенных дифференциальных уравнений является одним из так называемых взвешенных разностных методов. В обзоре Финлайсона и Скривена (1966 г.) показано, что методы этой группы существенно отличаются только способом исключения остаточного члена и нет никаких причин считать метод Галеркина лучшим. [c.164]

Объем вычислений, проводимых при использовании метода коллокации для матриц малого порядка, значительно меньше, чем при применении метода Галеркина. Кроме того, необходимое преобразование матрицы более удобно, чем интегрирование. Заметим, что при использовании метода коллокации исключается появление интегралов (VII, 29). [c.165]

Метод Галеркина и обычный метод коллокации объединяет то, что они формулируют задачу в обозначениях переменных а,- ( ) приближенного решения. До тех пор, пока мы интересуемся только знаками собственных значений, это не является серьезным препятствием, но становится неудобным, если рассматривать решение с точки зрения его непосредственной связи с переменными состояния. В целях устранения этого недостатка Вилладсен и Стюард (1967 г.) предложили модифицированный метод коллокации, который основан на том, что рассмотрение высших степеней ряда приближенного решения позволяет выразить члены с производными линейной комбинацией переменных состояния. [c.166]

Имея в виду допущения, которые необходимы для обоснования разделения, отметим, что ни метод Галеркина, ни различные методы коллокации не требуют никаких ограничений на начальные условия и промежуточные состояния. Единственное неудобство, которое возникает при использовании связанных уравнений, состоит в увеличении размерности системы, что в свою очередь ведет к увеличению объема вычислений, обусловленному повышением порядка матриц. [c.172]

Чтобы воспользоваться методом Галеркина, необходимо иметь приближенное решение для каждой переменной состояния [c.173]

При использовании взвешенного разностного метода существенным является определение необходимой степени аппроксимации, т. е. отыскание значения п, достаточно малого для обеспечения легкости вычислений и достаточно большого для получения необходимой точности. Естественно предположить, что для изучения устойчивости системы, описываемой моделью частицы катализатора, достаточно довольно малого значения п. Куо и Амундсон (1969 г.) в результате тщательного исследования получили профили четырех стационарных состояний с помощью метода Галеркина. В любом случае заключение об устойчивости системы было корректным уже при п = 1 и ни в одном из случаев не потребовалось значения /г > 3, чтобы получить собственные значения с точностью до трех значащих цифр. Для изучения той же системы Макговин (1969 г.) также использовал метод Галеркина, но он в основном исследовал влияние изменений числа Льюиса. В качестве примера был выбран случай с тремя стационарными состояниями, приведенный на рис. У1-10. Эти профили оказались справедливыми для любых чисел Льюиса при следующих значениях остальных параметров [c.174]

Рис. УП-1. Характер сходимости наибольшего собственного значения, рассчитанного по методу Галеркина.

Оценка по методу Галеркина наибольшего собственного значения линеаризованных уравнений монотонно сходится к положительным или отрицательным величинам, требуя при этом от трех до десяти членов в приближенном решении для сходимости наибольшего собственного значения к постоянной величине. Монотонная сходимость наблюдается в направлении уменьшения собственного значения для стационарных состояний при низкой степени превращения для D/a < 1 и для стационарных состояний при высокой степени превращения для D/a приблизительно между 0,5 и 1,0. В остальных случаях наблюдается монотонная сходимость в сторону увеличения собственного значения. На рис. VI1-1 изображен характер сходимости оцениваемых наибольших собственных значений для стационарного состояния при высокой степени превращения и числах Льюиса 0,25 и 0,50. [c.175]

Исследование этой проблемы в случае сферической геометрии было проведено Ли и Лассом (1970 г.) при использовании семи членов разложения методом Галеркина для средних значений чисел Льюиса. Согласно Макговину, неустойчивость обнаруживается при малых значениях числа Льюиса. Для D/a < 0,5 переходные состояния системы оказывались колебательными, а для D/a = 0,1 было получено единственное, но неустойчивое стационарное состояние. Как следует из более раннего доказательства Гаваласа (1968 г.), стационарное состояние неустойчиво для любых чисел Льюиса, если оно неустойчиво для Dia = 1. К счастью, большинство используемых на практике катализаторов имеют числа Льюиса, достаточно большие для того, чтобы исключить неустойчивость. [c.175]

В качестве альтернативы методу Галеркина для связанных уравнений (УП, 58) может быть использована коллокация. Уравнение [c.175]

Результаты исследований, рассмотренные выше, показывают, что взвешенные разностные методы приводят к корректным результатам относительно устойчивости при сравнительно небольших значениях п. Как было отмечено, симметричная матрица А удобна, хотя свойство симметричности и не столь существенно. Однако для матриц большой размерности преимущество симметричности становится явным. Заметим, что из всех взвешенных разностных методов, описанных выше, только метод Галеркина может привести к симметричной матрице, но даже он не подходит для анализа связанных уравнений. [c.178]

К этой системе может быть применен метод Галеркина при условии выбора удобной приближающей функции. Сравнение с решением (VII, 10) предполагает форму [c.179]

Рис. УП-2. Характер сходимости наибольшего собственного значения, рассчитанного по методу Галеркина (трубчатый реактор с продольным перемешиванием).

Пример УП-6. При введении метода Галеркина в этой главе было упомянуто, что для удовлетворения граничным условиям задачи необходимо выбрать приближенное решение. Справедливо ли это для приближающей функции (УП,74) относительно условий (УП,73) модели трубчатого реактора с продольным перемешиванием [c.181]

Очевидно, что стационарное состояние, устойчивость которого установлена таким образом, будет единственным. Следует также заметить, что это условие устойчивости аналогично неравенствам (VII,39а) и (VII,56а), полученным с помощью метода Галеркина и метода коллокации, соответственно. [c.186]

В методе Галеркина аппроксимирующие интерполяционные функции подставляются в исходные дифференциальные уравнения, умноженные на весовые функции, представляющие собой остаточные функции формы, а затем интегрируются по всему объему. Полу- [c.597]

Как отмечалось выше, процесс каландрования анализировался Влачопулосом методом МКЭ [17, 20, 21]. Область течения разбивалась на треугольные или прямоугольные элементы (рис. 16.7 й 16.8), а численное интегрирование системы исходных дифференциальных уравнений проводилось методом взвешенных невязок (разновидность метода Галеркина). Оба подхода привели к одина- [c.601]

Для получения решения уравнения (5.1.12) с граничными условиями (5.1.14), (5.1.16) будем использовать метод Галеркина, применяемый при приближенном решении обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка (см. [12]). С этой цельк> [c.207]

Отметим, что метод Галеркина применим к обыкновенному дифференциальному уравнению только в случае, когда граничные условия являются нулевыми. Кроме того, необходимо привести само уравнение (5.1.12) к более удобному виду. В связи с этим произведем замену функции 0(дг, /) иа новую функцию 1(л , I) по формуле [c.208]

Метод Галеркина дает алгоритм для вычисления таких коэффициентов dn(p), 1,2, N, что функция р) является наиболее точной аппроксимацией вида (5.1.27) для решения уравнения (5.1.22). Опишем этот алгоритм подробно. Подставим функцию Р) в уравнение (5.1.22). Поскольку Р) не является точным решением этого уравнения, правая часть в (5.1.22) при указанной подстановке будет отлична от нуля и будет некоторой функцией от л и р. Обозначим эту функцию г х,р) [c.209]

К первой группе относятся попытки применения прямых методов. Наиболее разработаны к настоящему времепп для уравне . ний Навье — Стокса методы Галеркина и некоторые их модифи кации [70], [71]. Эти методы обладают многими преимуществами, к числу которых относятся точность, возможность сокращения объема информации и экономичность. Однако сходимость этих методов в значительной степени зависит от выбора пробных функции, поэтому успешная реализация их достигнута лишь в ряде специальных случаев, папрпмер в задачах конвекции при наличии свободных и периодических границ, где известно аналитическое решение линейной задачи. [c.253]

Т0.4. Сравнение с методом Галеркина [c.133]

Отсюда сразу видно, что п подынтегральных выражений имеют вид произведения ортогональной функции ф , удовлетворяющей граничным условиям, на соответствующее приближение левой части уравнения Фурье (10.11), решение которого мы ищем. Следовательно, при численном расчете самосогласованный метод сводится к хорошо известному методу Галеркина [87]. Следуя этому методу, надо в уравнение теплопроводности (10.11) подставить приближение п-го порядка (10.25) (опускаем индекс О ). Тогда п коэффициентов аи определяются п условиями ортогональности [c.134]

Как будет показано в следующем разделе, вариационный самосогласованный метод позволяет доказать сходимость последовательных приближений. Это доказательство основано на том, что Ф( . Го) имеет минимум при Т=Та (10.16) оно является прямым следствием вариационных свойств локального потенциала, отсутствующего в методе Галеркина. Кроме того, локальный потенциал дает простую физическую интерпретацию метода Галеркина. Действительно, как мы-уже видели, уравнение (10.28) отражает тот факт, что наиболее вероятное решение совпадает со средним. [c.134]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология