Анализ закона дисперсии

Анализ закона дисперсии [c.36]

Приступая к анализу закона дисперсии, начнем с его более простой записи (1.26) для скалярной модели. [c.36]

При анализе закона дисперсии длинноволновых колебаний ak 1) мы отмечали его совпадение с законом дисперсии звуковых колебаний сплошной среды. Однако интересно проследить, как упрощаются сами уравнения движения кристалла в случае длинноволновых колебаний, т. е. каким образом реализуется предельный переход от уравнений механики кристаллической решетки к уравнениям сплошного твердого тела. Ясно, что в качестве одного из результатов такого предельного перехода мы должны получить известные уравнения теории упругости. [c.90]

Используя соотношение (4) и экспериментальные данные по температурной зависимости упругих постоянных, мы проанализировали вклад различных колебательных мод в температурную зависимость с . Необходимые для проведения анализа законы дисперсии фононов были взяты пз данных по неупругому рассеянию нейтронов [5] и аппроксимированы следующим образом (рис. 3) на каждом из участков закон дисперсии линеен, поперечные акустические и оптические моды вырождены. Для Ge результаты расчета приведены на рис. 4 (для остальных веществ они аналогичны). На рисунке показано, как меняются в зависимости от температуры вклады в ij T) высокочастотных акустических и оптических мод (сплошные линии). Высокочастотными будем называть моды [c.212]

Мы начнем с анализа функций распределения для отдельной ветви колебаний в низкочастотной области (со со ), где закон дисперсии наиболее прост [c.61]

Остановимся на более подробном анализе особенностей закона дисперсии молекулярного кристалла. Расположим для примера молекулы в узлах примитивной кубической решетки и учтем взаимодействие только ближайших молекул. Тогда отличными от нуля элементами матриц а (п) и Р (п) будут а (0), а (по) и р (0), Р (по), где По— радиус-номер любого из шести ближайших соседей, отсчитанный от выделенного узла. Снова примем матрицу р (п) симметричной, и на основании (3.4) и (3.10) в силу высокой симметрии решетки получим [c.87]

Заключая анализ распределения частот, еще раз подчеркнем, что основной вклад в ( )ункцию V (со) при всех частотах дают изгибные колебания с законом дисперсии (4.73). [c.111]

Уравнение (1.13) оказывается очень полезным для предварительного качественного анализа характера взаимодействия двух орбиталей. В частности, из него видно, что решающее влияние на параметр (3,у оказывает интеграл перекрывания значение которого в свою очередь зависит от расстояния между взаимодействующими атомами и от геометрии перекрывания орбиталей. Учитывая, что а-перекрывание является наиболее эффективным, второе по эффективности — л-перекрывание и, наконец, самое неэффективное — 6-перекрывание, можно записать очень важное неравенство, к которому вернемся при обсуждении характеристик законов дисперсии и энергетических зон [c.17]

Расчет по формуле, аналогичной (2.3), колебательного вклада в статистическую сумму (а затем — в термодинамические свойства кристалла) требует предварительного определения набора значений g и е,-. Хотя в общем случае произвольного реального кристалла это очень сложная и далеко еще не решенная задача. Анализ ее решения даже для простейшего случая одномерной периодической двухатомной цепочки позволяет увидеть важные особенности закона дисперсии и плотности состояний (е). [c.94]

Формула (7.2) применима при 1, и многие вопросы электронной теории металлов могут быть решены без учета следующих членов в выражении для квазиклассических уровней энергии. Однако в некоторых случаях первая поправка к квазиклассическим уровням энергии оказывается существенной. Как известно, эта поправка может быть вычислена в рамках квазиклассического приближения. Обычно учет следующих членов разложения соответствует тому, что в формуле (7.1) надо заменить п на п -Ь /г. Анализ показывает, что в наиболее распространенных случаях эта замена справедлива и для электрона с произвольным законом дисперсии. Отсюда [c.75]

Поскольку число определяемых коэффициентов Ь сильно растет с увеличением степени полинома, сначала для обработки экспериментальных данных выбирают простой полином. Определив его коэффициенты и проверив совпадение экспериментальных и рассчитанных значений г/, решают, адекватно ли выбранное уравнение и нужно ли его усложнять. Таким образом, первой задачей регрессионного анализа является определение коэффициентов Ь выбранного полинома по экспериментальным данным. Эту задачу решают таким образом, чтобы разброс опытных точек относительно расчетной зависимости (1.13) был минимален и подчинялся закону нормального распределения. Уже отмечалось, что мерой этого разброса является выборочная дисперсия. Если обозначить через Уир расчетное, а через Уиэ— экспериментальное значение у в опыте ы, то расчет выборочной дисперсии можн провести по очевидному соотношению [c.23]

Регрессионный анализ используется, когда входные переменные х ,. . определены точно, а зависимая переменная у представляет собой случайную величину, подчиненную законам нормального распределения, причем ее дисперсия постоянна (при повторении больших серий измерений дисперсии в этих сериях одинаковы). [c.42]

Случайные погрешности отдельных стадий анализа влияют на его окончательный результат в соответствии с законом распространения погрешностей. 1. Если окончательный результат является суммой или разностью измерений на промежуточных этапах, то происходит сложение дисперсий случайных погрешностей [c.102]

Сложная конфигурация свободных объемов между зернами затрудняет создание количественной теории дисперсии в зернистом слое. Предложенная Турнером [33] (табл. IV. 1, № 6) модель носит иллюстрированный характер. Вводя в поток примеси с колеблющейся во времени по синусоидальному закону концентрацией (см. стр. 226), Турнер [33] исследовал возможность анализа размера и форм непроточных карманов, присоединенных к каналу, по которому течет жидкость. Выходные кривые изменения концентрации дают возможность в модели Турнера рассчитать размеры и форму карманов с застойной жидкостью. Арис исследовал для такой модели величину коэффициента дисперсии 25 , рассчитанного на сечение проточного канала, и влияние присоединенных объемов карманов на скорость реакции первого порядка в потоке [32]. Дальнейшие исследования гидродинамических явлений в модели Турнера [35], выполненной в виде трубки с непроточными карманами, показало, что по мере повышения скорости в канале циркуляционное течение жидкости появляется и в карманах, таким образом по мере повышения значения Не относительный объем карманов р уменьшается. Уменьшение объема застойных зон при увеличении значений Кеэ еще в более резкой форме должно наблюдаться в реальном зернистом слое. Действительно, уже при Неэ>50 гидравлическое сопротивление (раздел II. 8) и коэффициент теплоотдачи (раздел V. 5) к отдельному шару в зер-листом слое и свободном потоке становятся при одинаковой скорости обтекающего потока величинами одного порядка. При более же низких значениях Кеэ наличие застойных зон изменяет соотношение этих величин в слое и свободном потоке в 10—15 раз. [c.212]

Распределение отношения дисперсий, исследованное Р. А. Фишером (обычно обозначается f), оказывается весьма полезным в дисперсионном анализе и при построении моделей. Если взяты две выборки, причем одна из них состоит из % независимых измерений случайной переменной Х , распределенной по нормальному закону [c.40]

Результаты определений концентрации диспергируемой фазы в пробах анализируемого материала обрабатываются статистически. Теоретические основы статистической оценки степени однородности смешения изложены в работе [21, с. 212—234]. Разброс значений концентраций диспергируемой фазы подчиняется биномиальному закону распределения. Проверка на гомогенность смешения сводится к сравнению экспериментально определенной дисперсии концентраций диспергируемой фазы (пигмента) с характеристиками биномиального распределения. Для статистического анализа следует отбирать не менее 10 проб, причем при отборе проб необходимо соблюдать следующее условие содержание диспергируемой фазы в каждой пробе не должно сильно отличаться от относительного содержания диспергируемой фазы в анализируемом материале. [c.46]

Результаты испытаний армированных пластиков имеют значительный разброс, связанный со статистической природой материала. В связи с этим анализ результатов наблюдений необходимо проводить в соответствии с рекомендациями ГОСТ 14359-69. В ходе обработки результатов устанавливается закон распределения показателя, оценивается доверительный интервал для значений среднего и дисперсии, проводится регрессионный или корреляционный анализ. [c.105]

Анализ полученных результатов показывает, что поглощение рентгеновских лучей неоднородной средой со случайно распределенной оптической плотностью также подчиняется закону Бугера — Ламберта — Бера, но с поправкой на эффективный коэффициент поглощения ц.эфф, который всегда меньше коэффициента поглощения 1 однородного плоскопараллельного слоя средней оптической плотности D. Причем отличие (Хэфф от ц будет тем больше, чем больше дисперсия распределения оптической плотности (обусловленная, например, увеличением размера частиц). Это подтверждается экспериментальными данными по исследованию коэффициента поглощения химических волокон различной вытяжки и крутки (рис. 33). Как видно из рис. 33, чем меньше степень вытяжки или крутки (больше диаметр волокна или крученой нити), тем больше отличие Хэфф от Д. [c.97]

Применение дисперсионного анализа предполагает, помимо аддитивности дисперсий, что источники частных ошибок (составляющих в совокупности общую) действуют независимо друг от друга, что частные дисперсии в однотипных сериях обрабатываемых наблюдений обладают так называемой однородностью (т. е. что эти частные выборки есть выборки из одной генеральной совокупности) и что нет существенных отклонений от нормального закона распределения ошибок. [c.37]

Из (1.45) или (1.46) следует, что дискретные значения компонент вектора к разделены интервалами l/L, убывающими с увеличением линейных размеров кристалла. Поэтому в том случае, когда все линейные размеры кристалла являются макроскопическими, спектр значений к может считаться квазинепрерывным. Последнее свойство спектра к мы использовали при анализе закона дисперсии, рассматривая частоту как непрерывную функцию квазиволнового вектора. [c.41]

Собственные значения, т. е. квадраты собственных частот, отвечающие функциям (3.27), даются законом дисперсии (3.24). К сожалению, последовательный анализ законов дисперсии сложной кристаллической решетки, определяемых в виде решений уравнения (3.24), затруднителен. Однако нетрудно осуществить качественное исследование, направляющей нитью в котором будут известные нам свойства колебаний двухкомпонентной модели кристалла. [c.83]

Однако для понимания ряда явлений, связанных с колебаниями решетки, более удобным является не аналитическая запись закона дисперсии (2.1), а его специфическое геометрическое (или, точнее. Топографическое) представление. Последнее связано с введением и анализом так называемых изочастотных поверхностей. [c.52]

Помимо границ непрерывного спектра, довольно общему анализу могут быть подвергнуты окрестности частот, которые разделяют изочастотные поверхности разной топологии. Мы ограничимся рассмотрением того случая, когда граничная изочастотная поверхность со = (Ок обладает конической точкой, закон дисперсии вблизи которой дается соотношением (2.5). Предположим, как мы это делали при анализе скачка топологического инварианта что вне малой окрестности конической точки все изочастотные поверхности тонкого слоя вблизи со = сок являются регулярными и скорость V на них не обращается в нуль. Тогда особые свойства плотности колебаний, которые мы ожидаем найти при со = сок, могут появиться лишь за счет вклада колебаний, соответствующих малой окрестности конической точки. Поэтому снова проведем на указанном ранее расстоянии от конической точки пару плоскостей kg— [c.63]

Когда же в трехфононном процессе одновременно участвуют как продольные (/), так и поперечные (/) фононы, то условия его реализации, т. е. условия выполнения требований (7.17), сильно облегчаются, даже если законы дисперсии каждого типа фононов являются нераспадными. Для анализа этих процессов можно ограничиться законами дисперсии (7.18), помня условие (7.19). Схема для одномерной модели на рис. 42 демонстрирует возможность процессов (левая часть рисунка) и (правая часть рй-сунка). [c.141]

Можно конкретизировать выводы этого параграфа, рассмот-ев осцилляции термодинамических величин, обусловленные вантованием уровней энергии электронов в пленке. Анализ ос-иллирующей части термодинамических характеристик газа 11ектронов с произвольным законом дисперсии в этом случае 2, 33] показывает, что период осцилляций равен [c.157]

Анализ точности построенной таким образом модели проводят разньпмги методами в зависимости от характера и св-в факторов и отклика. Наиб, распространен т. наз. регрессионный анализ, к-рый состоит в выделении относительно значимых факторов сопоставлением их вклада с погрешностью эксперимента и в проверке мат. модели на адекватность описания изучаемого объекта исходным данным путем сравнения погрешности вычисления значений отклика по полученному ур-нию регрессии с воспроизводимостью опытов. Использование регрессионного анализа требует выполнения след, условий, предъявляемых к обрабатываемым эксперим. данным а) ошибки измерений факторов пренебрежимо малы в сопоставлении с ошибкой измерения отклика б) ошибки измерений отклика распределены по нормальному закону в) выборочные дисперсии откликов во всех опытах однородны (соизмеримы). [c.325]

Поскольку функция V определяет состав дисперсной фазы, доля которой ф, то состав дисперсии определяется произведением фу. Чтобы найти распределение частиц в объеме аппарата, т. е. описать процесс разделения в нем, нужно отыскать функции (р х,у,г,х) и у(/, рд, X, у, 2, т). Изменение распределения частиц в объеме аппарата обусловлено их движением, скорость гю которого для данной сплошной фазы является функцией существенных свойств частиц (/ и р). К процессу движения частиц можно применить закон сохранения массы подобно тому, как это было сделано в гл. I при анализе процессов переноса в однородных средах. Пусть через боковую поверхность элементарного параллелепипеда йуйг, отстоящую от начала координат на расстоянии х, в направлении оси х, входит поток частиц, равный Шфу йу йг, а через поверхность, отстоящую от первой на расстоянии йх, вы- [c.245]

При идеально однородном распределении (ири достижении гомогенности) содержание диспергируемой фазы во всем объеме смеси одинаково. Статистически это означает, что нек-рое упорядоченное (неслучайное) в начале С. распределение частиц диспергируемой фазы и дисперсионной среды изменилось на беспорядочное (случайное). О качестве С. судят по результатам статистич. обработки данных анализа проб, отобранных из готовой смеси. Известно, что разброс значений концентраций диспергируемой фазы в идеальной смеси иод-чиняется закону биномиального распределения. Teope-тич. значение дисперсии (мера рассеяния) концентрации ( генеральной дисперсии) диспергируемой фазы в идеальной смеси определяется соотношением [c.214]

Это ПОСТОЯННО наблюдаемое явление легко объяснить, исходя из нормального закона, согласно которому вероятность появления малых отклонения значительно больше, чем вероятность появления больших отклонений. Вероятность появления погрешностей по абсолютной величине, превышающих 2а, равна 0,05, поэтому, если мы сделаем 20 измерений, то здесь можно будет ожидать появления одного такого отклонения. Если же экспериментатор сделал всего два измерения, то естественно ожидать, что среди них таких больших отклонений не будет. Подсчет выборочных дисперсий производится простым суммированием квадратов отклонений, поэтому естественно, что ошибка, подсчитанная по малой выборке из генеральной совокупности, в большинстве случаев будет меньше, чем ошибка соответствующей ей генеральной совокупности. Если мы в выражение (4.13) подставим вместо а ее оценки, полученные по малым выборкам, то не получим нормального распределения. В силу этих обстоятельств классическая теория ошибок, основанная на нормальном распределении, неприменима для обработки малого числа измерений. Она нашла очень широкое применение в метрологии, астрономии и геодезии, где всегда выполняется большое число измерений, и ока.зывалась мало полезной при анализе вешества, где, как правило, делается небольшое число параллельных определений. Только с начала XX века стало развиваться новое направление в математической статистике, которое можно назвать статистикой малых выборок или микростатистикой. [c.79]

Разложение ошибок на отдельные составляющие производилось С помощью тех формул, которыми обычно пользуются в дисперсионном анализе. Ошибка сГфиа> обусловленная особенностями физического состояния пробы, определялась из дисперсии, характеризующей нелинейность градуировочного графика. Для определения ошибки 0гр-гр> характеризующей несовершенство построения графика, на 30 пластинках в течение 1,5 месяца снимались спектры нескольких проб и производились анализы С применением различных методов построения градуировочных графиков. Для каждого метода построения графика подсчитывалась ошибка анализа по отношению к среднему, полученному за 1,5 месяца, и из нее по закону квадратов вычиталась суммарная ошибка воспроизводимости. Таким образом удалось определить некоторую среднюю величину ошибки, связанную с тем или иным способом построения графика. [c.315]

Дисперсия, характеризующая рассеяние результатов анализа каждого из эталонов относительно их среднего значения, полученного но всем 30 пластинкам, была разложена с помощью дисперсионного анализа на две величины о восп—дисперсию, обусловленную ошибкой воспроизводимости, получаемой за короткий промежуток времени при фотографировании спектров проб на одной пластинке, и От—дисперсию, обусловленную факторами, медленно меняющимися во времени, и недостаточно точным учетом свойств пластинки. Пользуясь законом накопления ошибок дисперсию От можно представить выражением [c.320]

В терминах математической статистики можно считать, что мы имеем генеральную совокупность, состояшую из всех мыслимых анализов пробы. Эта совокупность характеризуется законом распределения, выражающим вероятность появления результатов анализа, не превосходящих некоторого заданного значения. Положение центра этого распределения наилучшим образом характеризуется генеральной средней ц, а рассеяние результатов в ней — генеральной дисперсией о . Очевидно, ц характеризует наиболее близкое к действительному значение результата анализа, а а — воспроизводимость результатов анализа. [c.158]

На рис. 14 показаны кривые распределения прочности волокон с различной дисперсией, на основании которых находится максимальная нагрузка, которую может выдержать пучок. Кривые 1, 2, 3 характеризуют волокна с одинаковой средней прочностью и коэффициентами вариации 10, 20 п 40% прн нормальном законе распределения с увеличением дисперсии прочности волокон максимальная нагрузка на пучок уменьшается на 14 и 25%. На рис. 16 нанесены кривые распределения пределов прочности волокон для средней прочности 200, 300, 400 кПмм и при коэффициенте вариации 20%, Анализ рис. 14 и 15 показывает, что с ростом дисперсии количество поврежденных волокон увеличивается, при постоянной дисперсии степень разрушения в момент достижения максимальной нагрузки практически постоянна. [c.147]

Требуется определить/г неизвестных параметров К, К2, , К -Объем пробы анализируемого продукта от анализа к анализу должен оставаться постоянным, а площади пиков измеряются с ошибкой, распределенной по произвольному симметричному закону распределения вероятностей с конечной дисперсией и математиче-ским ожиданием, равным 0. [c.29]

На практике чаще всего имеет место нормальный закон распределения случайных ошибок. В этом случае оценкой точности, характеризующей воспроизводимость результатов рентгеноспектрального анализа, является среднеквадрати.чная погрешность о, называемая также стандартным отклонением и определяемая как корень квадратный из дисперсии. Чем выше воспроизводимость анализа, тем меньше 0 и тем ближе отдельные результаты анализа к своему среднему значению, о — это абсолютная погрешность и поэтому характеризует возможную ошибку только при данном конкретном значении результата. Выражая погрешность в долях стандартного отклонения, можно найти вероятность того, что отдельный результат измерения Хг не выйдет за рамки этой погрешности. Такая вероятность называется статистической уверенностью или доверительной вероятностью Р, а выраженный в долях стандартного отклонения интервал называют доверительным интервалом. Между ними устанавливаются следующие связи [c.29]

Желательно, чтобы Яаналит приходилась на область наибольшей дисперсии прибора. В этом случае можно использовать для анализа более узкие участки спектра, и можно надеяться на более строгое выполнение закона Бугера — Ламберта — Бера (поскольку последний относится к монохроматическому излучению). Следует, однако, заметить, что если Яаналит лежит в области плоского участка кривой поглощения, то это требование снимается. [c.395]