Точка вырожденная

Рис. 24. Адиабатический потенциал вблизи точки вырождения,

Короче говоря, вблизи точки вырождения адиабатический потенциал минимума не имеет, но изменится ли от этого ядерная конфигурация, сказать заранее, без рассмотрения уравнения Шредингера для подсистемы ядер, нельзя. [c.113]

Если учесть межатомное взаимодействие, возрастающее по мере сближения атомов, то вырождение двух возможных состояний системы Tps и грА снимается. Расчет изменения энергии за счет возмущающего воздействия здесь опущен остановимся только на конечных результатах такого расчета и дадим качественное описание поведения системы. Устойчивое состояние в противоположность невозмущенному состоянию имеет более низкую энергию и соответствует симметричной волновой функ [c.84]

Состояние электрона, описываемое побочным квантовым числом I, квантовано в пространстве. Для каждого значения I имеется 2/ 1 энергетически эквивалентных пространственных конфигураций орбиталей, которые описываются магнитным квантовым числом Побочному квантовому числу I = О соответствует одна 5-орбиталь, обладающая шаровой симметрией. Для I = 1 имеются уже три р-орбитали со значениями = —1, О, + 1. Эти орбитали характеризуются равной энергией и в этом отношении полностью эквивалентны, если в атоме отсутствует система осей координат, по которым эти орбитали могли бы быть пространственно ориентированы. Отмечая равноценность трех р-орбиталей, их называют трехкратно вырожденными. Однако, если атом попадает во внешнее электрическое или магнитное поле или же входит в состав молекулы, тем самым задается система координат. Так как по отношению к этой системе отсчета р-орбитали могут ориентироваться различно, то вырождение снимается. Вследствие этого появляется различие в энергиях между состояниями, характеризующимися различными значениями магнитного квантового числа т . Аналогичным образом можно рассмотреть снятие вырождения нескомпенсированных [c.176]

Е2 2 Л. шестикратно вырожден. В одном из этих шести состояний угловой момент равен нулю (5-состояние), остальные пять состояний относятся к -состояниям. Они различаются между собой значениями проекций углового момента. Пятикратное вырождение -состояний является результатом сферической симметрии потенциального поля. Вырождение, благодаря которому 5-состояние имеет энергию, совпадающую с -состояниями, является случайным . Оно обусловлено не симметрией задачи, а квадратичной зависимостью потенциальной энергии (37,1) от радиуса. Если потенциальная энергия отличается от (37,1), например, членом то вырождение, связанное со сферической симметрией, сохранится, а случайное вырождение будет отсутствовать. [c.174]

Если а равно нулю или целому отрицательному числу, а = = —п, то вырожденная гипергеометрическая функция сводится к полиному /г-й степени [c.684]

Рис. 16. Законы дисперсии, обладающие точкой вырождения ( Б, о) нз границе зоны Бриллюэна.

Если же в рассматриваемой точке на границе зоны имеет место вырождение, то графики законов дисперсии могут подходить к границе зоны Бриллюэна под произвольным углом. На рис. 16 изображены три графика законов дисперсии для направления в обратном пространстве, перпендикулярного некоторой паре граней зоны Бриллюэна (точки к = кв задают положения границ зоны). Точка вырождения на границе зоны соответствует частоте со — Юд. [c.39]

I Заметим, что возможность особого поведения закона дисперсии в точках вырождения, естественно, отсутствует в скалярной модели. [c.39]

При условии 1 (к) < 2 (к) для фиксированного направления к спектр частот оптических колебаний оказывается отделенным конечной щелью от спектра частот акустических колебаний. Однако вполне возможна ситуация, когда для некоторых к выполняется условие 1 (к) > 2 (к). Тогда в к-пространстве имеются точки вырождения, где совпадают частоты акустических и оптических колебаний и происходит касание или пересечение двух ветвей. На рис, 28 изображена простейшая схема закона дисперсии сложной решетки, где нет указанных пересечений или касаний. [c.79]

Рис. VI. 3. Поведение адиабатических потенциалов вблизи точки вырождения в эффекте Яна — Теллера (а) и вблизи точки псевдопересечения (показано пунктиром) в псевдоэффекте Яна — Теллера (б).

Рис. VI. 4. Поведение адиабатических потенциалов в точке вырождения в случае эффекта Реннера

Рис. IV. 2. Пересе-чение адиабатических потенциалов в точке вырождения Р, Статическая неустой чивость Яна —Теллера (нелинейные молекулы).

Рис. IV. 3. Поведение адиабатических потенциалов в точке вырождения Р. Динамическая неустойчивость Реннера (линейные молекулы).

Короче говоря, вблизи точки вырождения адиабатический потенциал минимума не имеет, но изменится ли от [c.108]

Когда совпадают два или больше собственных значений, соответствующих какому-то вырожденному состоянию системы, то и в этом случае можно без потери общности принять, что соответствующие собственные функции ортогональны друг другу. Обычно предполагают, что совокупность всех нормированных собственных функций уравнения (1.1.1) образует полную ортонормированную систему. Это означает, что любая функция из одного и того же класса функций может быть представлена как линейная комбинация базисных функций Ч " полной системы с любой требуемой точностью при условии, что взято достаточное число функций в этой комбинации. Подробности см. в гл. 2. [c.12]

I 2е (область II). Последний благодаря большему числу дефектов обычно приводит к уменьшению наклона. Таким образом, в области I наклон несколько повышается с ростом концентрации и затем в области II уменьи ается. В случае изобар и линий постоянной концентрации влияние перехода к статистике Ферми и поправок Дебая — Хюккеля оценить намного труднее. Вырождение стремится уменьшить концентрацию электронов или дырок. Однако априори не ясно, при каких температурах, высоких или низких, оно происходит. Если число носителей с ростом температуры увеличивается быстрее, чем число доступных состояний, т. е. быстрее, чем Т /=, то вырождение возрастает в том же направлении и, очевидно, уменьшает наклон. В противоположном случае оно происходит при низкой температуре и увеличивает наклон. [c.351]

Отсюда видно, что при определенном значении энергии е точка вырождения (точка ро пересечения поверхностей) определяется тремя уравнениями [c.35]

Ясно, что в общем случае (без специальных предположений) точки вырождения располагаются вдоль некоторой линии в р-пространстве (каждому значению энергии е соответствует [c.35]

ОДНО значение квазиимпульса ро), причем точки вырождения — конические особые точки самопересекающейся поверхности [c.36]

Рис. 9. Изоэнергетическая поверхность, содержащая две точки вырождения.

Собственные значения энергий могут- образовывать либо дискретную последовательность уровней анергии, либо непрерывную последовательность (сплошной спектр), либо и то и другое вместе. Это — первая особенность квантовой статистики по сравнению с классической механикой, в которой величина II, являясь непрерывной, всегда образует сплошной спектр. Вторая особенность состоит в том, что каждому уровйю энергии может соответствовать не одна, а несколько собственных функций. В этом случае число собственных состояний частиц, связанных с данным значением энергии, характеризует вырождение уровня. Если кратность вырождения, соответствующая некоторой энергии например, равна gi, то и число собственных состояний, соответствующих этой энергии, равно и в этом случае говорят о --кратном вырождении -го энергетического уровня. Для невырожденного состояния, естественно, число собственных состояний g = I. Поскольку каждое собственное состояние (первый постулат) имеет одинаковую вероятность реализации, то вырождение 1 нагзывается также априорной вероятностью или статистическим весом данного энергетического уровня. [c.59]

В элементарном химическом акте при движении вдоль координаты реакции молекулярная система очень часто проходит через вырожденные электронные состояния два или больше электронных терма имеют одинаковую или близкие энергии. В точках вырождения уровней даже бесконечно малые возмущения V могут полностью перепутать разные состояния. Это становится только вопросом времени жизни реагентов в области вырождения состояний, г. Эта ситуация схематически изображена на рис. 6. На этом рисунке показано пересечение двух диабатических термов и их расталкивание возмущением V. Получающиеся в итоге адиабатические термы изображены штриховыми линиями. [c.10]

При рассмотрении задачи об атоме водорода было установлено, что каждый уровень с заданным главным квантовым числом и > 1 вырожден, причем кратность вырождения растет пропорционально 2. Если поле перестает быть кулоновским, то вырождение частично или полностью снимается, так что имеет смысл понять, в каких случаях такое снятие вырождения будет происходить и как конкретно будут расщепляться уровни. При этом будем предполагать, что изменение кулоновского поля вводится внещним электромагнитным полем, на влиянии которого мы и должны будем остановиться детальнее. [c.120]

При квантовомеханическом рассмотрении электронно-ядерных молекулярных систем в большинстве случаев используется адиабатическое приближение [ I], согласно которому задача сводится к решению электронного и ядерного уравнений. Дальнейшие улучшения теории могут быть основаны либо на вариационном методе [2], либо на теории возмущений, приспособленной к специфическому для данной задачи сингулярному возмущению [ 3 ]. Оба метода могут быть применены в задаче с однопараметричес-КЕМ электронным гамильтонианом только в отсутствие точек вырождения электронных собственных значений. [c.211]

Продолжение собственных значений через точку вырождения, испо.ть щцее их непрерывность а), неоднозначно. Продолжение, [c.213]

Если молекула обладает угловым электронным моментом или ядерным спином, то вырождение энергетических уровней в основном состоянии можно снять с помощью постоянного магнитного поля1 . Переходы между этими уровнями могут быть вызваны облучением с низкой энергией подходящей частоты V [101]. На практике [53, 56] часто более удобно поддерживать V постоянной и наблюдать изменение поглощения в зависимости от е. [c.347]

На рис. (VI. 3, а) показан схематический ход адиабатического потенциала в рассматриваемом случае двукратного электронного вырождения как функция координаты Qv, для которой интеграл (VI. 16) отличен от нуля. В точке вырождения Qv = Ql адиабатические потенциалы пересекаются, а вне этой точки происходит расщепление и снятие вырождения. Любое расщепление (при сохранении центра тяжести терма) приводит к понижению энергии основного подуровня расщепления, поэтому неполносимметричные конфигурации с Qv Ф энергетически более выгодны [до тех пор, пока не преобладают квадратичные члены потенциальной энергии ядер типа Ч2KiQv—Q vf, см. раздел VI. 3] и это может служить дополнительной иллюстрацией к теореме. [c.203]

Как следует из рис. VI. 5, точка Q2 — Qs = О есть точка пересечения двух ветвей поверхности ei и ег, а минимумы ее расположены вдоль окружности с радиусом ро = А /К на глубине ят == = Л /2/(. Отсчитанная от точки пересечения термов (точки вырождения) ят называется энергией стабилизации в эффекте Яна —Теллера. Для октаэдрической системы, например, минимумы поверхности с учетом формы смещений Q2 и Qs (см. рис. VI. 1) соответствуют таким искажениям октаэдра, при которых шесть лигандов остаются попарно на трех взаимно перпендикулярных тетрагональных осях, причем лиганды каждой пары расположены на одинаковом расстоянии от центра по обе его стороны, а суммы квадратов этих расстояний для трех пар во всех точках минимумов остаются постоянными. В этом случае можно предположить, что с учетом динамики ядра будут свободно перемещаться вдоль окружности радиуса Q2 + Qj=Po> непрерывно меняя пространственную конфигурацию системы в пределах описанных выше искажений. Вдоль остальных координат (а ф 2,3) поверхность адиабатического потенциала (VI. 20) имеет параболическую зависимость с минимумом в точке Qa = Qa- С учетом квадратичных членов вибронного взаимодействия в,возмущении (VI. 18) можно все матричные элементы выразить через один — на основе теоремы Вигнера — Эккар- та (аналогично линейному случаю). Тогда секулярное уравнение теории возмущения принимает вид [279] [c.210]

Заметим, что характер поведения листов поверхности в точке вырождения Q2 = Qa = О (рис. VI. 7) отличается от случая Е-терма (рис. VI. 5 и VI. 6) в то время как для Г-терма в этой точке происходит действительное пересечение поверхностей, в случае -терма она носит характер точки разветвления поверхностей. Соответствующие адиабатическим потенциалам (отдельным параболоидам на рис. [c.215]

С известными ограничениями (см. стр. 204) эффекты Яна Теллера и Реннера можно рассматривать как качественные аспекты обратной задачи вблизи точки вырождения или псевдовы-рождения. Ее более полное выражение дается системой уравнений (VI. 13). Собственные значения этой системы дают уровни энергии системы, а функции Xi(Q). будучи подставлены в выражение (VI.14), позволяют определить распределение ядерной плотности или вероятности той или иной конфигурации ядер. Дальнейшее обсуждение этой важной задачи дается при анализе приложений (главы VII—X). [c.224]

При наличии электронного вырождения (или псевдовырождения) вместо одной поверхности адиабатического потенциала появляется несколько (по кратности вырождения) поверхностей, пересекающихся в одной точке (точка вырождения). По этой причине каждая из них и все они вместе теряют простой физический смысл, становясь формальным понятием, особенно в районе пересечения (раздел VI. 2) [371]. В последнем задача превращается в сугубо квантовую, исключающую возможность использования полуклассического приближения. В этом случае поведение системы можно определить лишь после точного решения системы вибронных уравнений (раздел VI. 4). [c.285]

Здесь первая сумма дает поправку на перемешивание рассматриваемой функции с другими из того же набора f — функций, образующих вырожденный терм, а вторая — взаимодействия со всеми остальными возбужденными состояниями. Последние имеют тот же порядок величин, что и поправки к функции невырожденного терма (X. 22), и поэтому могут быть игнорированы как и в обычном адиабатическом приближении. Однако, первая сумма содержит знаменатели с разностями W h— ц, которые при малых О могут стать сколь угодно малыми (при этом может нарушиться критерий применимости теории возмущений). Эти члены не могут быть игнорированы и связанные с ними члены в системе уравнений (X. 19) не могут быть отброшены. В этом случае критерий адиабатического приближения в форме (X. 24) не выполняется из-за близости уровней г, и (или даже их совпадения в точке вырождения). [c.275]

Поэтому отсутствие минимума адиабатического потенциала вблизи точки вырождения, вообще говоря, нельзя интерпретировать как условие обязательного самопроизвольного искажения исходной симметричной ядерной конфигурации и перехода к новой, менее сиьшетричной и потому лишенной исходного вырождения. [c.108]

Вырождение весьма часто — следствие симметрии кристалла и обычно имеет место на определенных избранных линиях в р-пространстве. Более того, анализируя симметрию тех или иных точек р-пространства кристаллов, можно найти совокупность точек обязательного вырождения, а также выяснить зависимость элементов матрицы от компонент разности р — ро. Это позволяег, не прибегая к модельным соображениям, установить структуру изоэнергетической поверхности вблизи точки вырождения [7]. [c.36]

Тонкой линией а и штриховой линией б изображены граничные поверхности семей ства изоэнергети-ческих поверхностей с двумя точками вырождения. [c.37]

В предыдущем параграфе мы останавливались на случае самопересекания изоэнергетических поверхностей. Заметим, что при тех энергиях, при которых происходит пересечение, плотность электронных состояний v(e), конечно, никакими особенностями не обладает. Особыми, или критическими, как мы уже говорили, в этом случае будут те значения энергии, при которых меняется топология изоэнергетических поверхностей. Например, поверхности а и б на рис. 9 являются в этом смысле особыми. Легко показать, что ив таких случаях ov е — ек Г " и отлична от нуля только по одну сторону от е = eit. При этом, однако, если особая точка р = рк является точкой вырождения, то уравнение изоэнергетической поверхности вблизи этой точки имеет более сложный вид, чем предполагалось выше [c.43]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология